Aula 3-ARQ-013 Geometria Descritiva 1A: Introdução à Geometria Descritiva Elementos e pontos

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1 Aula 3-ARQ-013 Geometria Descritiva 1A: Introdução à Geometria Descritiva Elementos e pontos Antonio Pedro Carvalho Aula baseada em: CARVALHO, A. P. A.; FONSECA, A. A. S. E.; PEDROSO, G. M. (orgs) Geometria Descritiva: Noções Básicas. Salvador: Quarteto, 2003.

2 Elementos Fundamentais da Geometria Geometria é a ciência que investiga as formas e dimensões dos elementos matemáticos Elementos fundamentais da Geometria: o ponto, a linha e a superfície O ponto determina uma posição no espaço. Não possui dimensão, existindo apenas se relacionado com outros elementos A linha pode ser compreendida como o resultado do deslocamento de um ponto

3 Elementos Fundamentais da Geometria A superfície pode ser definida como o resultado do deslocamento de uma linha em direção diferente da dela própria Toda representação geométrica é obtida através destes três elementos fundamentais, sendo que, no desenho técnico, o mais utilizado é a linha

4 Sistemas de Representação As diversas geometrias são sistemas de representação de formas A Geometria Projetiva busca representar, através do conceito de projeção, a forma de um objeto tridimensional em duas dimensões Projeção é o resultado da interseção de uma linha reta (projetante) que atinge um ponto do objeto a ser representado e um plano de projeção

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6 Sistemas de Projeção Sistemas de Projeção são ordenamentos das direções das projetantes Os principais Sistemas de Projeção são o Cônico e o Cilíndrico

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10 Geometria Descritiva A Geometria Descritiva constitui-se num sistema de projeção idealizado pelo matemático francês Gaspar Monge ( ) de modo a resolver problemas de padronização na confecção de projetos, durante o processo industrial incipiente que experimentava a França em meados do século XVIII

11 Geometria Descritiva Consiste na projeção do objeto estudado sobre dois planos de projeção perpendiculares entre si. Um dos planos é colocado na posição horizontal e chamado de Plano Horizontal de Projeção, ou PHp, e o outro na posição vertical e chamado Plano Vertical de Projeção, ou Pvp

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13 Geometria Descritiva Para que este sistema possua uma representação bidimensional, faz-se um movimento de giro do plano horizontal ou vertical em torno da interseção entre os planos, de modo a coincidir com a posição do plano vertical. Este processo é chamado de rebatimento e o resultado, épura

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15 Geometria Descritiva Cada ponto, desta forma, terá duas projeções no mínimo: a projeção sobre o PHp, também chamada de Projeção Horizontal, e a projeção sobre o PVp, também chamada de Projeção Vertical

16 Elementos A Linha de Terra, ou simplesmente LT, é a reta interseção entre os planos de projeção. Esta interseção divide cada plano de projeção em dois semi-planos. O PHp é subdividido no Semi-plano Horizontal Anterior, ou SPHA, e o Semi-plano Horizontal Posterior, ou SPHP. O PVp é subdividido em Semi-plano Vertical Superior, ou SPVS, e Semi-Plano Vertical Inferior, ou SPVI

17 Elementos As Linhas de Chamada são as projeções das projetantes. Em épura, as linhas de chamada de um mesmo ponto estarão sempre numa mesma reta perpendicular à LT. Diedros são os espaços compreendidos entre os dois planos de projeção.

18 Elementos Por convenção, o primeiro diedro será sempre aquele em que se encontra o observador, sendo o espaço compreendido entre o SPHA e o SPVS. O segundo diedro será o espaço compreendido entre o SPVS e o SPHP. O terceiro diedro é o espaço entre o SPHP e o SPVI. Finalmente, o quarto diedro está entre o SPVI e o SPHA. No processo de rebatimento, do qual resulta a Épura, o SPHP sempre coincidirá com o SPVS, e o SPHA com o SPVI, fechando-se o segundo e quarto diedro

19 Coordenadas do Ponto Para que todo sistema da Geometria Descritiva possua precisão, cada ponto será fixado no espaço por coordenadas A distância de qualquer ponto, tomada numa perpendicular, para o PVp será chamada afastamento A distância de qualquer ponto, tomada numa perpendicular, para o PHp, será chamada cota

20 Coordenadas do Ponto O Para que um ponto fique totalmente fixo no espaço, no entanto, necessita de mais uma coordenada no sentido longitudinal (abscissa), com valor marcado ao longo da LT. Isto é resolvido pelo arbitramento, perpendicularmente à LT, de um plano que é chamado de Plano de Origem das Abscissas. Convenciona-se que qualquer ponto à direita da Origem das Abscissas tem abscissa positiva e qualquer ponto à sua esquerda terá abscissa negativa

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22 Coordenadas do Ponto O afastamento será positivo quando medido do ponto ao PVp, para o mesmo lado do observador ou na frente do PVP (1 o e 4 o diedros), e negativo quando medido para um ponto situado atrás do Pvp (2 o e 3 o diedros). A cota será positiva quando a distância for medida acima do Php (1 o e 2 o diedros) e negativa quando medida para baixo do Php (3 o e 4 o diedros)

23 Coordenadas do Ponto O Deste modo, pode-se representar um ponto qualquer no Sistema de Dupla Projeção ou da Geometria Descritiva por três coordenadas: abscissa, afastamento e cota, que correspondem às coordenadas cartesianas x, y e z. Um ponto é identificado da seguinte forma: (A) (x ; y ; z), onde se representa por x a abscissa, y o afastamento e z a cota Exemplo: se o ponto (A) tiver abscissa 2, afastamento 3 e cota 4, escreve-se suas coordenadas desse modo: (A) (2 ; 3 ; 4)

24 Posições do Ponto Na representação da Épura de um ponto, notase que o afastamento será medido, sempre positivamente, da LT para baixo e, negativamente, da LT para cima. Na cota ocorrerá o inverso, isto é, positivamente para cima da LT e negativamente para baixo. No caso das abscissas, teremos medidas positivas à direita e negativas à esquerda da Origem das Abscissas

25 Posições do Ponto Dependendo do diedro em que esteja o ponto, pode-se afirmar: Se o ponto estiver no primeiro diedro, teremos afastamento e cotas positivas. Se estiver no segundo, terá afastamento negativo e cota positiva. No terceiro diedro, o ponto terá afastamento e cota negativos. No quarto diedro, terá afastamento positivo e cota negativa

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27 Posições do Ponto O ponto poderá situar-se sobre o PHp, quando terá sempre cota nula. Se estiver sobre o SPHA, terá cota nula, mas afastamento positivo, e, se estiver sobre o SPHP, sua cota será nula, mas o afastamento negativo. Se o ponto estiver sobre o PVp, terá sempre afastamento nulo, sendo que, se estiver sobre o SPVS, terá cota positiva e, se estiver sobre o SPVI, terá cota negativa. Finalmente poderemos ter ainda pontos sobre a LT, quando a cota e afastamento serão nulos

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29 Exercício (12, p.39) 1) Representar os pontos abaixo na mesma épura, explicitando a posição relativa aos diedros. (K)(-3;0;4), (L)(-2;7;3), (M)(-1;-4;4), (N)(0;0;0), (O)(1;3;-5), (P)(2;-6;-7), (Q)(3;0;-7), (R)(4;-5;0), (S)(5;2;0) e (T)(6;7;-2)