A função raiz quadrada

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1 Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense A função raiz quadrada Parte 6 Parte 6 Matemática Básica 1 Parte 6 Matemática Básica 2 A função raiz quadrada f : [0, + ) [0, + ) x y = f (x) =x 2 Já demonstramos que f : [0, + ) [0, + ) é injetiva Já mencionamos que f : [0, + ) [0, + ) é sobrejetiva (a prova deste fato requer ferramentas de análise) Logo f : [0, + ) [0, + ) é bijetiva e, portanto, inversível A função inversa f 1 de f é denominada função raiz quadrada Usaremos a notação x Explicando Se a 0, então a éoúnico número real 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a f : [0, + ) [0, + ) x y = f (x) =x 2 f 1 : [0, + ) [0, + ) x y = f 1 (x) = x a 0, pois como vamos calcular a = f 1 (a), a deve estar no domínio de f 1, que é igual ao contradomínio de f, o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, + ) a é único, pois se não fosse único, f 1 não seria uma função a 0, pois a = f 1 (a) pertence ao contradomínio de f 1, que é igual ao domínio de f, o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, + ) para representar f 1 (x) a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois ( a) 2 =(f 1 (a)) 2 = f (f 1 (a)) = (f f 1 )(a) =a Note então que, se a 0, então a éoúnico número real 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a Parte 6 Matemática Básica 3 Parte 6 Matemática Básica 4

2 A função raiz quadrada Propriedades a R, a 2 = a a, b 0, a b = a b e a, b 0, a b = a b a 0, b > 0, a a a a b = e a 0, b < 0, b b = b A função raiz quadrada é crescente: a, b 0, a < b a < b (Ir para o GeoGebra) a, b 0, a + b a + b Parte 6 Matemática Básica 5 Parte 6 Matemática Básica 6 Propriedade: demonstração a R, a 2 = a Propriedade: demonstração a, b 0, a b = a b e a, b 0, a b = a b Demonstração Considere o número p = a Como vimos, p = a 0 Vale também que p 2 = a 2 = a 2 De fato: se a 0, então a 2 = a a = a a = a 2 e, se a < 0, então a 2 = a a =( a) ( a) =a 2 Como a 2 éoúnico número real 0 que elevado ao quadrado é igual a a 2, segue-se que a 2 = p = a Demonstração Considere o número p = a b Note que p = a b 0 como produto de dois números 0 Vale também que p 2 =( a b) 2 = a b De fato: p 2 =( a b) 2 =( a) 2 ( b) 2 = a b Como a b éoúnico número real 0 que elevado ao quadrado é igual a a b, seguese que a b = p = a b A demonstração de que a, b 0, a b = a b fica como exercício Parte 6 Matemática Básica 7 Parte 6 Matemática Básica 8

3 Propriedade: demonstração a 0, b > 0, a b = a b e a 0, b < 0, a a b = b Propriedade: demonstração A função raiz quadrada é crescente: a, b 0, a < b a < b Demonstração Considere o número p = a/ b Note que p = a/ b 0 como divisão de um número 0 por um número > 0 Vale também que p 2 =( a/ b) 2 = a/b De fato: ( ) 2 a p 2 = = ( a) 2 b ( b) = a 2 b Como a/b éoúnico número real 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, seguese que a/b = p = a/ b a 0, b < 0, a/b = a/ b fica como exercício Demonstração Sejam a, b 0 com a < b Note que b > 0, b > 0, b a > 0e b + a > 0 Uma vez que podemos escrever que (b a) =( b a) ( b + a), b a = b a b + a Assim, b a > 0 como divisão de dois números > 0 Em particular, a < b Naturalmente, vale também que se 0 a b, então a b Parte 6 Matemática Básica 9 Parte 6 Matemática Básica 10 Propriedade: demonstração a, b 0, a + b a + b Propriedade: demonstração a, b 0, a + b a + b Demonstração Sejam a, b 0 Inicialmente, observe que a + b 0e a + b 0 como soma de dois números 0 Note também que a b 0 como produto de dois números 0 Agora 0 a b 0 2 a b a + b a + 2 a b + b a + b ( a + b) 2 Como 0 a + b ( a + b) 2, usando a propriedade anterior, concluímos que a + b ( a + b) 2 Observação Note que, na expressão acima, nem sempre vale a igualdade! Tome, por exemplo, a = 9eb = 16: a + b = 5 < 7 = 3+4 = a+ b Quando vale a igualdade? Resposta: a, b 0e a + b = a + b a = 0oub = 0 Mas, pela primeira propriedade, ( a + b) 2 = a + b = a + b Portanto, vale que a + b a + b Parte 6 Matemática Básica 11 Parte 6 Matemática Básica 12

4 Exercício As funções f (x) = x 1 x 1 x 2 e g(x) = são iguais? x 2 Resposta As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes Note, por exemplo, que 0 pertence ao domínio de f, mas 0 não pertence ao domínio de g Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por: D f =(, 1] (2, + ) e D g =(2, + ) Note, contudo, que restritas ao conjunto A = D f D g =(2, + ), as duas funções são iguais: f = g (2,+ ) (2,+ ) A distância euclidiana entre dois pontos no plano Parte 6 Matemática Básica 13 Parte 6 Matemática Básica 14 A distância euclidiana entre dois pontos no plano A equação do círculo no plano (Ir para o GeoGebra) Parte 6 Matemática Básica 15 Parte 6 Matemática Básica 16

5 A equação do círculo no plano O círculo de centro em (4, 3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x, y) no plano cuja distância até o centro (4, 3) é igual ao raio 1 A equação do círculo no plano O círculo de centro em (4, 3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x, y) no plano cuja distância até o centro (4, 3) é igual ao raio 1 5 y d((x, y), (4, 3)) = 1 (x 4) 2 +(y 3) 2 = 1 ( (x 4) 2 +(y 3) 2 ) 2 = (x, y) (4, 3) (x 4) 2 +(y 3) 2 = x Parte 6 Matemática Básica 17 Parte 6 Matemática Básica 18 Funções reais cujos gráficos são semicírculos Funções reais cujos gráficos são semicírculos Moral: o gráfico de y = f (x) = a 2 x 2 é o semicírculo superior de centro na origem e raio a Parte 6 Matemática Básica 19 Parte 6 Matemática Básica 20

6 Funções reais cujos gráficos são semicírculos Funções reais cujos gráficos são semicírculos Moral: o gráfico de y = f (x) = a 2 x 2 é o semicírculo superior de centro na origem e raio a Moral: o gráfico de y = f (x) = a 2 x 2 é o semicírculo superior de centro na origem e raio a Parte 6 Matemática Básica 21 Parte 6 Matemática Básica 22 Funções reais cujos gráficos são semicírculos Funções reais cujos gráficos são semicírculos Moral: o gráfico de y = f (x) = a 2 x 2 é o semicírculo superior de centro na origem e raio a Moral: o gráfico de y = f (x) = a 2 x 2 é o semicírculo superior de centro na origem e raio a Parte 6 Matemática Básica 23 Parte 6 Matemática Básica 24

7 Funções reais cujos gráficos são semicírculos Funções da forma f (x) =x n, com n N Moral: o gráfico de y = f (x) = a 2 x 2 é o semicírculo superior de centro na origem e raio a Parte 6 Matemática Básica 25 Parte 6 Matemática Básica 26 Funções da forma f (x) =x n, com n N f : R R x y = f (x) =x n Funções da forma f (x) =x n, com n N f : R R x y = f (x) =x n, com n um número par Importante: se n N, x n é uma notação para } x x {{ x} n fatores Propriedades: (1) x R, n, m N, x n x m = x n+m Prova: x n x m = x x x } {{ } n fatores x x x }{{} m fatores (2) x R, n, m N, (x n ) m = x n m Prova: exercício! = x x x }{{} n+m fatores = x n+m (1) A função f é par (2) A função f é crescente em [0, + ) Prova: use a identidade a n b n =(a b)(a n 1 + a n 2 b + + ab n 2 + b n 1 ) (3) A imagem de f é o intervalo [0, + ) Prova: será feita na disciplina de cálculo Parte 6 Matemática Básica 27 Parte 6 Matemática Básica 28

8 Funções da forma f (x) =x n, com n N f : R R x y = f (x) =x n, com n um número ímpar (1) A função f é ímpar (2) A função f é crescente em R =(, + ) Prova: use a identidade a n b n =(a b)(a n 1 + a n 2 b + + ab n 2 + b n 1 ) (3) A imagem de f é R =(, + ) Prova: será feita na disciplina de cálculo Proposição Seja f : R R definida por y = f (x) =x n, com n N (a) Se 0 < x < 1, então x n+1 < x n (b) Se x > 1, então x n+1 > x n Demonstração Se 0 < x < 1, então 0 x < x x < 1 x, isto é, 0 < x 2 < x Agora, se 0 < x 2 < x, então 0 x < x 2 x < x x, isto é, 0 < x 3 < x 2 Prosseguindo com este raciocínio, concluímos que 0 < x n+1 < x n, para todo n N Isto demonstra a parte (a) A parte (b) fica como exercício Parte 6 Matemática Básica 29 Parte 6 Matemática Básica 30 Revisão: funções da forma x elevado a n A função raiz n-ésima Parte 6 Matemática Básica 31 Parte 6 Matemática Básica 32

9 A função raiz n-ésima: caso n par f : [0, + ) [0, + ) x y = f (x) =x n, com n par Já demonstramos que f : [0, + ) [0, + ) é injetiva Já mencionamos que f : [0, + ) [0, + ) é sobrejetiva (a prova deste fato requer ferramentas de análise) Logo f : [0, + ) [0, + ) é bijetiva e, portanto, inversível A função inversa f 1 de f é denominada função raiz n-ésima Usaremos as notações n x e x 1/n A função raiz n-ésima: caso n ímpar f : (, + ) (, + ) x y = f (x) =x n, com n ímpar Já demonstramos que f : (, + ) (, + ) é injetiva Já mencionamos que f : (, + ) (, + ) é sobrejetiva (a prova deste fato requer ferramentas de análise) Logo f : (, + ) (, + ) é bijetiva e, portanto, inversível A função inversa f 1 de f é denominada função raiz n-ésima Usaremos as notações n x e x 1/n para representar f 1 (x) para representar f 1 (x) Note então que, se n é par e a 0, então n a éoúnico número real 0 que, elevado a n, dá o número real a Note então que, se n é ímpar e a R, então n a éoúnico número real que, elevado a n, dá o número real a Parte 6 Matemática Básica 33 Parte 6 Matemática Básica 34 A função raiz n-ésima Cuidado! Se n é par, o domínio de f (x) = n x = x 1/n é [0, + ) Se n é ímpar, o domínio de f (x) = n x = x 1/n é R (Ir para o GeoGebra) Parte 6 Matemática Básica 35 Parte 6 Matemática Básica 36

10 Propriedades da função raiz n-ésima para n par Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar Se n é par, a R, n a n = a Se n é ímpar, a R, n a n = a Se n é par, a, b 0, n a b = n a n b e a, b 0, n a b = n a n b Se n é ímpar, a, b R, n a b = n a n b Se n é par, a 0, b > 0, n a b = n a n b e a 0, b < 0, n a b = n a n b Se n é ímpar, a R, b R {0}, n a b = n a n b A função raiz n-ésima é crescente (n par): a, b 0, a < b n a < n b A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): a, b R, a < b n a < n b Se n é par, a, b 0, n a + b n a + n b Se n é ímpar, a, b 0, n a + b n a + n b Parte 6 Matemática Básica 37 Parte 6 Matemática Básica 38 Observações Mais propriedades As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmas técnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada Elas ficam, portanto, como exercícios Na última propriedade, a fórmula do binômio de Newton pode ser útil: (a + b) n = n i=0 ( ) n a n i b i i Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejam maiores do que ou iguais a zero na desigualdade n a + b n a + n b da última propriedade De fato: se a = 1, b = 1 e n = 3, então = 3 2 > 2 = Se n é par e m N, então x 0, Se n é ímpar e m N, então x R, Se m é par ou n é par, então x 0, Se m e n são ímpares, então x R, n x m =( n x) m n x m =( n x) m n m x = nm x n m x = nm x Parte 6 Matemática Básica 39 Parte 6 Matemática Básica 40

11 Funções da forma x elevado a menos n y = f (x) =x n = 1 x n, com n N e x 0 Funções da forma x elevado a menos n (1) f é uma função par se n é um número par e f é uma função ímpar se n é um número ímpar (2) f é uma função decrescente no intervalo (0, + ) (3) Se 0 < x < 1, então 1 x n < 1 x n+1 (4) Se 1 < x, então 1 x n+1 < 1 x n Parte 6 Matemática Básica 41 Parte 6 Matemática Básica 42 Funções da forma x elevado a menos n Funções da forma x elevado a menos n Parte 6 Matemática Básica 43 Parte 6 Matemática Básica 44

12 Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) y = f (x) =x p/q, com p Z {0}, q N e p/q fração irredutível Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) (1) Se p > 0, q > 0eq é par, então, por definição, para todo x 0 x p/q = q x p (2) Se p > 0, q > 0eq é ímpar, então, por definição, x p/q = q x p para todo x R Parte 6 Matemática Básica 45 Parte 6 Matemática Básica 46 Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) Exemplos y = f (x) =x p/q, com p Z {0}, q N e p/q fração irredutível (1) Se p < 0, q > 0eq é par, então, por definição, para todo x > 0 x p/q = 1 x p/q = 1 q x p (2) Se p < 0, q > 0eq é ímpar, então, por definição, x p/q = 1 x p/q = 1 q x p x 5/3 = 3 x 5, x R x 3/8 = 8 x 3, x 0 x 5/4 = 1 x 5/4 = 4 1, x > 0 x 5 x 2/3 = 1 x 2/3 = 3 1, x 0 x 2 para todo x R {0} Parte 6 Matemática Básica 47 Parte 6 Matemática Básica 48

13 Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) Por que a definição exige que a fração p/q seja irredutível? 3/2 = 6/4 mas E potências irracionais? 2 x 3 está definida para x 0 enquanto que 4 x 6 está definida para x R Parte 6 Matemática Básica 49 Parte 6 Matemática Básica 50 Como calcular f (x) =x 2 para x = 3? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de = = = = = = = = = = Aplicações de Leis de Potência Parte 6 Matemática Básica 51 Parte 6 Matemática Básica 52

14 A Lei de Zipf A Lei de Zipf: Dom Casmurro de Machado de Assis (A) Posição (x) Frequência (y) Palavra que a e de o não Capitu Bentinho zanguei zás zeloso (B) x = log(x) ỹ = log(y) Palavra 0, ,42878 que 0, ,39619 a 0, ,33965 e 0, ,29446 de 0, ,22297 o 0, ,18497 não 1, ,53275 Capitu 2, ,74818 Bentinho 3, ,00000 zanguei 3, ,00000 zás 3, ,00000 zeloso Frequência das palavras em Dom Casmurro de Machado de Assis Parte 6 Matemática Básica 53 Parte 6 Matemática Básica 54 A Lei de Zipf: Dom Casmurro de Machado de Assis ỹ = 3,837 1,005 x ln(y) =3,837 1,005 ln(x) y = 6870,684 x 1,005 A Lei de Zipf: Romeo and Juliet de Shakespeare (A) Posição (x) Frequência (y) Palavra and the I to a of Romeo Juliet yoke yon youngest (B) x = log(x) ỹ = log(y) Palavra 0, ,85003 and 0, ,83758 the 0, ,76789 I 0, ,73239 to 0, ,66651 a 0, ,59769 of 1, ,47129 Romeo 1, ,25042 Juliet 3, ,00000 yoke 3, ,00000 yon 3, ,00000 youngest Frequência das palavras em Romeo and Juliet de William Shakespeare Parte 6 Matemática Básica 55 Parte 6 Matemática Básica 56

15 A Lei de Zipf: Romeo and Juliet de Shakespeare Leis de Potência ỹ = 3,674 1,070 x ln(y) =3,674 1,070 ln(x) y = 4726,348 x 1,070 Parte 6 Matemática Básica 57 Parte 6 Matemática Básica 58 Leis de Potência Voos de Levy Parte 6 Matemática Básica 59 Parte 6 Matemática Básica 60

16 Voos de Levy Voos de Levy Parte 6 Matemática Básica 61 Parte 6 Matemática Básica 62 Leis de Potência Cuidado: alguns fernômenos são, outros não são descritos por uma lei de potência! Clauset, Shalizi and Newman: Power-Law Distributions in Empirical Data SIAM Review, Vol 51, No 4, pp , 2009 Parte 6 Matemática Básica 63