(1) Defina sequência, série, série convergente e série divergente. a n = 5. (b)

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Quarta Lista de Exercícios de Cálculo II - MTM23 Prof. Júlio César do Espírito Santo 2 de janeiro de MET () Defina sequência, série, série convergente e série divergente. (2) Explique o significado da expressão (3) Explique a diferença entre a i e i= j= a j a n = 5. a i e i= a j. (4) Na figura abaixo, existem infinitos círculos se aproximando dos vértices de um triângulo equilátero. Cada círculo toca outros círculos e lados do triângulo. Se o triângulo tiver lados de comprimento, calcule a área total ocupada pelos círculos. i= (5) Use as propriedades aritméticas dos limites para calcular, caso exista, lim a n, n + sendo a n igual a (a3 +3n+ 4n 3 +2 t k com 0 < t < n+ n coskπ (6) Calcule, caso a série seja convergente, a soma da série dada. ( ( n 2 3) π n (4n+)(4n+5) (f) n=2 [+( ] ( 4 5 k 3 2 (7) Sejam dois círculos C e D, de raio que se tangenciam em um ponto P. Sejam T uma retatangenteem comumac e ad, C o círculoque tangencia T, C e D, C 2 o círculo que tangencia C, C e D, C 3 o circulo que tangencia C 2, C e D e, em geral, C n o círculo que tangencia C n, C e D, para n >. Encontre uma expressão para o diâmetro de C n, mostre que n(n+) é convergente e calcule a sua soma.

2 2 (8) Um triângulo ABC, retângulo em B é dado com o ângulo  = θ e o comprimento AB = b. Sejam D i, pontos do segmento AC e E i, pontos do segmento BC, com i =,2,3,. Sejam BD perpendicular a AB, D E perpendicular a BC, E D 2 perpendicular a AB e assim sucessivamente, formando a figura abaixo. Calcule o comprimento total de todas as retas θ A C B internas ao triângulo ABC; ié, CD + D E + E D 2 + D 2 E 2 +, em função de b e θ. (9) Calcule, caso a série seja convergente, a soma da série dada. ( 2 ( (0) Calcule, caso possível, a soma da série dada. 2 n 5 n/2 ( ( () (O Conjunto de Cantor) Em honra ao matemático alemão Georg Cantor (845-98), o Conjunto de Cantor é construído como a seguir. Partinmos do ( intervalo [0, ] e, num primeiro instante, removemos o intervalo aberto 3, ) 2 3 correspondente ao seu terço médio. Isto nos leva a dois subintervalos disjuntos, [0, 3 ] e [2 3,]. Num segundo instante, de cada destes dois subintervalos restantes, removemos seu terço médio aberto. Quatro intervalos permanecem e, num terceiro passo, novamente repetimos o processo. Assim, prosseguimos indefinidamente. O Conjunto de Cantor K consiste dos números de [0, ] que permanecem após o processo descrito anteriormente. Mostre que o comprimento total de todos os intervalos que foram removidos é. Observe que, apesar disso, K contém infinitos números. Dê exemplos de alguns destes números. (2) (O Carpete de Sierpinski) é construído a partir do quadrado [0,] [0,]. O procedimento é remover do quadrado anterior, o quadrado central equivalente a um nono deste e destacar os oito nonos restantes. No passo seguinte, repete-se o procedimento anterior em cada um dos oito nonos restantes do quadrado do passo anterior. Repetindo-se indefinidamente este procedimento (Ver figura) obtemos o conjunto conhecido como Carpete de Sierpinski. Mostre que neste conjunto a soma das áreas dos quadrados removidos é.

3 3 (3) (Teste da Série Alternada). Em 705 o matemático alemão Gottfried Wilhelm von Leibniz observou que para que haja convergência de séries do tipo ( + a n, onde A n 0, chamadas Séries Alternadas, basta que a n 0 e que a n+ a n para todo n. Use o teste de Leibniz para verificar a convergência das seguintes séries. Em caso de divergência, justifique. ( + n ( + n n ( + 2n ( + n n+2 (4) Encontre o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências. n+2 n 2 3 n xn ( 2 n n!(2x (f) n=2 ( 3 n+ (lnn (5) (Diferenciação e Integração Termo-a-termo). Se a série de potências a n (x x 0 tiver R > 0 como raio de convergência, então a função definida por f(x) = a n (x x 0, é diferenciável (e portanto contínuao intervalo (x 0 R,x 0 +R) e, além disso, valem as expressões df + dx (x) = na n (x x 0 e f(x)dx = no intervalo (x 0 R,x 0 +R). Observando que d dx x = ( x) 2, a n (x x 0 + n+ +k. use a série geométrica e o Teorema de Derivação Termo-a-Termo para encontrar uma expressão em séries de potências de x para a função f(x) = ( x) 2. Use a série geométrica e o Teorema de Integração Termo-a- Termo para encontrar uma expressão em séries de potências de x para a função f(x) = ln(+x).

4 4 (6) Nos moldes do exercício anterior, encontre uma expansão em série de potências para as funções abaixo. Indique o raio de convergência. f(x) = ( x) 3 f(x) = arctg(x) f(x) = e x2 f(x) = x 2 + (7) Sendo a função de Bessel J 0 (x) = ( x 2n 2 2n (n!) 2, use o Teorema de Derivação termo a Termo para encontrar a derivada J 0(x) da função de Bessel. (8) Mostre que a função f(x) = n!, é uma solução da equação diferencial f (x) = f(x). (9) Encontrea sériede Maclaurinda Função ErroE(x) = 2 x e t2 dt, muito π conhecida em estatística. (20) Encontre a Série de Taylor das funções abaixo em torno do ponto x 0 dado. [Assuma que estas funções são analíticas em x 0.] f(x) = +x+x 2,x 0 = 2 f(x) = 3x 2 5x+7,x 0 = f(x) = x 3,x 0 = 2 f(x) = e x,x 0 = 3. (2) (Teorema da Série Binomial) Seja k um número real qualquer e x <, então (+x) k = kn, onde kn k(k )(k 2) (k n+) = com n e k0 =. n! Use o Teorema da Série Binomial para expandir (+x) 2 e 4 x como uma série de potências. (22) Para as funções a seguir, encontre o Polinômiode Taylorde grau n em torno de a dado por f (i) T n (x) = (x a) i, i! i=0 e use um software para plotar f e T n na mesma tela. f(x) = lnx,a =,n = 4 f(x) = e x,a = 2,n = 3 f(x) = sen(x),a = π/6,n = 3 f(x) = xe 2x,a = 0,n = 3. (23) Use a Série de Taylor da função e x para provar que e x +x, para todo x. (24) As expressões cosh(x) = ex +e x e sinh(x) = ex e x definem, respectivamente, as funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico. Obtenha a Série 2 2 de Maclaurin para estas funções. Observe que neste caso podemos aplicar o importante resultado de séries de potências que diz que a soma de duas séries de potências é convergente no intervalo em que ambas as séries são convergentes. 0

5 5 (25) Defina função analítica (real). (26) Obter as sériesde MacLaurineos intervalosde convergênciade e ax, sin(ax), cos(ax), ln(a + x), arctg(x), arcsin(x). (27) Obter as séries de Taylor em torno de x 0 e os intervalos de convergência de e x, sin(x), cos(x), ln(x). Bom Estudo!