Funções de uma variável real a valores em R n

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 06 Assunto:Funções de uma variável real a valores em R n, domínio e imagem, limite Palavras-chaves: Funções vetoriais, domínio e imagem, trajetória,limite. Funções de uma variável real a valores em R n Sejam A R e α uma função tal que α : R R n t αt) Vamos interpretar essas funções como uma regra que associa a cada número real de A uma única n upla.

2 Exemplo 1 αt) = t, t ) { xt) = t yt) = t α : R R t t, t ) Temos que, α1) = 1, 1) α) =, ) α0) = 0, 0) α 1) = 1, 1) Exemplo αt) = cos t, sin t, t ), t 0 α : [0, + ) R 3 t cos t, sin t, t ) Temos que: α0) = π ) α = απ) = cos 0, sin 0, 0 ) = 1, 0, 0) cos π, sin π π ), = 0, 1, π ) 8 cos π, sin π, π ) = 1, 0, π )

3 Toda função α : A R R n é dada por αt) = x 1 t), x t),..., x n t)) Quando n =, escrevemos xt), yt)). Quando n = 3, escrevemos xt), yt), zt)). As funções x 1 t), x t),..., x n t) são chamadas de funções componentes de α. Exemplo 3 As funções componentes de αt) = t, t ) são xt) = t, yt) = t Exemplo As funções componentes de αt) = cos t, sin t, t ) são xt) = cos t, yt) = sin t, zt) = t Exemplo 5 As funções componentes de αt) = t, e t sin t, ln t, arctan t) são x 1 t) = t, x t) = e t sin t, x 3 t) = ln t, x t) = arctan t Uma função α : A R R n pode também ser interpretada como uma função que a cada t A associa ao vetor αt). Neste caso, dizemos que α é uma função vetorial. 3

4 Domínio Quando, para uma função α, especicamos o subconjunto de R no qual devemos tomar t, o domínio D α de α é esse tal subconjunto. Exemplo 6 αt) = cos t, sin t), 0 t π D α = [0, π] Exemplo 7 γt) = t, t, t + t ), t 0 D γ = [0, + ) Quando não é especicado um tal subconjunto, tomamos como o domínio de α o "maior"subconjunto possível de R no qual todas as funções componentes de α podem ser calculadas. Portanto, D α = D x1 D x... D xn Imagem Seja α : R R n uma função. O conjunto imagem Imα de α é dado por Imα = {αt) R n ; t D α Quando n = ou n = 3, podemos representar no R ou no R 3, respectivamente) o conjunto imagem de α, que, em geral, será uma curva.

5 O desenho do conjunto imagem de α é chamado de trajetória ou traço de α. Por isso que também chamamos a função α, de curva. Exemplo 8 Desenhe a trajetória da função dada a) αt) = t +, t + 3) Temos que, αt) = t +, t + 3) =, 3) + t, 1) Logo, a trajetória de α é a reta que passa pelo ponto P 0 =, 3) e tem a direção do vetor v =, 1) α 1) =, ), α0) =, 3), α1) = 6, ), α) = 10, 5) 5

6 { x = t + y = t + 3 t = x, t = y 3 x = y 3 Logo, x = y 1 x y = 10 y = x + 10 y = x + 5 Equação reduzida da reta b) αt) = t, t ) { x = t y = t y = x Portanto, o traço de α é uma parábola α ) =, ), α 1) = 1, 1), α0) = 0, 0), α1) = 1, 1), α) =, ) 6

7 c) αt) = cos t, sin t), 0 t π { x = cos t y = sin t { x = cos t y = sin t Portanto, x + y = cos t + sin t x + y = 1 π ) α0) = 1, 0), α =, ) π ), α = 0, 1), απ) = 1, 0), α ) 3π = 0, 1), απ) = 1, 0) A trajetória de α é a circunferência de centro na origem e raio 1 d) αt) = cos t, sin t), 0 t π { x = cos t y = sin t { x = cos t y = sin t Portanto, x + y = cos t + sin t = sin t + cos t) = A trajetória de α é a circunferência de centro na origem e raio. 7

8 e) αt) = t cos t, t sin t), t 0 α0) = 0, 0), π ) α = 0, π ) ) 3π, απ) = π, 0), α = 0, 3π ), απ) = π, 0) A trajetória de α é uma espiral. f) αt) = + t, + 3t, + t) Temos que, αt) =,, ) + t1, 3, ) Portanto, a trajetória de α é a reta do R 3 que passa pelo ponto P 0 =,, ) e tem a direção do vetor v = 1, 3, ). 8

9 g) αt) = cos t, sin t, 0), 0 t π. A trajetória de α é a circunferência de centro na origem, raio 1 e contida no plano xy. h) αt) = cos t, sin t, 3), 0 t π. i) A trajetória de α é a circunferência de centro em 0, 0, 3), raio 1 e contida no plano z = 3. cos t, sin t, t ), t 0. A trajetória de α é uma hélice. 9

10 Operações com funções de uma variável real a valores reais Sejam α, β : A R R n e f : A R R uma função escalar. Denimos a seguinte operação α + β)t) = αt) + βt) f α)t) = ft)αt) α.β)t) = αt).βt) α β)t) = αt) βt) n = 3) Limite Sejam α : A R R n em que A é um intervalo ou uma reunião de intervalos, t 0 um ponto de A ou extremidade de um dos intervalos que compõem A e L R n. Dizemos que L é o limite de αt) quando t tende para o t 0, e escrevemos, se dado ɛ > 0, existe δ > 0 tal que lim t t 0 αt) = L t D α e 0 < t t 0 < δ αt) L < ɛ 10

11 Obs 1 : lim αt) = L lim αt) L = 0. t t0 t t0 Isso é uma conseqüência da igualdade Obs : lim fx) = l lim fx) l) = 0. x x 0 t t0 αt) L = αt) L 0 ) é conseqüência da propriedades operatórias de limite )Segue da denição de limite por ɛ s e δ s) e da igualdade Obs 3 : v = x 1, x,..., x n ) x i v, i = 1.., n. fx) l = fx) l) 0 De fato, Portanto, Proposição 1 Seja α : A R R n dada por x 1 x x x n x 1 x x x n x i v e seja αt) = x 1 t) + x t) x n t)) L = l 1, l,..., l n ) 11

12 Então, lim αt) = L lim x i t) = l i, x x 0 t t0 i = 1,,.., n Demonstração: ) Suponhamos que lim x x 0 αt) = L. Portanto, dado ɛ > 0, existe δ > 0 tal que Porém, temos que t D α e 0 < t t 0 < δ αt) L < ɛ Assim, αt) L = x 1 t) l 1 + x t) l x n t) l n ) Logo, x i t) l i αt) L < ɛ, i = 1,,..., n lim t t 0 x i t) = l i ) Suponhamos agora que lim t t0 x i t) = l i, i = 1,,..., n. Temos que Portanto, αt) L = x 1 t) l 1 ) + x t) l ) x n t) l n ) lim αt) L = lim x1 t) l 1 ) + x t) l ) x n t) l n ) t t 0 t t0 ] = [x 1 t) l 1 ) + x t) l ) x n t) l n ) lim t t 0 = lim x 1 t) l 1 ) + lim x t) l ) lim x n t) l n ) t t0 t t0 t t0 ) ) = lim x 1 t) l 1 ) + lim x t) l ) lim x n t) l n ) t t 0 t t 0 t t 0 = = 0 ) Portanto, lim αt) = L t t 0 1

13 Segue dessa proposição que ) lim αt) = L = l 1, l,..., l n ) = lim x 1 t), lim x t),..., lim x n t) t t 0 t t 0 t t0 t t0 Exemplo 9 Seja α : R {1} R 3 dada por αt) = Calcule lim t 1 αt). t 1 t 1, t3 1 t 1, ) t 1. t 1 Resolução: Temos que, lim αt) = lim t 1 t 1 = = = t 1 t 1, t3 1 t 1, ) t 1 t 1 t 1 lim t 1 t 1, lim t 3 1 t 1 t 1, lim t 1 ) 1 lim t, lim t 1 t 1 3t, lim t 1 t ), 3, 1 ) t 1 t 1 Descrevemos que, este exemplo, α1) não existe, mas existe o limite de lim t 1 αt). Exemplo 10 Seja α : R {0} R 3 denida por αt) = ) 1, t, t t 1 Temos que lim αt) não existe, pois não existe o limite lim t 0 t 0 t. 13