LISTA DE EXERCÍCIOS. [01] Determine o domínio natural (efetivo/maximal) de cada uma das funções indicadas abaixo.

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1 LISTA DE EXERCÍCIOS Matemática Básica Humberto José Bortolossi 06 Função raiz quadrada, funções da forma y = f(x) = a 2 x 2, funções potência [01] Determine o domínio natural (efetivo/maximal) de cada uma das funções indicadas abaixo. (a) f(x) = 2 x 3, (b) f(x) = x 1, (c) f(x) = x, (d) f(x) = x, (e) f(x) = x/(x 2 1), (f) f(x) = x/ x 2 1. [02] Considere a sentença a = b a = b 2. (a) A sentença é verdadeira ou falsa? Apresente uma demonstração caso ela seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa. (b) Escreva a recíproca da sentença. A recíproca é verdadeira ou falsa? Apresente uma demonstração caso ela seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa. [03] (Resolvendo equações com raízes quadradas) Ao se resolver uma equação envolvendo raízes quadradas, é comum elevarmos cada lado da equação ao quadrado. Por exemplo, para resolver a equação x + 3 = x + 1, é comum considerar a equação isto é, ( x + 3) 2 = (x + 1) 2, x + 3 = (x + 1) 2. Contudo, pelo exercício anterior, vale que toda solução de x + 3 = x + 1 é solução de x + 3 = (x + 1) 2, mas nem toda solução de x + 3 = (x + 1) 2 é solução de x + 3 = x + 1. Neste exemplo, x = 2 é solução da equação x + 3 = (x + 1) 2, mas x = 2 não é solução da equação x + 3 = x + 1. Assim, cuidado! Como o processo de elevar cada lado de uma equação ao quadrado gera uma implicação e não uma equivalência, nem toda solução da equação final é solução da equação inicial! É preciso tirar a prova real das soluções calculadas no final! Resolva as equações indicadas a seguir. (a) x 1 = x 3, (b) x 2 3 = x 3, (c) x + x 2 = 4. [04] Considere a sentença a b a 2 b. (a) A sentença é verdadeira ou falsa? Apresente uma demonstração caso ela seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa. (b) Escreva a recíproca da sentença. A recíproca é verdadeira ou falsa? Apresente uma demonstração caso ela seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa. [05] Resolva a desigualdade x 3 x 2. 1

2 [06] Considere a função f(x) = (a) Determine o domínio natural (efetivo) de f. (b) Mostre que x 2 2 x x x + 1. x + 1 f(x) = para todo x no domínio natural (efetivo) de f. x (3 x + 4) 2 (x + 1) x + 1 (c) Determine (caso existam) os valores de x para os quais f(x) > 0. [07] Desenhe os gráficos das funções f(x) = 1 x 2, g(x) = 1 x 2 e h(x) = 7 x 2. [08] Associe cada equação a seu gráfico. Explique sua escolha. Não use o computador ou uma calculadora gráfica. (a) y = x 2, (b) y = x 5, (c) y = x 8. [09] (Sugerido por Maurício Quintanilha da Silva) Considere uma função f : R R ímpar. (a) Mostre que se f é crescente no intervalo [0, + [, então f também é crescente no intervalo ], 0]. (b) Usando a identidade x n 2 x n 1 = (x 2 x 1 )(x n x n 2 2 x x 2 x n x n 1 1 ) mostre que f(x) = x n é crescente no intervalo [0, + ), com n N ímpar. (c) Usando os itens (a) e (b), mostre que f(x) = x n é crescente em R, com n N ímpar. [10] Qual número é maior? ou ? Justifique sua resposta! 2

3 [11] Considere a função y = f(x) = x 2 e dois números reais a e b positivos. Mostre que a ordenada do ponto de interseção da reta que passa pelos pontos ( a, f( a)) e (b, f(b)) com o eixo y é igual ao produto a b dos números a e b. y y = x 2 a b b x Usando esta propriedade, é possível criar uma máquina de multiplicar números. A figura abaixo ilustra tal máquina elaborada pelo Laboratório de Ensino de Matemática da UFPE (a foto foi tirada na V Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática, na UFPB, em outubro de 2010). [12] Por que 4 1 = 1? [13] Por que 4 16 é diferente de 2, apesar de ( 2) 4 ser igual a 16? E por que = 3? [14] Um aluno deu o seguinte argumento para provar que 4 a 4 = a, para todo a R: 4 a 4 (1) = (a 4 ) 1 4 (2) = a (3) = a 1 (4) = a. O argumento do aluno está correto? Em caso negativo, especifique quais igualdades estão erradas. [15] Mostre que se n N e n é par, então f(x) = n x = x 1/n é uma função crescente em [0, + ). 3

4 [16] Mostre que se n N e n é ímpar, então f(x) = n x = x 1/n é uma função crescente em R. [17] Sejam x 1,..., x n números reais não negativos. As médias aritmética e geométrica destes n números são definidas, respectivamente, por M A = x x n = 1 n x i e M G = n n n x 1 x n = n n x i. i=1 (a) Calcule as médias aritmética e geométrica dos números x 1 = 1, x 2 = 1/2 e x 3 = 1/4. Qual média é maior? (b) Considere um bloco retangular B cujas arestas medem a, b e c. Qual é a medida da aresta do cubo cujo volume é igual ao volume do bloco retangular B? (c) Mostre que se x 1 = = x n = α 0, então as médias aritmética e geométrica são ambas iguais a α: M A = M G = α. Observação: é possível demonstrar (usando, por exemplo, indução) que a média geométrica de n números não negativos é sempre menor do que ou igual a média aritmética destes n números. Mais ainda: as duas médias são iguais se, e somente se, os n números são todos iguais. [18] A notação n x m, com n, m N, n ímpar e x R, pode ser lida da seguinte maneira: i=1 n xm denota o único número real que elevado a n é igual a x m. Como podem ser lidas as notações indicadas abaixo? (a) n xm, com n, m N, n par e x 0. (b) ( n x) m, com n, m N, n par e x 0. n (c) m x, com n, m N, m e n ímpares e x R. (d) n m x, com n, m N, m e n ímpares e x R. [19] Mostre que para todo a, b 0, vale que 3 a + b 3 a + 3 b. Dica: use a identidade (x 1 + x 2 ) 3 = x x 2 1x x 1 x x 3 2, com x 1 = n a e x 2 = n b. [20] Demonstre todas as propriedades das raízes n-ésimas apresentadas em sala de aula. [21] Seja f(x) = 1/x n, com n N. Mostre que f é uma função decrescente no intervalo ]0, + [. Mostre também que se n é par, então f é crescente no intervalo ], 0[ e que se n é ímpar, então f é decrescente no intervalo ], 0[. [22] Sabemos que se a e b são números naturais, então (x a ) b = x a b = (x b ) a para todo x R. Mostre que esta identidade é falsa se a e b são números racionais. [23] Na análise forense de incidentes envolvendo explosivos, muitas vezes é necessário estimar a quantidade de explosivo usada a partir dos danos observados à infraestrutura. Certamente esta não é uma tarefa simples. No entanto, a base de cálculos práticos é a lei de Hopkinson, que afirma que a distância de perturbação do centro de uma explosão é proporcional à raiz cúbica da energia dissipada na explosão. No caso de explosivos químicos, em vez da energia, podemos considerar a massa total dos explosivos. Além disso, como resultado de medidas empíricas (Kinney e Graham, Explosive Shocks in Air, Springer-Verlag, 1985), essa lei pode ser estendida para uma 4

5 fórmula simples, que dá o diâmetro D da cratera (em metros) que resulta de uma carga explosiva colocada ao nível do solo em função da massa M dos explosivos (em quilogramas de TNT): D = 0.8 M 1/3. Para explosões subterrâneas, uma análise mais complexa é necessária. (a) Calcular o diâmetro aproximado da cratera resultante de uma carga explosiva equivalente a 60 kg de TNT. (b) Determine a massa aproximada de TNT responsável por uma explosão que resulta em uma cratera de 4 m de diâmetro. (c) Qual deve ser o aumento percentual na massa de um explosivo a fim de dobrar o tamanho da cratera resultante? Observação: este exercício foi extraído do livro Essential Mathematics and Statistics for Forensic Science de Craig Adam, publicado pela John Wiley & Sons em [24] Funções da forma f(x) = c x α são muito usadas em Biologia no estudo do tamanho e da forma dos seres vivos. De fato, os biólogos têm um nome especial para funções deste tipo: funções alométricas. Por exemplo, y = x é uma função alométrica que modela o tempo y de incubação (medido em dias) de um ovo em função de sua massa x (medida em gramas). Sabendo que um ovo de um beija-flor tem em média massa igual a 0.2 g, use a fórmula acima (e uma calculadora) para estimar o tempo de incubação deste tipo de ovo. [25] Associe cada equação a seu gráfico. Explique sua escolha. Não use o computador ou uma calculadora gráfica. (a) y = 3 x, (b) y = 3 x, (c) y = x 3, (d) y = 3 x. 5

6 Respostas dos Exercícios Atenção: as respostas apresentadas aqui não possuem justificativas. Você deve escrevê-las! [01] (a) D = [3/2, + [, (b) D =], 1] [1, + [, (c) D =], 0], (d) D = R, (e) D = ] 1, 0] ]1, + [, (f) D =]1, + [. [02] (a) A sentença é verdadeira, pois a = ( a) 2 = b 2. (b) Recíproca da sentença: a = b 2 a = b. A recíproca é falsa, pois possui um contraexemplo: a = 1 e b = 1. Note que a = 1 e b 2 = 1, de modo que a = b 2 (a = 1 e b = 1 satisfazem a hipótese da recíproca) mas a = 1 1 = b (a = 1 e b = 1 não satisfazem a tese da recíproca). [03] (a) S = {5}, (b) S =, (c) S = {3}. [04] (a) A sentença é falsa, pois possui um contraexemplo: a = 2 e b = 1. Note que a 2 = 4 e b = 1, de modo que a b (a = 2 e b = 1 satisfazem a hipótese da sentença) mas a 2 > b (a = 2 e b = 1 não satisfazem a tese da sentença). (b) Recíproca da sentença: a 2 b a b. A recíproca é verdadeira. De fato: sejam a e b dois números reais tais que a 2 b. Como a 2 0, segue-se que b 0. Como a função raiz quadrada é crescente, segue-se que a 2 b. Mas a 2 = a e a a para todo a R. Assim, a b. [05] Se x é uma solução da desigualdade, então 3 x 2 0, isto é, x 2/3. Em particular, x 0. Como a função x x 2 e x x são crescentes no intervalo [0, + ), segue-se que Mas 2/3 x 3 x 2 2/3 x e x 2 ( 3 x 2) 2. 2/3 x e x 2 ( 3 x 2) 2 2/3 x e x 2 3 x 2 2/3 x e x 2 3 x x [1, 2]. Desta maneira, S = {x R x 3 x 2} = [1, 2]. [06] (a) D =] 1, + [. (b) Observe que 2 x x 2 x x + 1 f(x) = x + 1 x (3 x + 4) = 2 (x + 1) x + 1. = 4 x ( x + 1) 2 x 2 2 x + 1 x + 1 = 4 x (x + 1) x2 2 (x + 1) x + 1 (c) f(x) > 0 se, e somente se, x ]0, + [. [08] (a) h, (b) f, (c) g. [09] (a) Sejam x 1, x 2 ], 0], com x 1 < x 2. Mas se x 1 < x 2, então x 1 > x 2 e, se x 1, x 2 ], 0], então x 1, x 2 [0, + [. Como, por hipótese, f é crescente no intervalo [0, + [, segue-se que f( x 1 ) > f( x 2 ). 6

7 Sabemos que, por hipótese, f é uma função ímpar. Logo, f( x 1 ) = f(x 1 ) e f( x 2 ) = f(x 2 ). Assim, f( x 1 ) > f( x 2 ) f(x 1 ) > f(x 2 ) f(x 1 ) < f(x 2 ). Mostramos então que, para todo x 1, x 2 ], 0], com x 1 < x 2, tem-se f(x 1 ) < f(x 2 ). Logo, f é crescente no intervalo ], 0]. (b) Sejam x 1, x 2 [0, + ), com x 1 < x 2. Temos então que x 1 0, x 2 > 0 e x 2 x 1 > 0. Mas se x 1 > 0 e x 2 0, então x n 1 2 > 0, x n 2 2 x 1 0,, x 2 x n 2 1 0, x n Em particular, x n x n 2 2 x x 2 x n x n 1 1 > 0. Portanto, x n 2 x n 1 = (x 2 x 1 ) }{{} >0 (x2 n 1 + x2 n 2 x x 2 x1 n 2 + x1 n 1 ) }{{} >0 Mas, se x n 2 x n 1 > 0, então x n 1 < x n 2. Isto mostra que f é crescente no intervalo [0, + [. (c) Pelos itens (a) e (b), sabemos que f é crescente em [0, + [ e em ], 0]. Se n N é impar, então f(x) > 0 para todo x ]0, + [ e f(x) < 0 para todo x ], 0[. Sejam agora x 1, x 2 R com x 1 < x 2. Temos três possibilidades: (1) x 1, x 2 [0, + [, (2) x 1, x 2 ], 0] e (3) x 1 ], 0[ e x 2 ]0, + [. Nos três casos x n 1 < x n 2. Logo f é crescente em R. [10] é maior do que , pois = (3 2 ) 1000 = > = (2 3 ) 1000 = > 0 [12] 4 1 = 1 porque 1 é um número não negativo e 1 4 = 1. [13] Apesar de 2 elevado a 4 ser igual a 16, 2 é um número negativo e, por definição, 4 16 é o único número real não negativo que elevado a 4 é igual a 16 (uma raiz n-ésima, com n par, é sempre não negativa). Desta maneira, 4 16 é igual a 2 e não 2. Agora, = 3 porque 3 é o (único) número real que elevado a 5 é igual a 243. [14] Apenas a igualdade (2) está errada. Se a = 1, então (a 4 ) 1 4 = (( 1) 4 ) 1 4 = = 1 e a = a 1 = a = 1. Logo, para a = 1, (a 4 ) 1 4 a [15] Sugestão: use o Exercício [19] da Lista 9. [16] Sugestão: use o Exercício [19] da Lista 9. [22] De fato: sejam a = 2, b = 1/2 e x = 1. Temos que (x a ) b = (( 1) 2 ) 1 2 = 1 1/2 = 1 e x a b = ( 1) = ( 1) 1 = 1, enquanto que (x b ) a = (( 1) 1/2 ) 2 não está definido, pois a função x x 1/2 está definida para x 0 e 1 é menor do que 0. [23] (a) Aproximadamente 3.1 m. (b) 125 kg. (c) 800%. [24] Pelo modelo, o tempo de incubação de um ovo de um beija-flor é igual a (0.2) dias. [25] (a) G, (b) f, (c) F, (d) g. Texto composto em L A TEX2e, HJB, 04/11/