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1 Nome: N.º: Endereço: Data: Telefone: Colégio PARA QUEM CURSA O 9 Ọ ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL EM 017 Disciplina: MATEMÁTICA Prova: DESAFIO NOTA: QUESTÃO 16 (OBMEP) Colocando sinais de adição entre alguns dos algarismos do número podemos obter várias somas. Por eemplo, podemos obter 79 com quatro sinais de adição: = 79. Quantos sinais de adição são necessários para que se obtenha assim o número 7? a) b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 Entre cada um dos números 5, 6, 7, 8 e 9, deverá haver sempre um sinal de +, pois qualquer agrupamento entre eles resulta maior que 7, como se vê nos eemplos: = 80 > = 89 > = 15 > 7 Além disso, deve-se ter um sinal antes do 5, pois = 75 > 7 Como = 5 e 7 5 = 7, precisamos que 1???4 resulte em 7, o que só é possível no caso Desta forma, a epressão fica: = 7, onde foram usados 7 sinais de +. Resposta: E 1

2 QUESTÃO 17 O valor de (0,005). 0, é: 1 1 a) 4 b) c) 1 d) e) 1 5 Notando que: (0,005) = (5. 10 ) = , = = = = e que = =, temos: 1 1 (0,005). 0, = 1 = = 1 = = = = = = 10 0 = Resposta: C

3 QUESTÃO 18 Os bilhetes de uma rifa são numerados de 1000 a Marcelo comprou todos os bilhetes nos quais o algarismo sete aparece eatamente três vezes e o zero não aparece. Quantos bilhetes Marcelo comprou? a) b) 6 c) 45 d) 46 e) 48 Os números nos bilhetes comprados por Marcelo são da forma 777X, 77X7, 7X77 ou X777, onde X representa algum dos oito algarismos 1,,, 4, 5, 6, 8 e 9. Em cada um desses casos, há 8 possibilidades para os números dos bilhetes. Por eemplo, no primeiro caso, temos os seguintes oito números: 7771, 777, 777, 7774, 7775, 7776, 7778 e Portanto, o número de bilhetes comprados por Marcelo é 4 8 =. Resposta: A QUESTÃO 19 O número real positivo que verifica a igualdade + 1 = 8 é: a) múltiplo de 5 b) divisor de 15 c) par e primo d) divisor de 1 e) ímpar e primo A equação + 1 = 8 é fracionária. Devemos determinar a condição de eistência da fração, e o conjunto universo é { Œ 0}. Logo: U = * Resolvendo a equação, temos: ( + 1) = 8 + = = 0 = ± 4. 1.( 8). 1 = = ± 6 ± 6 = 4 (não convém) =, que é par e primo Resposta: C

4 QUESTÃO 0 Considere todas as sequências, com cinco elementos cada uma, que podem ser formadas utilizando somente os algarismos 0 e 1. Alguns eemplos dessas sequências são: 00000, 11111, 00111, etc. Quantas dessas sequências possuem eatamente três zeros em posições consecutivas? a) b) 5 c) 8 d) 1 e) 16 1) As sequências com apenas zeros, todos consecutivos, são: 00011, 10001, ) As sequências com apenas 4 zeros, sendo eatamente três deles consecutivos, são: 01000, ) Eistem, portanto, apenas 5 sequências que possuem eatamente três zeros em posições consecutivas. Resposta: B 4

5 QUESTÃO 1 (FUVEST) Na figura abaio, tem-se que AD = AE, CD = CF e BA = BC. Se o ângulo E^DF mede 80, então o ângulo A^BC me de: a) 0 b) 0 c) 50 d) 60 e) 90 Sejam: q a medida, em graus, do ângulo A^BC; a a medida, em graus, dos ângulos congruentes A^ED, A^DE, C^DF e D^FC; e b a medida, em graus, dos ân gulos congruentes B^AC e B^CA. Assim: 1) a a = 180 a = 100 a = 50 ) b + a = 180 b = 180 b = 80 ) q + b = 180 q = 180 q = 0 Resposta: A 5

6 QUESTÃO Observe a planta de um escritório formado por duas salas quadradas e um corredor retangular. SALA SALA 1m CORREDOR Se, desprezando-se as paredes, a área total desse escritório é de 40 m, então a área de cada sala, em metros quadrados, é: a) 9 b) 1 c) 16 d) 18 e) 5 Se for a medida, em metros, do lado de cada quadrado e se 1 e forem as medidas, também em metros, do retângulo, então: = = 0 1 ± = 0 = 1 ± 9 = = 4 ou = 5 = 4, pois 0. A área de cada sala, em metros quadrados, é 4. 4 = 16. Resposta: C 6

7 QUESTÃO O quociente entre os valores reais de t, para que a metade da epressão t + t + 1 e a terça parte da epressão t + t + 6 sejam iguais, é: a) 1 b) c) d) e) 1 Escrevendo em linguagem matemática os termos metade e terça parte citados no problema, teremos: t + t + 1 = Reduzindo as epressões ao mesmo denominador comum, encontraremos: m.m.c. (,) = 6 (t + t + 1) 6 t + t + 6 = (t + t + 6) 6 t + 6t + = t + 6t + 1, logo: t + 6t + t 6t 1 = 0 t 9 = 0 t = 9 t = ± 9 t = ± O quociente entre e é igual a 1. Resposta: A 7

8 QUESTÃO 4 Para reforçar a porteira de sua propriedade, João precisa de uma tábua que será colocada na diagonal das tábuas já eistentes. Muro 1,5 m Muro O comprimento dessa tábua deverá ser de: a).000 cm b),50 m c),0 m d) 0,0015 km e).500 mm Observando a colocação da tábua, obteremos a figura abaio: m B 1,5 m 1,5 m Tábua () m A m C Aplicando o Teorema de Pitágoras, teremos: = (1,5) + =,5 + 4 = 6,5 = ± 6,5 =,5 (não convém, pois é negativo) =,5,5 m =.500 mm Resposta: E 8

9 QUESTÃO 5 As trajetórias dos planetas em torno do Sol são elípticas. No caso da Terra, essa trajetória é aproimadamente uma circunferência, com centro no Sol. A distância média da Terra ao Sol é de km. TERRA Desprezando-se os diâmetros da Terra e do Sol, o comprimento aproimado da órbita da Terra é: a) km b) 94, km c) 9, km d) 706, km e) 70, km O comprimento C da órbita da Terra, de acordo com o enunciado, é aproimadamente igual ao de uma circunferência de raio km. Logo: C =. p km C =., km C = 94, km Resposta: B 9

10 QUESTÃO 6 O valor da epressão numérica (,01) (99,91) 999,8 é, aproimadamente: a) b) 1 c) 0 d) 10 e) 00 Aproimando os valores numéricos da epressão para inteiros, teremos: (100) = = Resposta: C QUESTÃO 7 (UNESP-017) Uma confeitaria vendeu seus dois últimos bolos por R$,00 cada. Ela teve lucro de 8% com a venda de um dos bolos, e prejuízo de 0% com a venda do outro. No total dessas vendas, a confeitaria teve: a) prejuízo de R$ 1,8 b) lucro de R$,56 c) prejuízo de R$,56 d) lucro de R$ 5,1 e) prejuízo de R$ 1,00 Se C 1 e C forem respectivamente os preços, em reais, de custo de cada um dos bolos, então: 1,8. C 1 = 0,8. C = C 1 = 5 C = 40 Assim, o custo dos dois bolos foi de: (5 + 40) reais = 65 reais E o valor de venda foi de: ( + ) reais = 64 reais. Houve, portanto, prejuízo de 1 real. Resposta: E 10

11 QUESTÃO 8 Elevei um número real estritamente positivo ao quadrado, subtrai do resultado o mesmo número e o que restou dividi ainda pelo mesmo número. O resultado que achei foi igual: a) ao próprio número b) ao dobro do número c) ao número mais 1 d) à raiz quadrada do número e) ao número menos 1 Chamando o número positivo de, teremos que:. ( 1) = = 1 Resposta: E QUESTÃO 9 Rosa e Maria começam a subir uma escada de 100 degraus no mesmo instante. Rosa sobe 10 degraus a cada 15 segundos e Maria sobe 10 degraus a cada 0 segundos. Quando uma delas chegar ao último degrau, quanto tempo faltará para a outra completar a subida? a) meio minuto b) 40 segundos c) 45 segundos d) 50 segundos e) 1 minuto Como 100 degraus é o mesmo que degraus, Rosa gastará = 150 se gundos para chegar ao último degrau da escada. Maria levará 0 10 = 00 segundos para atingir o topo da escada. Assim, quando Rosa terminar de subir a escada, faltarão = 50 segundos para Maria completar a subida. Resposta: D 11

12 QUESTÃO 0 Se Œ e + + =, então: a) = 1 b) = 1 c) = d) = 1 e) = + + = = + 1 ( + 1) = + 1 = = 1 Resposta: D 1