Geometria Euclidiana Plana

Transcrição

1 CURSO INTRODUTÓRIO DE MTEMÁTIC PR ENGENHRI 016. Geometria Euclidiana Plana Parte II Danielly Guabiraba Dantas - Engenharia Civil Rafael lves da Silva - Engenharia Civil

2 Introdução Desde os egípcios, que procuravam medir e demarcar suas terras, até hoje, quando topógrafos, engenheiros e arquitetos fazem seus mapeamentos e plantas, o cálculo de áreas tem sido uma preocupação constante na história da Matemática. Na aula de hoje você irá ver como resolver problemas envolvendo áreas.

3 Área do quadrado Particularmente, para o quadrado de lado a, ou seja, b = a e h = a, temos : a quadrado = a. a ou quadrado = a² a Em que: a é um número real positivo.

4 Área do Retângulo 1 cm 1cm² Tomando como unidade de área o quadrado de 1cm² de área, observamos que cabem 1 desses quadrados no retângulo ao lado. Logo, a área do retângulo é 1cm². 1 cm 3 cm 4 cm

5 Área do retângulo Por outro lado, se multiplicarmos a medida do comprimento do retângulo pela medida da sua largura, obtemos o mesmo resultado. 4 cm. 3 cm = 1 cm² Portanto, a área da superfície de um retângulo é igual ao produto das medidas da base b e da altura h. retângulo = b. h. h Em que: b e h são números reais positivos. b

6 Exercício O comprimento de um terreno retangular tem 8 m a mais do que a frente. Sabendo-se que o perímetro desse terreno é de 11 m, determine: a) s dimensões desse terreno. b) área desse terreno.

7 Resolução Fazemos um esboço do terreno e suas dimensões Como o perímetro de um polígono plano é a soma das medidas de todos os seus lados, somamos seus lados e igualamos ao perímetro fornecido pela questão, que é 11. x + 8 x x x + 8 ( x 8) ( x 8) x x 11

8 Resolução ( x 8) ( x 8) x x x x x 56 x 56 4 x a) Substituímos o valor encontrado para x nas dimensões do retângulo. Verificamos que o terreno mede 14 m de frente e 4 m de comprimento. 14

9 Resolução b) Sabemos as dimensões do retângulo e queremos saber sua área. Vimos que a área do retângulo é dada pelo produto das medidas da base e da altura, no caso, a base e a altura valem, respectivamente, 14 m e 4 m. Logo: 14m.4m 588m²

10 Exercício (UFF-RJ) Num terreno retangular com 104 m² de área, deseja-se construir um jardim, também retangular, medindo 9 m por 4 m, contornado por uma calçada de largura L, como indica a figura. Calcule o valor de L. CLÇD JRDIM L L

11 Resolução De acordo com as medidas fornecidas do jardim, sabemos que a área do terreno pode ser escrita em função de L da seguinte forma: 4 4 L L 9 L L = Largura x ltura ( 9 L).(4 L)

12 Resolução Como a questão nos fornece o valor da área total, igualamos esse valor dado à equação que montamos anteriormente para determinar L: (9 9(4) L L).(4 18L 9(L) 6L L² L) 8L 4L² L² 104 L(4) 4L² 68 13L L(L) 6L 34 4L² 0

13 Resolução Resolvemos a equação de segundo grau e acharemos possíveis valores para L: L² 13L ² 4()( 34) L' () L'' () ,5

14 Resolução Depois de resolvermos a equação, achamos e -8,5 como possíveis valores para L, porém, o valor L é referente a medida, dimensão, e como não existem medidas negativas, desconsideramos o valor de -8,5. Então, o valor de L é de m. L' () L'' () ,5

15 Área do paralelogramo Cortando um pedaço do paralelogramo, podemos encaixá-lo do outro lado, transformando-o num retângulo. Veja: h b Então, podemos definir que a área do paralelogramo é igual à área do retângulo: paralelogramo = b. h Em que: b e h são números reais positivos.

16 Área do triângulo Toda região triangular é metade da região limitada por um paralelogramo de mesma base e altura. Como dividimos um paralelogramo em dois triângulos iguais, a área de cada um dos triângulos é igual à metade da área do paralelogramo: h b triângulo = b. h

17 Exercício vela de um barco tem a forma triangular, com 4m de base e 5 m de altura. Osmar quer pintar 35% dessa vela de azul, 5% de verde e o restante de branco. a) Qual a área da parte azul? b) Qual a área da parte verde? E da branca?

18 Resolução Sabemos que a área do triângulo é a metade do produto da base pela altura. Como temos esses valores, apenas aplicamos a definição: a) b. h m² Como 35% dessa área será pintada de azul, multiplicamos 35/100 pelo valor da área total para saber a área azul que será pintada: azul ,5m²

19 Resolução b) 5% da vela será pintada de verde, então: verde ,5m² Já foi pintada 60% da área da vela (35% de azul e 5% de verde). Como o restante será pintado de branco, esse restante será de 40% da área da vela (100% 60%): branco m²

20 Exercício Para decorar seu quarto, Carol preparou bandeirinhas de papel. partir do modelo abaixo, ela fez 40 bandeirinhas. Qual a área total de papel utilizado para fazer toda essa decoração no quarto dela?

21 Resolução Para calcular a área total, achamos a área de uma bandeira, e depois multiplicamos pelo numero n de bandeiras. 4 cm 4 cm 4 cm 4 cm cm plicamos o teorema de Pitágoras para achar a altura h do triângulo. 4² ² h² 16 4 h² 1 h² h 1 h 3

22 Resolução 4 cm cm 3 cm gora acharemos a área da metade de uma bandeira, já que temos sua base e altura:. 3 3cm² Como achamos a metade da área de uma bandeira, a área da bandeira será o dobro dessa área: bandeira cm²

23 Resolução chamos a área de uma bandeira, a área total será o número de bandeiras multiplicado por essa área. Como o número de bandeiras é 40, multiplicamos esse valor pela área de uma bandeira e acharemos a área total: total cm² bandeira área total de papel necessário para Carol fazer suas bandeirinhas foi cm².

24 Área de um triângulo equilátero

25 Área de um triângulo equilátero

26 Área de um triângulo equilátero

27 Área do trapézio Trapézio é todo quadrilátero com apenas um par de lados paralelos, que são suas bases. Vamos decompor a região limitada por um trapézio para encontrar sua área.

28 Área do trapézio Considere um trapézio de bases b, B e altura a (números reais positivos). Primeiro, decompomos a região traçando uma de suas diagonais. B Observe que temos agora regiões triangulares: b a b a a B

29 Área do trapézio área de uma região triangular nós já aprendemos a calcular, então temos: T T T T 1 b. a B. a b. a B. a ( b B). a a b 1 T B ( B b) a

30 Exercício Determine a área do terreno plano abaixo usando as medidas dadas.

31 Resolução Modelo matemático: decomposição do terreno em três regiões. 6m 4m 1m 9m 11m Como já sabemos calcular a área destas figuras, temos que: terreno terreno terreno ( bh) retângulo (1 6) bh 56 triângulo ( B b) h trapézio (9 11) 4 5m terreno 17m²

32 Área do Losango Todo losango pode ser transformado num retângulo equivalente, com altura D e base d/. ssim, a área da região limitada por um losango é dada pela metade do produto das medidas das diagonais. losango D. Em que D e d são números reais positivos. d

33 Exercício (Unicamp-SP) Os vértices de um losango são os pontos médios dos lados de um retângulo. Qual a razão entre a área do retângulo ( r ) e a do losango ( L )? a) ½ b) c) 1/3 d) 4/3

34 Resolução Temos a seguinte figura: partir disso, calculamos a área de cada figura: r Dd L Dd e, logo a razão r / L é: r L Dd Dd Dd 1 Dd

35 Área de um Hexágono regular Um hexágono regular é formado por seis regiões triangulares equiláteras. Como a área de uma região triangular equilátera é dada por: triânguloe quilátero l² 3 4 área do hexágono é dada por: hexágono 6 l² 3 4 6l² 4 3 Ou seja: hexágono 3l ² 3

36 Área de um polígono regular Um polígono regular é aquele que tem todos os lados e todos os ângulos internos congruentes. Ele pode sempre ser inscrito em uma circunferência. Exemplos:

37 Área de um polígono regular Pode-se perceber que se o polígono regular tem n lados, a região limitada por ele pode ser decomposta em n regiões limitadas por triângulos isósceles. Em cada um desses triângulos, a base é o lado (l ) e a altura é o apótema (a). Logo: Em que l : lado a: apótema n la n: número de lados, (valores reais positivos).

38 Obrigada pela atenção!