7 a SÉRIE 8 o ANO MATEMÁTICA. Caderno do Aluno Volume 1 ENSINO FUNDAMENTAL ANOS FINAIS

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1 7 a SÉRIE 8 o ANO ENSINO FUNDAMENTAL ANOS FINAIS Caderno do Aluno Volume 1 MATEMÁTICA

2 GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO SECRETARIA DA EDUCAÇÃO MATERIAL DE APOIO AO CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO CADERNO DO ALUNO MATEMÁTICA ENSINO FUNDAMENTAL ANOS FINAIS 7 a SÉRIE/8 o ANO VOLUME 1 Nova edição São Paulo

3 Governo do Estado de São Paulo Governador Geraldo Alckmin Vice-Governador Guilherme Afif Domingos Secretário da Educação Herman Voorwald Secretário-Adjunto João Cardoso Palma Filho Chefe de Gabinete Fernando Padula Novaes Subsecretária de Articulação Regional Rosania Morales Morroni Coordenadora da Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores EFAP Silvia Andrade da Cunha Galletta Coordenadora de Gestão da Educação Básica Maria Elizabete da Costa Coordenadora de Gestão de Recursos Humanos Cleide Bauab Eid Bochixio Coordenadora de Informação, Monitoramento e Avaliação Educacional Ione Cristina Ribeiro de Assunção Coordenadora de Infraestrutura e Serviços Escolares Ana Leonor Sala Alonso Coordenadora de Orçamento e Finanças Claudia Chiaroni Afuso Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação FDE Barjas Negri

4 Caro(a) aluno(a), Para viver no mundo atual com qualidade de vida é preciso ter cada vez mais conhecimentos, respeitar valores e desenvolver atitudes positivas em relação a si e aos outros. Os conhecimentos que a humanidade construiu ao longo do tempo é um valioso tesouro, que nos permite compreender o mundo que nos cerca, interagir com as pessoas, tomar decisões... Ler, observar, registrar, analisar, comparar, refletir e expressar-se são algumas formas de compartilhar esse tesouro. Sendo assim, este material foi elaborado especialmente para ajudar você a compreender e a utilizar parte desses conhecimentos. O objetivo das Situações de Aprendizagem deste Caderno é apresentar conhecimentos matemáticos de forma contextualizada, para que a aprendizagem seja construída como parte de sua vida cotidiana e do mundo ao seu redor. Logo, as atividades propostas não devem ser consideradas simplesmente exercícios ou problemas a serem resolvidos com técnicas transformadas em rotinas automatizadas. Pelo contrário, muitas dessas situações podem ser vistas como ponto de partida para estudar ou aprofundar uma noção ou propriedade matemática. Aprender exige esforço e dedicação, mas também envolve curiosidade e criatividade, que estimulam a troca de ideias e conhecimentos. Por isso, sugerimos que você participe das aulas, observe as explicações do professor, faça anotações, exponha suas dúvidas; além disso, é importante que você não se intimide em fazer perguntas e que procure respostas aos seus questionamentos, e que também dê sua opinião. Você estudará neste Caderno os seguintes assuntos: os números racionais, frações, dízimas periódicas, potências e a memória do computador, aritmética com álgebra (as letras como números), produtos notáveis (significados geométricos), álgebra (fatoração e equações), aritmética e geometria (integração entre números e as formas geométricas). Se precisar, peça ajuda ao professor, pois ele pode orientá-lo sobre o que estudar e pesquisar, como organizar os estudos e onde buscar mais informações sobre um assunto. Reserve todos os dias um horário para fazer as tarefas e rever os conteúdos, porque assim você evita que eles se acumulem. Ajude e peça ajuda aos colegas, pois partilhar ideias é fundamental para construção do conhecimento. Aprender pode ser muito prazeroso, e temos certeza de que você vai descobrir isso. Equipe Curricular de Matemática Coordenadoria de Gestão da Educação Básica CGEB Secretaria da Educação do Estado de São Paulo

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6 Matemática 7 a série/8 o ano Volume 1 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 OS RACIONAIS COMO MOSTRUÁRIO DAS FRAÇÕES Leitura e análise de texto Os números racionais são associados à ideia de razão. Uma fração é uma razão entre dois números inteiros, ou seja, é um número racional. Mas qual é a diferença entre uma fração e uma razão entre dois números quaisquer? E qual é a diferença entre uma fração e um número racional? Na base da construção das respostas a essas perguntas está a noção de relação de equivalência. Quando temos diante de nós um conjunto muito bagunçado de elementos e queremos organizá-lo, recorremos à ideia de equivalência. O conjunto de automóveis que circulam neste momento em nossa cidade é um conjunto bagunçado ; podemos olhar para ele, no entanto, com a intenção de organizá-lo segundo algum critério. Podemos fazer isso considerando apenas o fabricante de cada automóvel ou, se prefe - rir mos, considerando a cor deste. Se considerarmos apenas a cor de cada automóvel, tratando co mo equivalentes todos os automóveis de mesma cor, o conjunto dos automóveis ficará organizado em classes de equivalência. De acordo com esse critério, todos os automóveis brancos estarão em uma mesma classe, todos os automóveis azuis estarão em outra, e assim por diante. A definição da relação de equivalência dois automóveis são equivalentes se, e somente se, têm a mesma cor conduziu a uma organização do conjunto inicial de automóveis em um conjunto de classes de equivalência. Fixando-se uma relação de equivalência ou seja, ter o mesmo fabricante, o conjunto inicial pode ser reduzido a uma espécie de mostruário, em que um representante de cada fabricante é suficiente para mapear todo o conjunto. O mostruário representará, então, o conjunto das cores: Mostruário do conjunto dos automóveis quanto às cores Branco Azul Preto Prata Cinza Verde Outros PRETO AZUL PRATA BRANCO OUTROS VERDE CINZA Conexão Editorial 5

7 Da mesma forma, podemos organizar o conjunto das frações, considerando equivalentes e situando em uma mesma classe de equivalência todas as frações que representarem a mesma parte da unidade, como 1 2 ; 3 6 ; 5 10 ;0,5; ; 7 ( 14) ; ;... (todas representam a metade da unidade), ou, então, 5 3 ; 10 6 ; 1,666...; ; 300 ;... (todas representam um inteiro mais dois terços). 180 Se o conjunto de todas as frações que existem for organizado assim, agrupando-se em uma mesma classe as frações equivalentes, então o mostruário do conjunto das frações é o conjunto dos números racionais. Um número racional é, portanto, o representante de uma classe de frações equivalentes. Assim, um número racional representa o que há de comum entre todas as frações que representam a mesma parte da unidade ; 2; ; 0, ; ; 4 ; 0,4; ; ;...;... 7 ; 2,333...; ,666...; 5 3 ; 15 9 ; ; 3 9 ; 7 21 ; ; 2 6 ; ; 3 ; 0,5; ; ; 7 14 ; Mostruário das frações: conjunto dos números racionais VOCÊ APRENDEU? 1. Podemos organizar o conjunto de todos os polígonos que existem em classes de equivalência segundo o critério do número de lados. Nesse caso: 6

8 a) quais seriam as classes de equivalência? b) qual seria o mostruário do conjunto dos polígonos? 2. Considere o conjunto dos números inteiros não nulos representados na reta numerada e a relação de equivalência: dois números inteiros são equivalentes se, e somente se, estiverem à mesma distância da origem, onde está o número zero. Nesse caso: a) quais seriam as classes de equivalência? b) qual seria o mostruário? 7

9 3. Considere o conjunto de todas as frações positivas. Para organizá-lo em classes, consideremos equivalentes todas as frações cuja soma do numerador com o denominador resulte sempre no mesmo número. Por exemplo, 2 5 classe de 1 36 e 7, e assim por diante. Nesse caso: 30 estaria na mesma classe de 1 6 e de 3 4 ; estaria na mesma a) quais seriam as classes de equivalência? Antes, para ajudá-lo na tarefa, preencha a tabela a seguir, escrevendo na coluna à direita as frações cuja soma do numerador e denominador vem indicada na coluna da esquerda: Soma igual a 2 Soma igual a 3 Soma igual a 4 Soma igual a 5 Soma igual a 6 b) qual seria o mostruário? Localização dos números racionais na reta 4. Localize na reta a seguir os números racionais: 1, 2, 1 3, 5 2, 3 4 e 0, Responda às seguintes perguntas: a) Qual é o número natural sucessor de 15? b) Qual é o número inteiro sucessor de 7? 8

10 c) Qual é o número racional consecutivo de 1 3? d) Quantos números inteiros existem entre 6 e 0? e) Quantos números racionais existem entre 6 e 0? f) Quantos números racionais existem entre 0,1 e 0,2? 6. Na atividade anterior, você observou que, diferentemente dos números naturais e inteiros, não existe sucessor de um número racional e que entre dois números racionais sempre existe uma infinidade de outros números racionais. Os conjuntos que possuem essas propriedades são chamados de conjuntos densos. Sendo assim, encontre um número racional que esteja entre: a) 1 2 e 3 4 b) 1 e 5 4 c) 0,88 e 0,889 9

11 d) 1, e 1, LIÇÃO DE CASA 7. Desenhe uma reta e localize nela os números 1 8 e 1. Identifique três números fracionários que estejam entre ambos Em que intervalo há mais números racionais: entre 0 e 1 ou entre 0 e 0,1? 9. Em nossa vida, lidamos com conjuntos que têm a qualidade de serem densos. Um exemplo disso é o tempo: qual é o instante sucessor das 10 horas? É impossível definir, assim como percebemos que entre dois instantes de tempo há uma infinidade de instantes. Pense em outras duas situações que envolvam conjuntos densos. 10

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13 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 AS DÍZIMAS PERIÓDICAS SÃO PREVISÍVEIS... Desafio! Cada casa da tabela a seguir corresponde a uma fração cujos numerador e denominador são identificados nas respectivas linha e coluna. Assim, por exemplo, a casa assinalada na tabela com a letra E corresponde à fração 3, enquanto a casa assinalada com a letra M 4 corresponde à fração 6. Assinale com um X as casas correspondentes às frações gera trizes 7 de dízimas periódicas. Numerador Denominador 4 E M

14 VOCÊ APRENDEU? 1. Analisando a tabela da seção Desafio!, identifique quando uma fração irredutível não gera uma dízima ao ser dividido o numerador pelo denominador. 2. Quando uma fração com denominador igual a 3 não gera uma dízima? 3. Todas as frações irredutíveis com denominador contendo apenas fator primo igual a 3 geram dízimas periódicas? Dê exemplos para justificar sua resposta. 4. Escreva a sequência dos números primos menores do que Quais dos números primos que você escreveu na atividade anterior podem ser combinados para formar o denominador de uma fração irredutível e geradora de uma dízima periódica? 13

15 6. Escreva cinco exemplos de frações, diferentes das vistas em sala de aula, nas quais a divisão entre numerador e denominador resultará em uma dízima periódica. LIÇÃO DE CASA 7. Em que situação a divisão entre numerador e denominador de uma fração irredutível gera uma dízima periódica? 8. Escreva cinco exemplos de frações, diferentes das vistas em sala de aula, nas quais, com certeza, a divisão entre numerador e denominador não resultará em uma dízima periódica. Leitura e análise de texto Dízimas periódicas e cíclicas Quando uma fração corresponde a uma dízima periódica, podemos notar que é possível uma estimativa do tamanho máximo do seu período, isto é, do número de casas decimais que se repetirão. 14

16 Observe a divisão de 1 por 7: r e s t o s , quocientes Nessa divisão, acrescentando os zeros necessários para produzir as casas decimais, observamos que as divisões parciais não são exatas e que os restos possíveis são menores do que 7, ou seja, serão 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 o resto 0 (zero) não é incluído, pois sua presença indicaria que a divisão tem um resultado exato, sendo, portanto, um decimal finito. Assim, na sétima casa decimal, certamente ocorrerá a repetição de um resto e, a partir daí, como sempre completamos com zero para continuar a divisão, todos os outros restos se repetirão, produzindo a dízima periódica. Poderíamos prever que, nesse caso, a dízima resultante da divisão teria um período de, no máximo, seis casas decimais, o que efetivamente ocorreu. Quocientes Restos Na tabela construída, colocamos em ordem os quocientes decimais e os restos produzidos por eles. Observe o desenvolvimento decimal de 2 7 : r e s t o s , quocientes Quocientes Restos

17 Comparando os períodos gerados pelas duas frações, podemos observar que elas possuem os mesmos algarismos, porém ordenados de forma diferente e respeitando um movimento cíclico. Observando que a divisão de 2 7 começa com resto 2, que também aparece como resto na divisão de 1, os restos, a partir desse ponto, também vão coincidir em ambas as divisões, 7 uma vez que o desenvolvimento de 1 7 tem período de comprimento máximo : 1 7 = 0, Quocientes 0 1 i 4 n 2 í 8 c 5 i 7 o do ciclo Restos resto inicial 2 7 = 0, Desafio! Sem efetuar a divisão, e apoiado na tabela da seção anterior referente à divisão de 1 7, encontre o desenvolvimento decimal de

18 VOCÊ APRENDEU? 9. Considere a seguinte fração: 1 13 = 0, r e s t o s Quocientes 9 0 0, quocientes Restos Aplicando o método discutido anteriormente, escreva as frações a seguir na sua forma decimal periódica: a) = b) c) d) 9 = = 4 = Observando a tabela de quocientes e restos, é possível encontrar o desenvolvimento decimal de 2? Justifique sua resposta e tente encontrá-lo

19 11. Determine a fração geratriz de cada uma das seguintes dízimas periódicas: a) 2, b) 0, c) 1, d) 3, LIÇÃO DE CASA 12. Escreva o número racional 7 6 na forma a 0, b, sendo a b uma fração irredutível. 18

20 13. Encontre o valor de x que é solução da equação: 3x + 0,1x + 0,05x + 0,005x + 0,0005x +... = 4. 19

21 Matemática 7 a série/8 o ano Volume 1 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 DO GOOGOL AO ANGSTROM, UM CAMINHO PARA AS POTÊNCIAS Leitura e análise de texto Considerando os números 2 10, 10 3 e 10 7, qual deles é escrito com maior número de dígitos? Essa é uma pergunta desafiadora que, além de permitir a retomada da discussão sobre o cálculo de potências a partir do seu significado, também possibilita a compreensão de que contar o número de algarismos necessários para a escrita de uma potência de base 10 é muito simples, bastando para isso olhar para o expoente da potência. Isso ocorre porque nosso sistema de numeração é de base 10 (decimal), o que foi discutido em detalhes nas atividades sobre sistema de numeração proposta na 6 a série/7 o ano. Diversas áreas da ciência que trabalham rotineiramente com números muito grandes ou muito pequenos utilizam amplamente a linguagem das potências na representação desses números. Por exemplo, a velocidade da luz no vácuo, que é aproxima damente igual a km/s ou m/s, pode ser escrita como km/s ou m/s. VOCÊ APRENDEU? 1. Em Astronomia, a distância que a luz percorre em um ano é chamada ano-luz. Sendo assim, responda: Nasa and The Hubble Heritage Team (STScl/AURA) 20

22 a) quantos metros tem 1 ano-luz, sabendo que a velocidade da luz é m/s? b) qual é a distância entre a Terra e o Sol em anos-luz, sabendo-se que essa distância é de aproximadamente metros? c) quanto tempo, aproximadamente, um feixe de luz leva para chegar do Sol até a Terra? LIÇÃO DE CASA 2. O diâmetro da Via Láctea é de, aproximadamente, anos-luz. Por que os astrônomos utilizam uma unidade tão grande como o ano-luz para indicar distâncias? 21

23 PESQUISA INDIVIDUAL Nos filmes de ficção, muitas vezes os personagens indicam distâncias entre estrelas utilizando as unidades de anos-luz e parsec. Faça uma pesquisa sobre unidades de medi - das astronômicas e registre alguns exemplos de sua aplicação. VOCÊ APRENDEU? Notação científica 3. O quadro a seguir apresenta dados reais aproximados envolvendo potências: Número de moléculas em 1 grama de água Número de átomos do corpo humano Raio da Terra Distância entre a Terra e a Lua Distância entre a Terra e o Sol Massa da Terra Idade da Terra Idade do Universo Número de habitantes da Terra (estimativa em 2011) Expectativa de vida dos brasileiros em 2011 PIB* (Produto Interno Bruto) brasileiro em moléculas átomos m m 1, m kg 4, anos 1, anos 7 bilhões 73,4 anos 4,4 trilhões de reais Número de células do corpo humano 100 bilhões = Número de possibilidades do sorteio dos seis números da Mega-Sena 50 milhões = *PIB: Produto Interno Bruto conjunto de bens e serviços produzidos no ano. 22

24 Analisando os dados dessa tabela, escreva cada um dos números a seguir em notação científica, ou seja, na forma m 10 n, com 1 < m < 10. a) número de habitantes da Terra em 2011; b) expectativa de vida dos brasileiros em 2011 (em segundos); c) PIB brasileiro em Leitura e análise de texto Em certa ocasião, o matemático estadunidense Edward Kasner perguntou ao seu sobrinho Milton Sirotta, de nove anos, qual era o maior número que existia. A resposta do pe - queno Milton algo parecido com guuugol não foi muito animadora, mas, na mente criativa de Kasner, isso virou uma bela brincadeira matemática. Em homenagem ao sobrinho, Kasner chamou de googol o número 1 seguido de 100 zeros ou, dizendo de outra maneira, o número Não é tarefa fácil encontrar em nosso mundo real algo em quantidade tão gran - de quan to 1 googol. Para se ter uma ideia, o número de gotas de chuva que caem na cidade de São Paulo em um século é muito menor que 1 googol. O número total de grãos de areia das praias do litoral brasileiro também é menor que 1 googol, assim como é menor que 1 googol o número de elétrons em todo o Universo. Para não dizer que 1 googol é um número insuperável, se imaginarmos o Universo inteiro ocupado por prótons e elétrons de tal forma que não sobre nenhum espaço livre, então, estima-se o número dessas partículas ( partículas) um número maior que 1 googol. Vencida a barreira do googol, imagine um número ainda maior: 10 elevado a 1 googol (Kasner batizou esse número de googolplex). Se fosse possível escrever um dígito a cada meio segundo, quanto tempo levaríamos para escrever todos os zeros do número 1 googolplex? A resposta exige apenas alguns cálculos. Dizer que 1 googolplex é 10 googol = é equivalente a dizer que esse número tem o primeiro dígito igual a 1 seguido de 1 googol de dígitos iguais a 0. Nas condições dadas, levaríamos 0, segundos para escrever por extenso o número de zeros de 1 googolplex. Como a idade estimada do Universo é 1, anos (ver tabela da atividade anterior), o que equivale, aproximadamente, a 4, segundos, é possível afirmar que, desde o Big Bang até hoje, não haveria tempo suficiente para a empreitada de escrever todos os zeros de 1 googolplex. 23

25 VOCÊ APRENDEU? 4. Cerca de 70% da superfície da Terra encontra-se coberta por água, o que corresponde a um volume de aproximadamente km³ (desse total, 97,5% é de água salgada e 2,5%, de água doce). Sabendo que em cada cm³ temos 1 g de água (a densidade da água é 1 g/cm³) e consultando a tabela apresentada anteriormente, calcule o número de moléculas de água na superfície da Terra. Em seguida, compare esse dado com 1 googol. Nesta atividade, desconsidere o fato de a densidade da água salgada ser maior que 1 g/cm³. Leitura e análise de texto Usando a calculadora Nas calculadoras simples, com oito dígitos no visor, não conseguimos fazer diretamente a conta ; contudo, com o conhecimento de potências e notação científica, esse cálculo pode ser feito na calculadora. Sabendo que = 3, e = 2,1 10 6, o produto procurado é 2,1 3, A calculadora nos fornece o resultado de 2,1 3,7 = 7,77, e nossos conhecimentos sobre potência indicam que esse número multiplicado por será igual a Entretanto, se você tem uma calculadora científica, vai observar que ela usa a notação científica automaticamente. Nas calculadoras científicas, o resultado dessa conta pode aparecer das seguintes formas, dependendo do fabricante: ou 7.77 E11 ou 7.77 E + 11 Em todos os casos apresentados, o número 11 representa um expoente de uma potência de base 10 que deverá ser multiplicada por 7,77. Três outros detalhes também devem ser observados. 24

26 Em geral, as calculadoras usam o sistema inglês de representação dos números, no qual a vírgula tem a função do nosso ponto, e vice-versa. Assim, o número ,25 no nosso sistema aparece representado na calculadora como 38, A letra E que aparece em algumas calculadoras refere-se à palavra em inglês exponent, que quer dizer expoente. Algumas calculadoras colocam o sinal de mais ou de menos ao lado da letra E para representar expoentes positivos ou negativos da potência de 10. As calculadoras científicas possuem uma tecla específica para as potências, o que facilita o seu manuseio. Em geral, a tecla é indicada por x y ou, em alguns casos, uma tecla indicando o sinal de acento circunflexo é a que deve ser usada para elevar uma base a um expoente. Exemplos de sequências de teclas que devem ser digitadas nesses dois tipos de calculadora para se calcular 3 5 : ^ I. II. 3 x y 5 = ^ 3 5 = O resultado que aparecerá no visor será 243 VOCÊ APRENDEU? 5. Faça algumas experiências com sua calculadora, registrando a seguir os valores encontrados. 25

27 6. Suponhamos que, em determinado país, a produção de um material tenha sido igual a 1 tonelada no ano 2000 e, em razão do desenvolvimento tecnológico, passou a triplicar anualmente a partir daí. Uma tabela com as quantidades produzidas ao final de cada ano é apresentada a seguir. Complete os espaços em branco utilizando, quando possível e se necessário, uma calculadora: Ano Produção P (toneladas) Potência correspondente n O nosso sistema de numeração Sistema Decimal Posicional é formado segundo certa regularidade com relação às potências de base 10. Interprete essa característica completando a tabela a seguir: Milhar Centena Dezena Unidade Décimos Centésimos Milésimos ,1 0,01 0,

28 PESQUISA INDIVIDUAL Faça uma pesquisa em jornais e revistas, e selecione uma notícia que faz uso de números muito grandes. Escreva um parágrafo resumindo o assunto da notícia e apresente os mes mos números em notação científica. 8. A tabela a seguir indica uma série de representações com potências de expoente negativo. Pesquise sobre as unidades relacionadas, faça a conversão entre as unidades e complete a coluna: 1 centímetro metros 1 milímetro metros 1 micrômetro metros 1 nanômetro metros 1 angstrom metros 27

29 LIÇÃO DE CASA 9. O comprimento de um cordão de DNA na célula é de aproximadamente 10 7 m, o que corresponde a aproximadamente angstroms. Com base nesse dado, calcule a equivalência entre angstrom e metro. 10. O diâmetro de um fio de cabelo humano é de, aproximadamente, 2, m. Quantos fios de cabelo humano teriam de ser colocados lado a lado para formar 1 m? 11. Nossos fios de cabelo crescem à taxa de, aproximadamente, 1, m por hora. Um caracol de jardim se locomove no ritmo de, aproximadamente, m por hora. Quanto tempo nossos fios de cabelo demorariam para crescer o equivalente à distância que um caracol de jardim percorre em 1 hora? 28

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31 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 AS POTÊNCIAS E A MEMÓRIA DO COMPUTADOR Leitura e análise de texto As unidades de memória dos computadores são amplamente conhecidas hoje em dia. O uso de termos como megabytes ou gigabytes para se referir à capacidade de memória de dispositivos eletrônicos tornou-se tão comum quanto o uso de quilograma para se referir à massa de determinado produto. Fala-se com naturalidade em pen drives de 8 gigabytes, CD-ROMs de 700 megabytes, DVDs de 4,7 gigabytes, entre outras coisas. Essas especificações fazem parte do cotidiano no mundo da informática. Contudo, o significado do termo byte e de seus múltiplos ainda é alvo de muitas confusões. Na Ciência da Computação, o byte é a unidade básica de armazenamento de memória no computador. Um byte é constituído por 8 bits. O bit (binary digit, ou dígito binário) é a menor unidade lógica de armazenamento de informação em um computador. O valor de um bit é determinado pelo estado de um dispositivo eletrônico interno do computador, chamado capacitor, que armazena energia em um campo elétrico. Ele pode ser usado para representar informação de forma binária em um computador, podendo assumir somente dois valores: 0, quando o capacitor está desligado (descarregado), e 1, quando está ligado (ou carregado). Por essa razão, as informações em um computador estão codificadas em uma base de numeração binária, e não decimal. Há duas décadas, a memória dos computadores pessoais raramente ultrapassava algumas dezenas de quilobytes (KB). Alguns estudiosos notaram que o termo quilobyte tinha duas interpretações distintas. Segundo o Sistema Internacional de Medidas (SI), o prefixo quilo (k) corresponde a unidades. Assim, 1 quilobyte (1 KB), segundo o SI, corresponderia a ou 10 3 bytes. Por outro lado, tomando-se como referência a base binária de armazenamento de informação no computador, 1 quilobyte corresponderia a 2 10 bytes, ou seja, bytes. A diferença relativa entre as duas interpretações para o valor de 1 quilobyte (2,4%) era pequena, não ocasionando maiores problemas na época. Contudo, com a rápida ampliação da capacidade de memória dos computadores, novas unidades de medidas tiveram que ser adotadas, tais como o megabyte, o gigabyte e o terabyte. Atualmente, já se fala em computadores com capacidade de memória medida em petabytes. A diferença relativa entre o sistema binário e o Sistema Internacional aumentou, gerando uma discrepância significativa no valor dessas unidades. Um gigabyte, no Sistema Internacional, corresponde a ou 10 9 bytes. 30

32 No sistema binário, um gigabyte corresponde a 2 30 bytes, ou bytes, um número 7,4% maior que o seu correspondente no SI. No caso do terabyte, essa discrepância chega a aproximadamente 10%. Hoje em dia, há muita confusão sobre o real significado desses termos. Muitos fabricantes adotam a base decimal na configuração de suas memórias, por causa da facilidade de compreensão por parte do usuário. Contudo, a maioria dos sistemas operacionais adota o sistema binário, o que gera uma discrepância entre a capacidade de memória declarada pelo fabricante e as medidas registradas nos sistemas operacionais. O Escritório Internacional de Pesos e Medidas (Bureau International des Poids et Mesures BIPM), um dos órgãos responsáveis pela regulação do SI, declara que os prefixos do Sistema Internacional de Medidas refe rem-se exclusivamente às potências de dez, e não devem ser usados para representar bases binárias, como no caso do quilobyte. Em 2005, a Comissão Eletrotécnica Internacional (International Electrotechnical Commission IEC) criou um sistema de unidades específicas para o uso no campo das tecnologias de informação e processamento de dados, tendo como base o sistema binário. Foram definidos novos prefixos para designar os múltiplos das unidades de medida relacionadas à memória dos computadores. Nesse novo sistema, 2 20 bytes passam a ser designados como mebibyte, e não mais como megabyte, que representa 10 6 bytes no SI. O prefixo mega foi substituído por mebi, em que bi é a abreviação de binário. Na tabela a seguir, é possível comparar as unidades do sistema decimal com as do sistema binário. Base decimal (SI) Quantidade de bytes Base binária (IEC) Quantidade de bytes Diferença (%) quilobyte (KB) 10 3 = quibibyte (KiB) 2 10 = ,4% megabyte (MB) 10 6 = mebibyte (MiB) 2 20 = ,9% gigabyte (GB) 10 9 = gibibyte (GiB) 2 30 = ,4% terabyte (TB) = tebibyte (TiB) 2 40 = ,9% 31

33 Bits, bytes e as potências de dois Uma informação pode ser codificada por meio de uma combinação de bits. A tabela a seguir mostra a codificação dos algarismos de 0 a 7 com base na combinação de 3 bits. Nas duas primeiras colunas da tabela estão representados os estados dos capacitores da seguinte forma: o símbolo para desligado (ou não magnetizado) e o símbolo para ligado (ou magnetizado). Na terceira coluna, o número binário correspondente à configuração dos capacitores: 0 para desligado e 1 para ligado. Por se tratar de 3 bits, o número binário terá no máximo três casas. Na quarta coluna, encontra-se o número correspondente no sistema decimal associado à configuração dos capacitores e ao número binário. Configuração dos capacitores Estado: D desligado L ligado Número binário (3 bits) Número correspondente no sistema decimal D D D D D L D L D D L L L D D L D L L L D L L L Utilizando 3 bits, foi possível armazenar oito informações diferentes. Na tabela, foram representados os oito números de 0 a 7. O número 5, por exemplo, foi representado por 101, ao passo que o 7 foi representado por 111. Utilizando apenas os algarismos 0 e 1, e três casas, não é possível representar nenhuma outra informação. Para representar mais números, seriam necessários mais bits. 32

34 Se cada bit só pode assumir dois valores, o número total de informações que podem ser armazenadas com 3 bits é dado por = 2 3. Portanto, com 4 bits é possível armazenar 2 4 ou 16 informações. Com 5 bits, 2 5 ou 32, e assim por diante. Com n bits, é possível armazenar 2 n informações. Em uma tabela, essa situação pode ser representada da seguinte forma: Número de bits n Quantidade de informação armazenada n Total n A mesma situação pode ser descrita aplicando-se um método denominado diagrama de árvore: capacitor 3 L L D capacitor 2 L D L capacitor 1 D L 8 possibilidades D L D D L D Esse tipo de diagrama é uma representação do raciocínio multiplicativo aplicado em várias situações que envolvem contagens, por exemplo, de quantos modos diferentes podemos vestir uma camiseta e uma calça, dispondo, para isso, de 3 camisetas e 2 calças. 33

35 VOCÊ APRENDEU? 1. Complete a tabela a seguir com todas as configurações possíveis envolvendo quatro capacitores e responda: Configuração dos capacitores Estado: D desligado L ligado Número binário (4 casas) Letra 0000 A 0001 B 0010 C D D L L D 0100 E 0101 F G H 1000 I L D D L J 1010 K L 1100 M 1101 N L L L D O P 34

36 a) Se cada configuração corresponder a uma letra do alfabeto, qual será a última letra que pode ser representada com 4 bits (em ordem alfabética)? b) Qual é a letra associada ao número binário 0111? 2. Um byte é composto por 8 bits. Quantas informações podem ser armazenadas em um byte? 3. Quantos bits seriam necessários para armazenar informações? Múltiplos de byte 4. No Sistema Internacional, os prefixos quilo, mega e giga expressam diferentes potências de 10. Assim, 1 quilobyte (KB) equivale a 10 3 bytes, 1 megabyte (MB) a 10 6 bytes, 1 gigabyte (GB) a 10 9 bytes, e assim por diante. Com base no Sistema Internacional, faça as transformações solicitadas e apresente as respostas na forma de potência de 10. a) 10 megabytes em bytes; b) 1 gigabyte em quilobytes; c) 100 quilobytes em gigabytes; d) 20 terabytes em megabytes; e) 1 megabyte em terabytes. 35

37 5. Já no sistema binário, os prefixos usados expressam potências de 2. Um quibibyte (KiB) equivale a 2 10 bytes; 1 mebibyte (MiB) a 2 20 bytes; 1 gibibyte (GiB) a 2 30 bytes, e assim por diante. Faça as transformações a seguir e apresente as respostas na forma de potência de 2. a) 2 mebibytes em quibibytes; b) 16 gibibytes em bytes; c) 1 quibibyte em mebibytes; d) 10 tebibytes em bytes; e) 32 quibibytes em gibibytes. Quando um mebibyte é um megabyte? 6. A capacidade de armazenamento de dados de um CD-ROM está baseada no sistema binário, apesar de ser expressa com os prefixos do sistema decimal (SI). Por exemplo: um CD-ROM de 700 MB (megabytes) tem, efetivamente, uma capacidade real de 700 MiB (mebibytes). Diferentemente, a capacidade real dos DVDs é calculada com potências de 10. Ou seja, um DVD de 4,7 GB (gigabytes) tem efetivamente uma capacidade de armazenamento de 4,7 gigabytes. Com base nessas informações, responda: a) Qual é a capacidade real em megabytes de um CD-ROM de 700 MiB? b) Qual é a capacidade real em gibibytes de um DVD de 4,7 gigabytes? 36

38 LIÇÃO DE CASA Usando potências para contagem 7. Suponha que você tenha em seu estojo: um lápis, uma borracha e uma caneta. De quantas maneiras diferentes você poderá selecionar elementos dessa lista? Repare que para responder a esta questão você pode pensar em utilizar conjuntos de um só elemento, dois elementos e três elementos. Coloque esses objetos em uma tabela: Lápis Borracha Caneta Estabeleça então a seguinte regra: o número 1 colocado na casa abaixo do objeto significará que ele foi selecionado; caso contrário, será colocado o zero. Assim, a tabela numerada com 111 significará que você escolheu os três objetos, enquanto a disposição 101 significa que foram escolhidos o lápis e a caneta. Dessa forma, cada casa em que se escreve 0 ou 1 representará uma única maneira de selecionar os objetos. Com base nas ideias desenvolvidas sobre bits, responda à pergunta feita (7). Atenção: a tabela com 000 deve ser excluída, uma vez que mostraria que não foi feita nenhuma escolha. 8. Aplique o mesmo raciocínio para 5 objetos. Quantos algarismos usamos para escrever as potências de 2? 9. A tabela a seguir relaciona os expoentes naturais de 0 a 26, das potências de 2, com o número de casas (algarismos) do resultado da potência escrito por extenso. Observe o exemplo na tabela a seguir e complete-a, calculando o valor das potências. Se necessário, utilize uma calculadora ou uma planilha eletrônica. 37

39 n 2 elevado a n Número de algarismos

40 10. Construa um gráfico no plano cartesiano, relacionando o expoente das potências de 2 da atividade anterior com o número de algarismos da escrita do resultado das potências. Lance no eixo vertical a quantidade de algarismos do número e no eixo horizontal o expoente de base 2. 39

41 11. Caso tenha à sua disposição computadores com uma planilha eletrônica ou calculadoras científicas, construa uma tabela, como a apresentada a seguir, para potências de 2 com expoentes maiores que 26 e complete os valores que faltam: n 2 elevado a n Número de algarismos E E E E E E E E

42 12. A tabela e a construção do gráfico nas atividades anteriores nos permitem observar determinado padrão na relação entre o expoente e o número de algarismos da potência na base 2 para expoentes de 0 a 26. Sabendo que esse padrão se repete pelo menos até o expoente 100, determine a quantidade de algarismos do número que representa PARA SABER MAIS Você pode ainda pesquisar na internet vários sites que tratam das unidades de medidas exploradas neste Caderno. Algumas palavras-chave que podem ser utilizadas em sites de busca são: bits; angstrom; parsec; anos-luz. 41

43 Matemática 7 a série/8 o ano Volume 1 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5 ARITMÉTICA COM ÁLGEBRA: AS LETRAS COMO NÚMEROS VOCÊ APRENDEU? 1. Observe a sequência de bolinhas e crie uma fórmula que expresse o total de bolinhas em função do número da figura. (Observação: chame o número da figura de n.) Utilizando a mesma sequência da atividade anterior, escreva uma fórmula diferente, porém equivalente à que você encontrou

44 3. Como as fórmulas obtidas nas atividades anteriores são equivalentes, pois representam a mesma sequência de figuras, apresente uma propriedade algébrica decorrente dessa equivalência. 4. Observe a sequência de bolinhas e crie duas fórmulas que expressem o total de bolinhas em função do número da figura. (Observação: chame o número da figura de n.) Apresente uma propriedade algébrica que decorre da equivalência entre as fórmulas encontradas na atividade anterior. 43

45 6. Observe a sequência de bolinhas e construa duas fórmulas que expressem o total de bolinhas em função do número da figura. (Observação: chame o número da figura de n.) n = 1 n = 2 n = 3 n = Apresente uma propriedade algébrica que decorre da equivalência entre as fórmulas encontradas na atividade anterior. 44

46 LIÇÃO DE CASA 8. Cada figura da sequência está indicada por um número. Determine quatro fórmulas diferentes (e equivalentes) para o total de bolinhas de uma figura genérica n dessa sequência

47 Desafio! 9. Cada figura da sequência de bolinhas a seguir está indicada por um número. Encontre duas fórmulas diferentes (e equivalentes) para determinar o total de bolinhas de uma figura genérica n dessa sequência. n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = Encontre uma fórmula que expresse o número de bolinhas de uma figura genérica n da sequência

48 VOCÊ APRENDEU? 11. Determine fórmulas para o cálculo do número de bolinhas de cada figura das sequências a seguir em função do número da figura. (Observação: chame o número da figura de n.) a) b)

49 c) Dada a fórmula para o cálculo do número de bolinhas em função do número n da figura, faça um desenho representativo para n = 1, n = 2, n = 3 e n = 4. a) n + (n + 1) + (n + 2) b) (n + 2) 2 48

50 13. Encontre outras fórmulas equivalentes para cada um dos itens apresentados na atividade anterior. (Dica: faça figuras para auxiliar a resolução da atividade.) 49

51 Matemática 7 a série/8 o ano Volume 1 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6 PRODUTOS NOTÁVEIS: SIGNIFICADOS GEOMÉTRICOS VOCÊ APRENDEU? 1. Observe as figuras a seguir e represente a área de cada retângulo por duas expressões algébricas equivalentes: a) b) x x 5 a 7 y a y y 2 2. A expressão 3a + 3b refere-se à área de um retângulo. Represente geometricamente essa expressão e encontre uma expressão equivalente a ela. 50

52 3. A expressão x(y 3) refere-se à área de um retângulo. Represente geometricamente essa expressão e encontre uma expressão equivalente a ela. 4. Represente geometricamente o produto (x + a) (x + b) e encontre uma expressão equivalente a ele. 51

53 5. Represente geometricamente o produto (x a) (x b) e depois encontre uma expressão equivalente. 6. Desenvolva os produtos a seguir sem aplicar a propriedade distributiva ou a representação geométrica: a) (x + 3) (x + 5) = b) (x 7) (x 10) = c) (x + 1) (x + 1) = 52

54 d) (x 4) (x 6) = 7. Observe a figura apresentada a seguir e complete os quadros em branco com letras, indicando as medidas dos lados no 1 o membro e as áreas no 2 o membro. a a = + + b b (a + b) 2 = a Represente geometricamente o trinômio quadrado perfeito x 2 + 4x

55 9. Faça a representação geométrica dos seguintes trinômios quadrados perfeitos: a) a 2 + 6a + 9 b) 4x 2 + 4x + 1 Desafio! 10. Demonstre geometricamente a igualdade (a b) 2 = a 2 2ab + b 2, partindo de um quadrado de lado a, conforme mostra a figura. a a b (a b) 2 a b b 54

56 11. Mostre geometricamente que a igualdade (x 5) 2 = x² 10x + 25 é válida. VOCÊ APRENDEU? 12. Represente geometricamente os seguintes produtos notáveis: a) a 2 6a + 9 b) 9x 2 6x

57 13. Represente geometricamente a expressão algébrica 9 x 2 e, em seguida, construa uma expressão equivalente a ela, indicando o produto de dois termos. 14. Represente geometricamente a expressão algébrica 16x 2 9y 2 e, depois, encontre uma expressão equivalente, como o produto de dois números. 56

58 15. A figura a seguir mostra um quadrado de lado c formado por 4 triângulos retângulos de catetos a e b, além de um quadrado menor. Mostre que c 2 = a 2 + b 2. c a b 57

59 16. Faça o desenvolvimento de (a + b) 5, utilizando padrões e regularidades. 58

60 59

61 Matemática 7 a série/8 o ano Volume 1 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 7 ÁLGEBRA: FATORAÇÃO E EQUAÇÕES VOCÊ APRENDEU? 1. A medida do comprimento do retângulo VASO é 3 cm maior do que a medida de sua largura. Sendo assim, responda: O V S A a) Se a medida da largura for igual a 6 cm, qual será a medida do comprimento? b) Se a medida do comprimento for igual a 60 cm, qual será a medida da largura? c) Se a medida da largura for igual a 15 cm, qual será a área do retângulo VASO? d) Se a medida do comprimento for igual a 14 cm, qual será a área do retângulo VASO? 60

62 e) Se a medida da largura for x, qual será a medida do comprimento? f) Se a medida do comprimento for m, qual será a medida da largura? g) Se a medida de um dos lados do retângulo VASO for igual a y, qual(quais) das expressões seguintes pode(m) representar o cálculo de sua área (em cm²), e qual(quais) pode(m) representar a medida de seu perímetro (em cm)? (I) 2 (2y + 3) (II) y (y + 3) (IV) y² 3y (V) y² + 3y (III) (y 3) y (VI) 4y 6 h) Considere as expressões (III) e (IV) do item anterior e calcule, para cada uma, o valor da área do retângulo VASO para y = 10 cm. i) Dois polinômios são idênticos quando possuem valores numéricos iguais para qualquer valor atribuído à variável. Os polinômios (III) e (IV) do item h, que representam a área do retângulo VASO, são iguais ou diferentes? 61

63 j) Verifique se os polinômios (II) e (III) do item g desta atividade são idênticos, calculando o valor numérico de cada um deles para alguns valores de y. 2. Observe os seis polinômios seguintes, nomeados de A a F, e as áreas 1 e 2 dos retângulos representados na figura. A = x 2 16 D = (x 2) 2 B = x 2 4x + 4 E = 2x(3 + 2x) C = (x + 4) (x 4) F = 4x 2 + 6x x 4 x Área x Área 2 2 x 2 62

64 a) Quais desses polinômios podem representar o cálculo da área 1? b) Quais desses polinômios podem representar o cálculo da área 2? c) Calcule o valor da área 1 para o caso em que x = 10 cm. d) Calcule o valor da área 2 para o caso em que x = 15 cm. e) Verifique que os polinômios E e F são idênticos, calculando o valor numérico de cada um deles para, pelo menos, quatro valores diferentes de x. 63

65 3. Leia, nos quadrinhos a seguir, o problema que Paulo está propondo a João. Conexão Editorial João, pense em um número positivo qualquer. Pensei: x. O outro lado do retângulo tem três unidades a mais do que esse. É 2x + 3. O dobro do número que você pensou é o lado de um retângulo. É 2x. E o outro lado? a) Quais são as medidas dos lados do retângulo de que fala Paulo no caso de o número x, em que João pensou, ser igual a 10? b) Qual é a área do retângulo de que fala Paulo no caso de o número x, em que João pensou, ser igual a 8? 64

66 c) Desenhe um retângulo e assinale nele as medidas dos lados, de acordo com a forma pensada por Paulo. d) Escreva um polinômio para representar o perímetro desse retângulo. e) O polinômio A = 4x² + 6x pode representar a área desse retângulo? Por quê? LIÇÃO DE CASA 4. Leia com atenção o enunciado a seguir: A soma de certo número positivo com 3 é elevada ao quadrado e o resultado final é 64. a) Descubra esse número, utilizando apenas cálculo mental. 65

67 b) Chamando o número procurado de a, escreva uma sentença matemática que traduza o enunciado da atividade. c) Em quais das seguintes sentenças podemos substituir a letra a pelo número que você descobriu de cabeça? Efetuando os cálculos, verifique se a igualdade final é verdadeira. (I) (a + 3) (a + 3) = 64 (IV) (a 5) (a + 11) = 0 (II) a 2 + 6a + 9 = 64 (V) (a 1) (a 2) = 12 (III) (a + 9) (a + 1) = 20 66

68 d) Existe um número negativo que também satisfaz à condição descrita no enunciado. Qual, dentre os elementos do conjunto a seguir, é esse número? { 8, 9, 10, 11, 12 } e) Entre as sentenças matemáticas do item c, quais são verdadeiras quando a letra a é substituída pelo número negativo que você descobriu? f) Dentre as sentenças matemáticas do item c desta atividade, quais são verdadeiras, quando a letra a é substituída pelo número positivo e também pelo número negativo que você descobriu? Escreva novamente essas expressões. 67

69 g) Considere as sentenças matemáticas (I) e (IV) do item c. Aplique a propriedade distributiva, elimine os parênteses e verifique que essas sentenças são equivalentes entre si e que também são equivalentes à sentença (II). VOCÊ APRENDEU? 5. Pense em um número e siga as instruções: multiplique-o por 5; adicione o resultado a 15; divida o resultado anterior pelo número em que você pensou adicionado a 3. O resultado final, vamos adivinhar, é igual a 5, certo? Descubra como conseguimos calcular esse número. 68

70 6. Pense em um número inteiro e positivo. Em seguida, faça o seguinte: eleve-o ao quadrado; multiplique o resultado por 2; adicione o resultado anterior ao quádruplo do número em que você pensou; divida o resultado anterior pelo dobro do número. O resultado final, vamos adivinhar, é igual a 2 unidades a mais do que o número em que você pensou, certo? Isto é, se você pensou no número 5, o resultado final foi 7; se você pensou no número 3, o resultado final foi 5, e assim por diante. Descubra como conseguimos adivinhá-lo. 7. Pense em dois números naturais consecutivos. Em seguida: eleve cada número ao quadrado; subtraia o menor resultado do maior; divida o resultado anterior pela soma dos números em que você pensou. O resultado final, vamos adivinhar, deu 1, certo? Descubra como conseguimos acertar. 69

71 8. Leia a história em quadrinhos a seguir: Conexão Editorial Lucia, pense em um número inteiro e positivo. 8 Multiplique por 3 e subtraia = Divida o resultado pela diferença entre o dobro do número e (2 8 4) = Aposto que o resultado deu 1, 5; não deu? = 1, 5. Deu mesmo. Como é que ele descobriu? 3 4 Descubra como o rapaz acertou o resultado obtido por Lucia. 9. Encontre dois números cujo produto é 36 e a soma é

72 LIÇÃO DE CASA 10. Encontre dois números cujo produto é 27 e a soma é Encontre dois números cujo produto é 0 e a soma é 8. VOCÊ APRENDEU? 12. Utilizando apenas o cálculo mental, descubra o valor do número x tal que: a) elevado ao quadrado e depois adicionado a 5 resulta 21; 71

73 b) o dobro subtraído de 9 é igual a ele próprio subtraído de 1; c) o dobro da adição entre x e 4 é igual a 0; d) o produto de x pela soma de x com 1 é igual a Utilizando apenas o cálculo mental, descubra o valor do número x que torna verdadeira a igualdade em cada caso. a) 3x 4 = 20 d) 45(x + 5) = 0 b) x(x 5) = 0 e) (x 4) (x + 4) = 0 c) (x 2) (x 5) = 0 f) (x 1) (x 3) = 0 72

74 14. Fatore e resolva as equações a seguir: a) x x = 0 e) x 2 6x + 9 = 0 b) x 2 25 = 0 f) x x + 36 = 0 c) x 2 9 = 0 g) x 2 4x + 3 = 0 d) 4x 2 1 = 0 h) x 2 7x + 10 = 0 73

75 74

76 Matemática 7 a série/8 o ano Volume 1 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 8 ARITMÉTICA E GEOMETRIA: EXPRESSÕES ALGÉBRICAS DE ALGUMAS IDEIAS FUNDAMENTAIS Leitura e análise de texto Como você representaria a soma dos n primeiros números naturais a partir do 1? Como você indicaria o valor de tal soma em termos de n? Como você representaria o número par de ordem n a partir de 2? E o número ímpar de ordem n a partir de 1? Como você indicaria, em termos de n, o valor da soma dos n primeiros números pares a partir de 2? E a soma dos n primeiros números ímpares? Como você representaria o número de diagonais de um polígono de n lados em termos de n? Podemos responder a questões como essas representando um número natural genérico por n e expressando as propriedades e as operações por meio de fórmulas envolvendo n. Procedendo assim, podemos fazer uma ponte entre a Álgebra e a Aritmética. A Geometria também pode ser usada nesse diálogo entre Álgebra e Aritmética, como veremos a seguir. Há uma história bastante conhecida segundo a qual Gauss, importante matemático que viveu entre os séculos XVIII e XIX, com cerca de dez anos de idade, teria efetuado o cálculo da soma dos 100 primeiros números naturais a partir de 1 (S 100 = ) em poucos segundos, ao perceber que a soma da primeira com a última parcela era igual à soma da segunda com a penúltima, que também era igual à soma da terceira com a antepenúltima, e assim por diante. Cada um desses pares de parcelas tem soma igual a

77 Com base nessa descoberta, ele teria concluído que a soma das 100 parcelas seria igual a , ou seja, S 100 = Podemos aproximar o raciocínio de Gauss da linguagem geométrica. Observe as formas triangulares indicadas a seguir. O total de bolinhas representadas em cada uma delas é a soma S 7 = Se reunirmos as duas formas triangulares, obteremos a seguinte forma retangular: A partir dessa forma retangular, observa-se que há 7 linhas, e que em cada linha há 8 bolinhas (1 + 7 = = = = = = 7 + 1). Assim, podemos concluir que o valor de S 7 é igual à metade do produto 7 8, ou seja, S 7 = = 28. Raciocinando de modo semelhante, seria possível mostrar que S 13 = 13.14, que 2 S 27 = 27.28, e assim por diante. De modo que S n = n. (n + 1)

78 Desafio! Raciocinando como Gauss e inspirado nas formas geométricas apresentadas anteriormente, você é capaz de generalizar e indicar como calcularia a soma dos n primeiros números naturais a partir de 1? 77

79 VOCÊ APRENDEU? 1. Observando e analisando a representação dos primeiros números pares e ímpares por meio de bolinhas, responda às questões: a) Qual é o quinto número par a partir de 2? b) Qual é o centésimo número par a partir de 2? c) Qual é o sétimo número ímpar a partir de 1? 78

80 d) Qual é o trigésimo número ímpar a partir de 1? e) Represente o número par de ordem n a partir de 2. f) Represente o número ímpar de ordem n a partir de Observe os quadrados a seguir e a estratégia usada para calcular a soma dos primeiros números ímpares a partir de = 2 2 = = 3 2 = = 4 2 = = 6 2 = 36 79