5 a Lista de Exercícios de Introdução à Álgebra Linear IMPA - Verão Encontre os autovalores, os autovetores e a exponencial e At para

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1 5 a Lista de Exercícios de Introdução à Álgebra Linear IMPA - Verão Encontre os autovalores, os autovetores e a exponencial e At para [ ] Uma matriz diagonal Λ satisfaz a regra usual e Λ(t+T ) = e Λt e ΛT pois a regra vale para cada elemento da diagonal. (a) Se A é diagonalizável então vale e A(t+T ) = e At e AT. (b) Mostre que e A+B = e A e B não é verdade em geral. 3. A equação diferencial de segunda ordem y + y = 0 pode ser escrita como um sistema de primeira ordem introduzindo o vetor velocidade como uma outra indeterminada: [ ] [ ] d y y dt y = y Escrevendo o sistema acima como du/dt = Au qual é a matriz 2 2, A? Encontre seua autovalores e autovetores e calcule a solução que começa em y 0 = 2, y 0 = Converta y = 0 em um sistema de primeira ordem du/dt = Au. A matriz A obtida é defectiva (isto é, tem apenas um autovetor e não pode ser diagonalizada). Calcule e At usando a série I + At +... e escreva a solução e At [ u 0 começando ] em y 0 = 3, y 0 = 4. Verifique que a solução y obtida u = y satisfaz y = Suponha que a população de coelhos c e a população de lobos l é governada por dc = 4c 2l dt dl dt = c + l (a) Este sistema é estável ou não? (Dizemos que um sistema é estável quando todas as suas soluções convergem a zero quando t vai para infinito) (b) Se inicialmente as populações de coelhos e lobos forem c = 300 e l = 200, quais serão as populações no tempo t? (c) Depois de um longo tempo, qual é a proporção da população de coelhos em relação a de lobos? 1

2 6. Ache os autovalores e autovetores para du dt = Au = Por que sabemos, sem fazer cálculos, que e At será uma matriz ortogonal e u(t) 2 = u u u 2 3 será constante. 7. Para que valores de c e d a matriz A tem autovalors reais e autovetores ortogonais? d 0 c u 8. Ache as formas de Jordan de [ ] e B = Mostre que cada bloco de Jordan J i é semelhante ao seu transposto Ji t = P 1 J i P, usando a matriz de permutação 0 1 P = Deduza que toda matriz é semelhante a sua transposta. 10. Suponha que A 2 = A e que sua forma de Jordan J = M 1 AM também satisfaz J 2 = J. Como seus blocos ficam separados, isto significa que Ji 2 = J i para cada bloco; mostre, com um cálculo direto, que J i = [0] ou J i = [1]. Conclua daí que A é semelhante a uma matriz de 0 s e 1 s. ( ) Para a matriz, com autovalores λ = 1 e λ 2 = 3, aplique ( o método ) da potência u k+1 = Au k três vezes com valor inicial 1 u 0 =. Qual é o vetor limite u 0? 12. Considera os sistemas lineares A i x i = b i, i = 1, 2, 3, com A i = A i = (A 1 ) i, i = 2, 3, e b i tal que a solução é sempre dada por x i = (1, 1, 1, 1) T. Resolver o sistema com fatorização de Gauss usando uma estratégia de pivot parcial por linhas, e comentar os resultados obtidos. 13. Um operador T : E E chama-se triangularizável quando o espaço possui uma base, relativamente à qual a matriz T é triangular. Prove:, 2

3 a. T é triangularizável se, e somente se, existe uma cadeia ascendente {0} = F 0 F 1 F 2 F n = E, de subspaços invariantes por T, com dim F i = i (i = 1, 2,..., n). b. T é triangularizável se, e somente se, existe uma cadeia descendente E = G n G 1 G 0 = {0}, de subspaços invariantes por T, com dim G i = i (i = 1, 2,..., n). c. Se existe uma base na qual a matriz de T é triangular superior, existe também uma na qual a matriz de T é triangular inferior. d. T é triangularizável se, e somente se, T é triangularizável. 14. Seja t = [t ij ] M(n n) uma matriz triangular. Prove que os elementos t ii da diagonal de t são autovalores do operador T : R n R n cuja matriz na base canônica é t. Conclua que t é diagonalizável quando sua diagonal não possuir elementos repetidos. 15. Seja A : R 3 R3 o operador definido por A(x, y, z) = (x + 2y + 3z, y + 2z, 3z). Obtenha dois vetores L.I. para A e prove que qualquer autovetor de A é múltiplo de um desses dois. Conclua que A não é diagonalizável, embora sua matriz seja triangular. 16. Considere o operador B : R 3 R 3, dado por B(x, y, z) = (x + 2z, y + 3z, 4z), cuja matriz é triangular. Ache uma base de R 3 formada por autovetores de B. 17. Aplicando o processo de Gram-Schimdt às colunas da matriz a = obtenha a decomposição a = qr, onde q é ortogonal e r é triangular superior, com elementos positivos na diagonal. ( ) 0 a 18. Prove que a matriz a = admite uma decomposição do tipo b c a = lu se, e somente se b = Obtenha a decomposição lu das matrizes a = e b = Seja a M(n n) uma matriz de posto máximo que admite uma decomposição do tipo a = lu, onde l M(n n) é triangular inferior, com elementos da diagonal todos iguais a 1, e u M(n n) é escalonada. Prove que existem uma matriz diagonal invertível d M(n n), com pivôs todos iguais a 1, tais que a = ldu. 21. Para uma dada matriz A R n n determinar o número de operações (em função de n) necessárias ao cálculo do seu determinante pela seguinte fórmula de recorrência: { a 11 se n = 1 det n j=1 ija ij para n > 1, i = 1,..., n, 3

4 onde ij = ( 1) i+j det A ij, e A ij é a matriz obtida eliminando a linha i e a coluna j de A. 22. Verificar que o número necessário de operações para calcular a fatorização LU de uma matriz quadrada de ordem n é aproximadamente 2n 3 / Mostrar que a fatorização LU de A pode ser usada para encontrar a matriz inversa A 1. (Observar que o j-ésimo veto coluna de A 1 é solução do sistema linear Ay j = e j, sendo e j o vetor cujas componentes são todas nulas, exceto a j-ésima que é igual a 1). 24. Mostrar que as matrizes A (k) construídas nas iterações do método QR são todas semelhantes à matriz A. 25. Calcule o determinante da matriz a a 23 a 24 0 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 e generalize o resultado para uma matriz [a ij ] M(n n) na qual a ij = 0 quando i + j n. 26. Use eliminação gaussiana (escalonamento) para calcular os determinantes das seguintes matrizes: e Calcule o determinante das seguintes matrizes 1 + a b c ( a 1 + b c 0 Im e I a b 1 + c n 0 ) onde os zeros representam matrizes de dimensões adequadas. 28. Prove que todo operador ortogonal com determinante positivo possui uma raiz quadrada ortogonal. Ela é única? 29. Suponha que o polinômio mínimo m A (λ) = (λ λ 1 )... (λ λ k ) do operador inear A : E E seja um produto de fatores distintos de primeiro grau (λ i λ j se i j). Prove: (a) Escrevendo m A (λ) = p i (λ = (λ λ i ) e B i = p i (A),tem-se A(B i v) = λ i B i v(i = 1,..., k) para todo v E. (b) Os polinômios p 1 (λ),..., p k (λ) são primos entre si, logo existem q 1 (λ),..., q k (λ) tais que k q i (λ)p i (λ) = 1. i=1 4

5 (c) Seja C i = q i (A). Para todo v E tem-se v = B i (C i v), logo os autovetores de A geram E. (d) O operador A é diagonalizável. 30. Se existir algum k N tal que A k = I, prove que o operador A : E E é diagonalizável. 5