Aula 11 Conseqüências da semelhança de

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1 onseqüências da semelhança de triângulos MÓULO 1 - UL 11 ula 11 onseqüências da semelhança de triângulos Objetivos presentar o Teorema de Pitágoras presentar o teorema da bissetriz interna. O Teorema de Pitágoras om os casos de semelhança de triângulos já estabelecidos, podemos agora provar o famoso teorema de Pitágoras: Teorema de Pitágoras Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Prova: Seja um triângulo retângulo com ângulo reto no vértice. Queremos provar que [m()] 2 = [m()] 2 + [m()] 2. Para isso, considere a altura do triângulo a partir do vértice (figura 208). Você sabia que... Segundo uma lenda, como prova de sua gratidão pela descoberto do teorema que leva o seu nome, Pitágoras sacrificou 100 bois aos deuses. Na verdade, o Teorema de Pitágoras já era conhecido pelos babilônios através da observação e da experimentação, mas a primeira prova formal é atribuída aos pitagóricos. Não se sabe, contudo, se o teorema foi provado por Pitágoras pessoalmente. Fig. 208: Prova do teorema de Pitágoras. 133 EERJ

2 onseqüências da semelhança de triângulos Os triângulos e são triângulos retângulos e possuem o ângulo ˆ em comum. Segue da proposição 23 que (não se esqueça de que quando escrevemos queremos dizer que e são semelhantes segundo a correspondência, e ). Logo, prova dada aqui para o Teorema de Pitágoras não é a mesma dada por Euclides. prova de Euclides faz uso da teoria de área de figuras planas. m() m() = m() m(). a mesma forma, conclui-se que os triângulos e são semelhantes e que m() m() = m() m(). Segue das igualdades acima que [m()] 2 = m().m() e [m()] 2 = m()m(). Somando membro a membro essas igualdades, obtemos O Teorema de Pitágoras é tão famoso que inspirou um quadro humorístico do comediante gildo Ribeiro nos anos 80. [m()] 2 + [m()] 2 = m().m() + m().m() = m().[m() + m()] = m().m() = m() 2 Q.E.. Você sabia que... média geométrica entre dois números m e n é definida como a raiz quadrada do produto desses números. recíproca do Teorema de Pitágoras é também verdadeira, ou seja, se um triângulo tem lados de medidas a, b e c com a 2 = b 2 + c 2, então é um triângulo retângulo (veja exercício 2 desta aula). Existe outra relação válida para triângulos retângulos que é bastante usada. Ela está destacada na proposição que se segue. Proposição 26 Em todo triângulo retângulo, a medida da altura relativa à hipotenusa é igual à média geométrica das medidas dos segmentos que ela determina sobre a hipotenusa. Prova: Em relação à figura 208, queremos provar que [m()] 2 = m().m(). EERJ 134

3 onseqüências da semelhança de triângulos MÓULO 1 - UL 11 Para isso, novamente utilizaremos semelhança de triângulos. omo ˆ + Â = 90o (pois é reto) e ˆ + Ĉ = 90o (pois Â é reto) segue que Â = Ĉ. a mesma forma, como Â +Ĉ = 90o e ˆ +Ĉ = 90o, obtemos Â = ˆ (veja figura 209). Fig. 209:. proposição 23 nos garante que. Logo, m() m() = m() m(). aí conclui-se que [m()] 2 = m().m(). Q.E.. Usando o Teorema de Pitágoras, podemos mostrar agora a existência de segmentos incomensuráveis. diagonal (figura 210). onsidere um quadrado e trace a escola pitagórica tinha como lema que tudo poderia ser explicado pelos números inteiros. Em particular, a razão entre dois segmentos quaisquer seria sempre igual a um número racional (razão entre dois números inteiros), ou seja, quaisquer dois segmentos seriam comensuráveis. descoberta da inscomensurabilidade entre o lado e a diagonal de um quadrado colocou em cheque o lema da Escola. Segundo uma lenda, Hiparcus (400 a..) foi expulso da Escola e depois afogado no mar como punição por ter se tornada pública a descoberta de grandezas incomensuráveis. Fig. 210: Existência de segmento incomensurável. O triângulo é retângulo com ângulo reto no vértice. Usando-se o segmento como unidade de medida, obtém-se do Teorema de Pitágoras que [m()] 2 = [m()] 2 + [m()] 2 = = 2, ou seja, m() = 2. conclusão é que a medida de, usando como unidade o segmento, é um número irracional, o que mostra que os segmentos e são incomensuráveis. 135 EERJ

4 onseqüências da semelhança de triângulos O teorema da bissetriz interna presentamos, agora, um resultado que se mostra útil em muitas situações: Teorema (da bissetriz interna) Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. Prova: Seja um triângulo qualquer e considere a bissetriz interna (figura 211). Queremos provar que m() m() = m() m(). Fig. 211: Teorema da bissetriz interna. Se, tem-se por L..L. que. omo conseqüência, e, então, m() m() = m(). Suponha agora que m() e não sejam congruentes. Por exemplo, suponha que <. Nesse caso, Ĉ <. Existe então uma semi-reta E tal que E Ĉ. Seja F o ponto em que essa semi-reta intersecta (figura 212). E F Fig. 212: Teorema da bissetriz interna. EERJ 136

5 onseqüências da semelhança de triângulos MÓULO 1 - UL 11 Pela proposição 24, os triângulos F e são semelhantes, pois F Ĉ e ÂF Â. Em conseqüência, F e m(f ) m() = m() m(). omo F, segue que F F e, assim, F. Substituindo na equação, obtemos finalmente que m() m() = m() m(), ou, equivalentemente, que m() m() = m() m(). Q.E.. Resumo Nesta aula você aprendeu... Que em qualquer triângulo retângulo o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos (Teorema de Pitágoras). Que a medida da altura relativa à hipotenusa é a média geométrica das medidas dos segmentos que ela determina sobre a hipotenusa. Que uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes (Teorema da issetriz Interna) Exercícios 1. etermine o raio do círculo inscrito e o raio do círculo circunscrito em um triângulo equilátero de 10 cm de lado. 2. (Recíproca do Teorema de Pitágoras.) Prove que se em um triângulo tem-se [m()] 2 = [m()] 2 + [m()] 2, então é retângulo de hipotenusa. 137 EERJ

6 onseqüências da semelhança de triângulos 3. Seja um triângulo retângulo de hipotenusa e seja a altura relativa à hipotenusa. Para facilitar, façamos c = m(), b = m(), a = m(), h = m(), m = m() e n = m() (veja a figura 213). c h b m n a Fig. 213: Exercício 3. Prove que b 2 = a.n, c 2 = a.m e a.h = b.c. Essas equações, juntamente com o Teorema de Pitágoras e a proposição 26, constituem o que chamamos de relações métricas em um triângulo retângulo. 4. etermine x no triângulo retângulo da figura x 2 7 2x Fig. 214: Exercício etermine x na figura 215, sabendo que é tangente aos dois círculos. O O' x Fig. 215: Exercício 5. EERJ 138

7 onseqüências da semelhança de triângulos MÓULO 1 - UL etermine x na figura x Fig. 216: Exercício Na figura 217, é mediana, E é altura e o perímetro de. Â é reto. etermine 3 5 E Fig. 217: Exercício etermine a medida do segmento da figura 218, sabendo que é bissetriz e Â é reto. 3 4 Fig. 218: Exercício Um observador vê um edifício, construído em um terreno plano, sob um ângulo de 60 o. Se ele se afastar do edifício mais 30 m, passará a vê-lo sob um ângulo de 45 o. etermine a altura do edifício. OS: Não use trigonometria. 139 EERJ

8 onseqüências da semelhança de triângulos 10. Na figura 219, é um quadrado de 4 cm de lado, m(e) = 1 3 m() e m(f ) = 1 m(). etermine m(gh). 4 G E H F Fig. 219: Exercício Na figura 220, S é bissetriz de Â e P é bissetriz de Â. etermine m(sp ) S P Fig. 220: Exercício etermine x na figura E x 6 G F 7 Fig. 221: Exercício 12. EERJ 140

9 onseqüências da semelhança de triângulos MÓULO 1 - UL (U. MK- 1975) Um ponto P dista 5 cm do centro de um círculo de 13 cm de raio. Pelo ponto P traça-se a corda de 25 cm. Os comprimentos dos segmentos que P determina sobre a corda são iguais a: (a) 11 cm e 14 cm (b) 7 cm e 18 cm (c) 16 cm e 9 cm (d) 5 cm e 20 cm (e) 8 cm e 17 cm 14. (UFMG-1982) Num círculo, a corda é perpendicular ao diâmetro no ponto E. Se m(e).m(e) = 3, a medida de é: (a) 3 (b) 2 3 (c) 3 3 (d) 3 (e) (VUNESP-1991) Na figura 222, o triângulo é reto em e é bissetriz de Â. Fig. 222: Exercício 15. Se m() = 2m(), fazendo m() = b e m() = d, podemos concluir que: (a) d = b (b) d = (d) d = ( ) 6 b (e) d = 5 ( ) 5 b (c) d = 2 ( ) 5 b 4 ( ) 5 b EERJ

10 onseqüências da semelhança de triângulos 16. (UFGO-1980) O perímetro de um triângulo isósceles de 3 cm de altura é 18 cm. Os lados desse triângulo, em cm, são: (a) 7, 7, 4 (b) 5, 5, 8 (c) 6, 6, 6 (d) 4, 4, 10 (e) 3, 3, (ESGRNRIO-1991) Uma folha quadrada de papel é dobrada de modo que o vértice coincida com o ponto médio de (veja figura 223). P M M Fig. 223: Exercício 17. Se o lado de é 1, o comprimento de P é igual a: (a) 0, 300 (b) 0, 325 (c) 0, 375 (d) 0, 450 (e) 0, (FTE-1978) Na figura 224, as circunferências 1 e 2 tangenciam-se no ponto P e a reta t tangencia 1 e 2 nos pontos e, respectivamente. t P 2 1 Fig. 224: Exercício 18. Se o raio de 1 é 8 cm e o raio de 2 é 2 cm, então: (a) m() = 8cm (b) m() = 13 cm (c) m() = 10 cm (d) m() = 12 cm (e) Nenhuma das respostas anteriores EERJ 142

11 onseqüências da semelhança de triângulos MÓULO 1 - UL (OVEST ) Na figura 225, temos duas circunferências concêntricas, com raios medindo 4 cm e 5 cm, respectivamente. Por um ponto P da circunferência menor, traça-se a reta tangente à mesma, a qual determina pontos e na circunferência maior. P Fig. 225: Exercício 19. O comprimento do segmento é: (a) 3 2 cm (b) 6 cm (c) 3 3 cm (d) 6, 1 cm (e) 5, 8 cm 20. (ESGRNRIO, OMITE-1973) Na figura 226, as circunferências de centros P e S são ambas tangentes à reta u no mesmo ponto Q, e a reta que passa por P e R tangencia a circunferência menor no ponto T. R T P S Q u Fig. 226: Exercício 20. Sendo os raios das circunferências 8 m e 3 m, respectivamente, a medida do segmento QR é igual a: (a) 4 m (b) 6 m (c) 8 m (d) 2 m (e) diferente dos quatro valores anteriores 143 EERJ

12 onseqüências da semelhança de triângulos 21. (EPUSP-1966) Os lados de um triângulo estão na razão 6 : 8 : 9. Então: (a) O triângulo é obtusângulo (b) O triângulo é acutângulo (c) Os ângulos estão na razão 6 : 8 : 9 (d) O ângulo oposto ao lado maior é o dobro do ângulo oposto ao lado menor (e) Nenhuma das respostas anteriores 22. (UFF, 1993) No triângulo isósceles P QR da figura 227, RH é a altura relativa ao lado P Q, m(p Q) = m(rq) = 10 cm e m(p R) = 6 cm. Q H T P R Fig. 227: Exercício 22. Se M é o ponto médio de P R, então o semicírculo de centro M e tangente a RH tem raio igual a: (a) 0, 50 cm (b) 0, 75 cm (c) 0, 90 cm (d) 1, 00 cm (e) 1, 50 cm EERJ 144