6. (Ufscar 2003) Em uma lanchonete, um casal de namorados resolve dividir uma taça de milk shake com as dimensões mostradas no desenho.

Transcrição

1 1. (Unesp 2004) Um recipiente, na forma de um cilindro circular reto de raio R e altura 32 cm, está até à metade com água (figura 1). Outro recipiente, na forma de um cone circular reto, contém uma substância química que forma um cone de altura 27 cm e raio r (figura 2). a) Sabendo que R = (3/2) r, determine o volume da água no cilindro e o volume da substância química no cone, em função de r. (Para facilitar os cálculos, use a aproximação = 3.) b) A substância química do cone é despejada no cilindro, formando uma mistura homogênea (figura 3). Determine a concentração (porcentagem) da substância química na mistura e a altura h atingida pela mistura no cilindro. 2. (Ita 2005) Um dos catetos de um triângulo retângulo mede Ë2 cm. O volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno da hipotenusa é cm. Determine os ângulos deste triângulo. 3. (Ita 2006) As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da geratriz de um cone circular reto formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão 2 metros. Calcule a área total deste cone em m. pag.1

2 4. (Ufpe 2004) Um plano que passa pelo vértice de um cone reto intercepta o círculo da base deste em uma corda de comprimento 6. Este plano forma com o plano da base do cone um ângulo de 40 e a altura do cone é 3,36. Indique o inteiro mais próximo do volume do cone. (Dado: use as aproximações tg 40 0,84 e 3,14). 5. (Ufsc 2004) A geratriz de um cone eqüilátero mede 2Ë3 cm. Calcule a área da seção meridiana do cone, em cm, e multiplique o resultado por Ë3. 6. (Ufscar 2003) Em uma lanchonete, um casal de namorados resolve dividir uma taça de milk shake com as dimensões mostradas no desenho. a) Sabendo-se que a taça estava totalmente cheia e que eles beberam todo o milk shake, calcule qual foi o volume, em ml, ingerido pelo casal. Adote = 3. b) Se um deles beber sozinho até a metade da altura do copo, quanto do volume total, em porcentagem, terá bebido? pag.2

3 7. (Unesp 2004) Um recipiente tampado, na forma de um cone circular reto de altura 18 cm e raio 6 cm, contém um líquido até a altura de 15 cm (figura 1). A seguir, a posição do recipiente é invertida (figura 2). Sendo R e r os raios mostrados nas figuras, a) determine R e o volume do líquido no cone em cm (figura 1), como múltiplo de. b) dado que r = Ë91, determine a altura H da parte sem líquido do cone na figura 2. (Use a aproximação Ë91 9/2.) 8. (Unicamp 2004) O quadrilátero convexo ABCD, cujos lados medem, consecutivamente, 1, 3, 4 e 6 cm, está inscrito em uma circunferência de centro O e raio R. a) Calcule o raio R da circunferência. b) Calcule o volume do cone reto cuja base é o círculo de raio R e cuja altura mede 5 cm. pag.3

4 9. (Pucrs 2004) A figura abaixo mostra um cone inscrito num cilindro. Ambos têm raio da base x e altura 2x. Retirando-se o cone do cilindro, o volume do sólido resultante é a) 2 x /3 b) 4 x /3 c) 8 x /3 d) 2 x /3 e) 8 x /3 10. (Ufg 2006) A terra retirada na escavação de uma piscina semicircular de 6 m de raio e 1,25 m de profundidade foi amontoada, na forma de um cone circular reto, sobre uma superfície horizontal plana. Admita que a geratriz do cone faça um ângulo de 60 com a vertical e que a terra retirada tenha volume 20% maior do que o volume da piscina. Nessas condições, a altura do cone, em metros, é de a) 2,0 b) 2,8 c) 3,0 d) 3,8 e) 4,0 pag.4

5 11. (Ufscar 2003) A figura representa um galheteiro para a colocação de azeite e vinagre em compartimentos diferentes, sendo um cone no interior de um cilindro. Considerando h como a altura máxima de líquido que o galheteiro comporta e a razão entre a capacidade total de azeite e vinagre igual a 5, o valor de h é a) 7 cm b) 8 cm c) 10 cm d) 12 cm e) 15 cm 12. (Ita 2004) A área total da superfície de um cone circular reto, cujo raio da base mede R cm, é igual à terça parte da área de um círculo de diâmetro igual ao perímetro da seção meridiana do cone. O volume deste cone, em cm, é igual a a) R b) (Ë2) R c) [ /(Ë2)] R d) (Ë3) R e) [ /(Ë3)] R pag.5

6 13. (Pucpr 2004) Um cone circular reto de volume A, um cilindro circular reto de volume M, e uma esfera de volume C têm todos o mesmo raio, e a altura comum do cone e do cilindro é igual ao diâmetro da esfera. Para estes sólidos, qual das seguintes relações é válida? a) A - M + C = 0 b) A + M = C c) 2A = M + C d) A - M + C = 0 e) 2A + 2M = 3C 14. (Pucsp 2006) Considere o triângulo isósceles ABC, tal que AB = BC = 10 cm e CA = 12 cm. A rotação desse triângulo em torno de um eixo que contém o lado AB gera um sólido cujo volume, em centímetros cúbicos, é a) 256 b) 298,6 c) 307,2 d) 316 e) 328,4 15. (Uerj 2004) Para revestir externamente chapéus em forma de cones com 12 cm de altura e diâmetro da base medindo 10 cm, serão utilizados cortes retangulares de tecido, cujas dimensões são 67 cm por 50 cm. Admita que todo o tecido de cada corte poderá ser aproveitado. O número mínimo dos referidos cortes necessários para forrar 50 chapéus é igual a: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 pag.6

7 16. (Ufla 2006) Um reservatório de forma cônica para armazenamento de água tem capacidade para atender às necessidades de uma comunidade por 81 dias. Esse reservatório possui uma marca a uma altura h para indicar que a partir desse nível a quantidade de água é suficiente para abastecer a comunidade por mais 24 dias. O valor de h é a) h = (2/9)H b) h = (2/3)H c) h = (8/27)ËH d) h = (1/10) ËH e) h = (1/2)H 17. (Ufmg 2004) Um cone é construído de forma que: - sua base é um círculo inscrito em uma face de um cubo de lado a; e - seu vértice coincide com um dos vértices do cubo localizado na face oposta àquela em que se encontra a sua base. Dessa maneira, o volume do cone é de a) a /6. b) a /12. c) a /9. d) a /3. pag.7

8 18. (Ufsm 2003) A área da superfície de uma esfera e a área total de um cone circular reto são iguais. Se o raio da base do cone mede 4 cm e o volume do cone é 16 cm, o raio da esfera é dado por a) Ë3 cm b) 2 cm c) 3 cm d) 4 cm e) 4 + Ë2 cm 19. (Ufv 2004) Um chapéu, no formato de um cone circular reto, é feito de uma folha circular de raio 30 cm, recortando-se um setor circular de ângulo š = 2 /3 radianos e juntando os lados. A área da base do chapéu, em cm, é: a) 140 b) 110 c) 130 d) 100 e) 120 pag.8

9 20. (Unesp 2006) Um paciente recebe por via intravenosa um medicamento à taxa constante de 1,5 ml/min. O frasco do medicamento é formado por uma parte cilíndrica e uma parte cônica, cujas medidas são dadas na figura, e estava cheio quando se iniciou a medicação. Após 4h de administração contínua, a medicação foi interrompida. Dado que 1 cm = 1 ml, e usando a aproximação = 3, o volume, em ml, do medicamento restante no frasco após a interrupção da medicação é, aproximadamente, a) 120. b) 150. c) 160. d) 240. e) 360. pag.9

10 GABARITO Projeto Jovem Nota a) volume da água no cilindro: 108r cm ; volume da substância química na mistura: 27r cm b) 20% ; h = 20 cm 2. 30, 60 e m a) 500 ml b) 87,5% 7. a) R = 5 cm e V = 125 cm b) H = 27/2 cm 8. a) R = 3(Ë66)/8 cm b) 495 /32 cm 9. [B] 10. [C] 11. [C] 12. [E] 13. [A] 14. [C] 15. [B] 16. [B] 17. [B] 18. [C] 19. [D] 20. [A] pag.10