Análise Matemática I 1 o Semestre de 2002/03 LEBM, LEFT, LMAC Exercícios para as aulas práticas
|
|
- Felipe Alcaide Ramires
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Análise Matemática I o Semestre de 2002/03 LEBM LEFT LMAC Eercícios para as aulas práticas I Elementos de Lógica e Teoria dos Conjuntos (30/9/2002-4/0/2002) (Eercício 2 de [3]) Prove que quaisquer que sejam as proposições p q e r são verdadeiras as proposições: a) [(p q) (q p)] (p q) b) (p q) [( q) ( p)] c) [p (p q)] q d) [(p q) (q r)] (p r) 2 (Eercício 3 de [3]) Indique quais das seguintes proposições são verdadeiras e quais são falsas supondo que as variáveis intervenientes têm por domínio a) o conjunto dos reais e b) o conjunto dos naturais não nulos: a) 2 + > b) > 2 > c) y y = 2 d) y y = 2 e) y z = yz f) y ( y) 2 = 2 y 2 g) y ( y) 2 = 2 y 2 3 (Eercício 4 de [3]) Verifique que no conjunto dos reais as condições y = 2 e y 0 são (formalmente) equivalentes Observe bem que o quantificador eistencial em converteu a condição com duas variáveis y = 2 numa condição equivalente a y 0 que tem apenas uma variável A variável y diz-se variável não quantificada ou livre Na mesma ordem de ideias verifique as equivalências formais: a) y = 0 y > 0 em R b) y y = em N \ {0} c) y < y = y + em N \ {0} d) z = y + z > y em N \ {0} 4 (Eercício 24 de [3]) Indique quais das proposições seguintes são verdadeiras: a) b) {} c) {} { 2 3}
2 d) {2} e) {} { {2 3}} f) = { N : = + } g) R h) {R} 5 (Eercício 25 de [3]) Quantos elementos têm os conjuntos seguintes: { } { { }} {{ }}? Indique algumas proposições verdadeiras que eprimam relações de inclusão e relações de pertença entre os conjuntos dados 6 (Eercício 26 de [3]) Indique dois conjuntos A e B para os quais seja verdadeira a proposição (A B) (A B) Seja agora A um conjunto arbitrário Construa um conjunto B para o qual a proposição anterior seja verdadeira 7 (Eercício 27 de [3]) Sendo A um conjunto arbitrário chama-se conjunto das partes de A e designa-se por P (A) o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A Por eemplo se A = { 2} é P (A) = { {} {2} { 2}} a) Quantos elementos têm os conjuntos P ( ) e P (P ( ))? b) Verifique que A {} P (A) c) Prove por indução que sendo A um conjunto com n elementos o número de elementos de P (A) é 2 n II Teoria dos Conjuntos Aiomas dos Números Reais (7- /0/2002) (Eercícios 29 e 20 de [3]) Interprete geometricamente os seguintes conjuntos: a) { : < } b) { : < 0} c) { : a < ɛ} onde ɛ > 0 d) { : > 0} e) { : ( a)( b) < 0} onde a < b f) { : 3 > } g) { : } h) {( y) : 2 + y 2 } i) {( y) : + y } j) {( y) : ma( y ) } k) {( y z) : 2 + y 2 + z 2 < } 2
3 l) {( y z) : + y + z < } m) {( y z) : ma( y z ) < } 2 (Eercício 22 de [3]) Um conjunto X e duas operações designadas (por eemplo) pelos símbolos e constituem uma álgebra de Boole sse forem verificados os seguintes aiomas: abc X i) a b X a b X ii) (a b) c = a (b c) (a b) c = a (b c) iii) a b = b a a b = b a iv) a (b c) = (a b) (a c) a (b c) = (a b) (a c) v) eistem dois elementos que designaremos por 0 e tais que a 0 = a e a = a vi) a X a a = a a = 0 Prove que sendo A um conjunto arbitrário o conjunto X = P (A) e as operações de reunião e intersecção de conjuntos constituem uma álgebra de Boole Quais são os elementos 0 e dessa álgebra? 3 (p 34 de [3]) Seja A um conjunto não vazio Uma relação G no conjunto A diz-se uma relação de equivalência sse i) A G (refleividade) ii) y A Gy yg (simetria) iii) y z A (Gy ygz) Gz (transitividade) São relações de equivalência por eemplo a relação de igualdade num dado conjunto a relação de paralelismo no conjunto das rectas do espaço a relação de semelhança de triângulos a relação de equipotência entre subconjuntos de um dado conjunto Não são relações de equivalência a relação de perpendicularidade de rectas do espaço a relação de divisor entre números naturais de contido entre conjuntos e a de maior entre números reais Fiada uma relação de equivalência G num conjunto A diz-se que dois elementos a e b de A são equivalentes segundo G sse agb Sendo c A chama-se classe de equivalência de c e designa-se por [c] o conjunto de todos os elementos de A que são equivalentes a c: [c] Gc Mostre que: a) a [a] b) agb [a] = [b] c) ( (agb)) [a] [b] = 4 (Eercício I de [4]) Deduza a partir dos aiomas dos números reais: a) 0 = 0 = b) ( ) = 0 ( ) = c) ( y) = ( )y = (y) ( )( y) = y 3
4 d) (y = z 0) (y = z) e) y 0 z = yz f) u yv 0 y u v = u yv III Aiomas dos Números Reais (4-8/0/2002) Verifique que (Z 3 + ) é um corpo onde Z 3 = {0 2} + é a adição módulo 3 e é a multiplicação módulo 3 2 (p 39 de [3]) Diz-se que G é uma relação de ordem no conjunto S sse satisfaz as seguintes propriedades: a) S (G) (propriedade anti-refleiva) b) y S (Gy) [ (yg)] (propriedade anti-simétrica) c) yz S [(Gy) (ygz)] (Gz) (propriedade transitiva) Se além destas três G satisfizer a propriedade da tricotomia y S = y (Gy) (yg) diz-se que G é uma relação de ordem total Verifique que a relação de menor no conjunto dos números reais é uma relação de ordem total e que a relação inclusão estrita é uma relação de ordem (em geral não total) no conjunto das partes de um determinado conjunto A 3 (Eercício I2 de [4]) Deduza as propriedades: a) + z < y + z < y b) > 0 > 0 c) > ]0 [ 4 Verifique que a>0 a + a 2 5 Verifique que 0<a<b a < ab < a+b 2 < b 6 (Eercícios 7 8 e 9 de [5]) Demonstre pelo princípio de indução matemática que: a) (n!) 2 > 2 n n 2 para todo o natural n 4 b) n(n+) = n n+ para todo o natural n c) n! 2 n para todo o natural n d) n 2 = n(n+)(2n+) 6 para todo o natural n 7 (Eercício 20 de [5]) Demonstre a desigualdade de Bernoulli: Sendo a > e n N ( + a) n + na 4
5 8 (Eercício 2 de [5]) Demonstre pelo princípio de indução matemática o binómio de Newton: (a + b) n = ( ) n Recorde que p ( ) n + que = p n p=0 = n! p!(n p)! ( n p ) + ( n p ) a n p b p n N ab R e que desta igualdade se tira imediatamente ( n p ) IV Aiomas dos Números Reais (2-25/0/2002) (Eercício I3 de [4]) Prove que se é um racional diferente de zero e y um irracional + y y y e y/ são irracionais; mostre também que sendo e y irracionais a sua soma diferença produto e quociente podem ser ou não ser irracionais 2 (Eercício I8 de [4]) Seja A um subconjunto de R majorado e não vazio e seja m um majorante de A distinto do supremo desse conjunto Mostre que eiste ɛ > 0 tal que V ɛ (m) A = 3 (Eercício I9 de [4]) Sendo A um subconjunto majorado e não vazio de R e α = sup A prove que para qualquer ɛ > 0 o conjunto V ɛ (α) A é não vazio Na hipótese de α não pertencer a A o conjunto V ɛ (α) A pode ser finito? Justifique 4 (Eercício I5 de [4]) Sejam A e B dois subconjuntos de R tais que A B e suponha que A é não vazio e B é majorado Justifique que eistem os supremos de A e B e prove que se verifica sup A sup B 5 *(Página 56 de [4]) Seja X um conjunto e P (X) o conjunto das partes de X Porve que #X < #P (X) Sugestão: Suponha que eistia uma bijecção ϕ de X em P (X) Designe por M o conjunto definido por M = { X : ϕ()} e por m o elemento de X tal que ϕ(m) = M Prove que não se pode ter nem m M nem m M 6 *(Eercício I7 de [4]) Prove que o conjunto de todas as aplicações de {0 } em N tem a potência do numerável e que o conjunto de todas as aplicações de N em {0 } tem a potência do contínuo Prove ainda que o conjunto de todas as aplicações de um intervalo [a b] (com a < b) em {0 } tem potência superior à do contínuo 7 Considere a sucessão (u n ) dos números de Fibonacci: u 0 = 0 u = u n+ = u n + u n para n N Prove por indução que para n N u n = [( ) n ( ) n ] 5 2 5
6 V Sucessões (28-3/0/2002) (Eercício II de [4]) Indique quais são majoradas minoradas limitadas de entre as sucessões definidas do modo seguinte: a) u n = n+( )n n b) u n = ( ) n n 2 c) u n = n ( )n d) u n = n e) u = 0 u 2 = u n+2 = un+un+ f) u = u n+ = 2u n 2 2 (Eercício II2 de [4]) Baseando-se directamente na definição de limite mostre que a) 2n n+ 2 b) n 2 n 3 (Eercício IIg) de [4]) Seja (u n ) a sucessão definida por recorrência por u = u n+ = 2 + u n a) Prove por indução que u n < 2 para todo o n N b) Verifique que u n+ u n = (2 un)(un+) u n+ 2+u n c) Justifique que (u n ) é convergente e mostre que (u n ) é crescente d) Aplicando limites a ambos os membros da epressão de recorrência determine o limite de (u n ) 4 (Eercício 83 de [2]) Seja (a n ) a sucessão definida por recorrência por a = 3 a n+ = 3(+an) 3+a n a) Verifique que a n+ 3 = (3 3)(a n 3) 3+a n Prove por indução que a n > 3 para todo o n N b) Prove que (a n ) é decrescente c) Justifique que (a n ) é convergente d) Aplicando limites a ambos os membros da epressão de recorrência determine o limite de (a n ) 5 (Página 96 de [4]) Prove que se c < então c n 0 Sugestão: Use a desigualdade de Bernoulli: ( + k) n + nk para qualquer n N e k > 6 *(Página 0 de [4]) Seja p N e u n 0 para todo o n N Prove que se u n a então p u n p a 6
7 Sugestão: Para a > 0 use p u n p a = u n a ( p u n) p + p a( p u n) p ( p a) p 2 p u n + ( p a) p un a ( p a) p 7 (Página 02 de [4]) Prove que para todo a > 0 lim n n a = Sugestão: Use a desigualdade de Bernoulli: ( + k n ) n + nk n para qualquer n N e qualquer sucessão (k n ) cujos termos sejam maiores do que Suponha em primeiro lugar que a > e defina k n := n a VI Sucessões (4-8//2002) (Eercício II5 de [4]) Determine se eistirem os limites das sucessões que têm por termo de ordem n: a) 2n+3 3n b) n2 n 4 +3 c) 2 n + 2 n+ d) n 3 + n 2 +2n e) ( )n n 3 + n 2 +2 f) n(n )(n 2) (n+)(n+2) g) n(n )(n 2)(n p) (n+)(n+2)(n+q) onde pq N h) np n! onde p N i) n + n j) a n b n a n +b n onde ab R + 2 *(Página 35 de [4]) Seja u uma sucessão de termos positivos Prove que ( se un+ limite u n ) 3 Mostre que lim n n = converge em R então ( n u n ) também converge e para o mesmo 4 Seja p > 0 e a > Mostre que a) lim np a n = 0 Sugestão: lim n n p a n = a b) lim an n! = 0 Sugestão: Se n > C(a) então an n! a n ac(a) onde C(a) designa a característica de a c) lim n! n n = 0 Sugestão: n! n n n 5 *(Página 32 de [4]) Seja u uma sucessão convergente em R e seja v n a média dos n primeiros termos da sucessão u: v n = u+u2++un n Prove que nestas condições v também é convergente e lim v = lim u 7
8 VII Sucessões (-5//2002) (Eercício II5 de [4]) Determine se eistirem os limites das sucessões que têm por termo de ordem n: a) 2n n 2 b) n n 2 +n c) n+3 n 2n + d) n n! e) ( + n 2 ) n 3 f) ( n!) n! g) ( + n 3 ) n 2 2 Calcule se eistirem ( a) lim n 2 n n) b) lim n 2 n2 5 n 3 (Eercício II3 de [4]) Seja A um subconjunto de R com supremo s Prove que eiste uma sucessão ( n ) de termos em A convergente para s Prove ainda que se A não tem máimo a sucessão ( n ) pode ser escolhida por forma que seja estritamente crescente 4 (Eercício II4 de [4]) Sendo ( n ) uma sucessão monótona e (y n ) uma sucessão limitada verificando n y n < /n para todo o n N prove em primeiro lugar que ( n ) é limitada e depois que as duas sucessões são convergentes para o mesmo limite 5 (Página 9 de [4]) Seja (u n ) limitada e ɛ > 0 Prove que é finito o conjunto das ordens n para as quais u n > lim u n + ɛ 6 *(Eercício II de [4]) Dê um eemplo de uma sucessão cujo conjunto de sublimites seja o conjunto: a) R Poderá haver uma sucessão cujo conjunto de sublimites seja Q? Justifique 8
9 VIII Séries (8-22//2002) (Eercício II2 de [4]) Calcule a soma das séries: a) n= 2 n b) n=0 3 (5n+) c) n= d) n= n 2 +2n n(n+)(n+2) 2 (Eercício II3 de [4]) Prove que qualquer número representado por uma dízima periódica é racional Sugestão: = ( ) 3 (Eercício II4 de [4]) Determine a natureza das séries: a) n=0 b) n=0 n 3 +4 n n 4 +n 2 + c) n=0 n + n d) n=0 n2n e n e) n=0 f) n=2 n! n 2 +2 n n 2 g) (n!) 2 n=0 (2n)! h) n=0 i) n=0 2 n +3 n j) n=0 n! e n k) n= n 000 (00) n n 3 n+ 4 n+2 l) 35(2n+) n=0 369(3n+3) m) [(2n)!] 2 n=0 n!(3n)! n) n=0 ( n + n) 3 IX Séries (25-29//2002) (Eercício II7 de [4]) Determine se são absolutamente convergentes simplesmente convergentes ou divergentes as séries: a) ( ) n n= n b) ( ) n n n=0 n 2 + c) ( ) n n n=0 n+2 9
10 d) ( ) n n=0 3 n 2 (Eercício II8 de [4]) Determine os intervalos de convergência das séries: a) ( ) n (n+)! n= 246(2n) n+ b) n=0 2n (2n+)! c) ( ) n n=0 2n+ 2n+ d) ( ) n n=0 3 n + e) (+a) n n=0 a onde a 0 n+ f) (5+) 2n n=0 n 2 + g) n=0 [3 + ( )n ] n n 3 (Página 247 de [4]) Esboce o gráfico da função eponencial 4 (Página 268 de [4]) Esboce os gráficos das funções seno hiperbólico coseno hiperbólico e tangente hiperbólica 5 (Página 26 e 250 de [4]) Prove a fórmula fundamental da trigonometria X Continuidade e Limite (2-6/2/2002) Calcule se eistirem: a) lim 0 sin b) lim 0 [ sin ] c) lim + [ sin ] d) lim 0 e 2 e) lim 0 tanh f) lim 0 [ 2 ( cos )] g) lim + [ 2 ( cos )] 2 (Eercício 326 de [5]) Considere f : R R definida por f() = + D() 2 onde D designa a função de Dirichlet a) Indique o contradomínio de f A função é majorada? E minorada? b) Quais são os limites lim f() e lim + f() caso eistam c) Em que pontos é f contínua 3 (Página 30 de [4]) Defina os limites laterais de f no ponto a e os limite de f() quando tende para a por valores distintos de a 0
11 4 (Páginas 265 e 266 de [4]) Defina as funções trigonométricas inversas arcsin arccos e arctan e esboce os seus gráficos 5 (Eercício 327 de [5]) Seja f : R R contínua em no ponto dada por 0 se f() = arcsin se < < K sin ( π 2 ) se a) Determine K b) Estude f do ponto de vista da continuidade c) Indique o contradomínio de f e se tem supremo ínfimo máimo mínimo d) Quais são os limites lim f() e lim + f() caso eistam 6 *(Página 282 de [4]) Seja n=0 a n n uma série de potências com raio de convergência r 0 Prove que n= a n n é contínua em ] r r[ 7 (Eercício 426 de []) Seja A R e c A Sejam f g : A R com f limitada e lim c g() = 0 Mostre que lim c [f()g()] = 0 8 (Eercício 427 de []) a) Dê uma definição rigorosa de lim c f() = + e use-a para provar que lim 0 = + 2 b) Dê agora uma definição de lim + f() = L Mostre que lim + = 0 c) Qual a definição rigorosa de lim + f() = +? Dê um eemplo de um tal limite 9 (Eercício 438 de []) a) Mostre que se uma função é contínua em R e nula em todos os racionais então a função é identicamente nula b) Se f e g estão definidas em R e coincidem nos racionais têm que coincidir em R? 0 *(Eercício 439 de []) Seja f uma função definida em R e assuma que eiste uma constante c tal que 0 < c < e para todos y R f() f(y) c y a) Mostre que f é contínua em R b) Escolha um ponto y R e considere a sucessão (y f(y ) f(f(y )) ) Em geral se y n+ = f(y n ) (para n N ) mostre que a sucessão (y n ) é de Cauchy Podemos portanto definir y = lim y n c) Mostre que y é um ponto fio de f ie f(y) = y e que f não tem mais nenhum ponto fio d) Mostre que para qualquer R a sucessão ( f() f(f()) ) converge para y
12 XI Continuidade e Limite (9-3/2/2002) (Eercício III2 de [4]) Prove que todo o polinómio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real 2 Prove que se f : [0 ] [0 ] é contínua então tem um ponto fio 3 Prove que se f : R R é contínua e tem limites finitos no infinito então é limitada 4 (Eercício III8 de [4]) Mostre que para que uma função monótona definida em ]a b[ possa prolongar-se por continuidade aos pontos a e b é necessário e suficiente que seja limitada 5 Será limitada toda a função contínua em R satisfazendo f(n) = 0 para todo o n inteiro? 6 (Eercício III6 de [4]) Supondo f contínua no intervalo semi-fechado ]a b] não pode provar-se a eistência de pelo menos um etremo de f nesse intervalo Justifique 7 (Eercício 340 de [5]) a) Sendo g : [0 + [ R contínua no seu domínio mostre que a função ϕ : [ ] R definida por ϕ() = g( 2 ) tem máimo e mínimo b) Se na alínea anterior considerássemos g definida e contínua em ]0 + [ poderíamos continuar a garantir para ϕ a eistência de máimo e mínimo? Justifique 8 (Eercício IV de [4]) Calcule as derivadas das funções: a) tan b) +cos sin c) e arctan d) e log2 e) sin tan f) 2 ( + log ) g) (log ) h) 2
13 XII Diferenciabilidade (6-20/2/2002) Calcule pela definição as derivadas de a) b) 2 c) e d) sin 2 (Eercício IV3 de [4]) Determine o domínio de diferenciabilidade e calcule as derivadas de a) b) e c) log d) e e) ( ) C() 3 Seja f : R R diferenciável Calcule (arctan f() + f(arctan )) 4 Prove que se f : R R é de classe C e se anula numa sucessão de pontos diferentes de zero e convergente para zero então todas as derivadas de f se anulam na origem 5 (Eercício 43 de [5]) Seja f uma função contínua num intervalo aberto que contenha os pontos 0 e e tal que para todo o n N ( ) f = 3 n n 2 a) Calcule f(0) b) Prove que o contradomínio de f contém o intervalo [2 3] c) Supondo agora suplementarmente que f é indefinidamente diferenciável nalguma vizinhança da origem determine f (k) (0) para todo o k N Indique se o ponto 0 é ou não ponto etremo de f Sugestão: Poderá ser-lhe útil considerar a função ϕ() = f() Prove que se f : R R é duas vezes diferenciável e o seu gráfico cruza a recta y = em três pontos então f tem pelo menos um zero 7 Prove que a equação 3 2 e = 0 tem eactamente três zeros 8 Prove que se f : R + 0 R é diferenciável e satisfaz f(n) = ( )n para n N então a sua derivada não tem limite no infinito 9 Prove que se f é duas vezes diferenciável em R com segunda derivada limitada e f(0) = f (0) = 0 então eiste c > 0 tal que para todo o R f() c 2 3
14 0 Prove que se f é de classe C em R e a equação f() = 2 tem três soluções sendo uma negativa uma nula e outra positiva então f tem pelo menos um zero (Eercício IV2 de [4]) Calcule os limites: a) lim 0 a b b) lim + log(+e ) c) lim (log log log ) d) lim 0 + e / e) lim 0 e / 2 (Eercício IV0 de [4]) Determine o cilindro de area total mínima de entre todos os cilindros circulares rectos com um dado volume Referências [] S Abbott Understanding Analysis Springer Undergraduate Tets in Mathematics 200 [2] TM Apostol Mathematical Analysis Second edition Addison Wesley 974 [3] J Campos Ferreira Lições de Análise Real IST 200 [4] J Campos Ferreira Introdução à Análise Matemática Fundação Gulbenkian 6 a ed 995 [5] Eercícios de Análise Matemática I e II DMIST 200 4
Análise Matemática I 1 o Semestre de 2004/05 LEAero, LEBiom, LEFT e LMAC Exercícios para as aulas práticas
Análise Matemática I o Semestre de 2004/05 LEAero LEBiom LEFT e LMAC Eercícios para as aulas práticas I Elementos de Lógica e Teoria dos Conjuntos (20-24/9/2004) (Eercício 2 de [3]) Prove que quaisquer
Leia maisg) 2 x2 (2 x ) 2, 6 x i) x 2 x + 2, j) k) log ( 1 l) log ( 2x 2 + 2x 2) + log ( x 2
Números Reais. Simplifique as seguintes epressões (definidas nos respectivos domínios): a), b) + +, c) + + +, d), e) ( ), f) 4 4, g) ( ), h) 3 6, i) +, j) +, k) log ( ) + log ( ), l) log ( + ) + log (
Leia mais4 Cálculo Diferencial
4 Cálculo Diferencial 1. (Eercício IV.1 de [1]) Calcule as derivadas das funções: a) tg, b) +cos 1 sen, c) e arctg, d) e log2, e) sen cos tg, f) 2 (1 + log ), g) cos(arcsen ) h) (log ), i) sen 2. 2. Derive:
Leia maisExercícios de Cálculo Diferencial e Integral I, Amélia Bastos, António Bravo, Paulo Lopes 2011
Eercícios de Cálculo Diferencial e Integral I, Amélia Bastos, António Bravo, Paulo Lopes Introdução Neste teto apresentam-se os enunciados de conjuntos de eercícios para as aulas de problemas do curso
Leia mais4 Cálculo Diferencial
4 Cálculo Diferencial 1 (Eercício IV1 de [1]) Calcule as derivadas das funções: a) tg, b) +cos 1 sen, c) e arctg, d) e log, e) sen cos tg, f) (1 + log ), g) cos(arcsen ) h) (log ), i) sen Derive: a) arctg
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I
Cálculo Diferencial e Integral I Resolução do Eame / Testes de Recuperação I.. (, val.)determine os ites das seguintes sucessões convergentes (i) u n n + n n e n + n, (ii) v n n + π n Resolução: i) A sucessão
Leia maisExercícios de Cálculo p. Informática, Ex 1-1 Nas alíneas seguintes use os termos inteiro, racional, irracional, para classificar
Eercícios de Cálculo p. Informática, 2006-07 Números Reais. E - Nas alíneas seguintes use os termos inteiro, racional, irracional, para classificar o número dado: 7 a) b) 6 7 c) 2.(3) = 2.33 d) 2 3 e)
Leia mais2.1 Sucessões. Convergência de sucessões
Capítulo 2 Sucessões reais Inicia-se o capítulo introduzindo os conceitos de sucessão limitada, sucessão monótona, sucessão convergente e relacionando estes conceitos entre si. A análise da convergência
Leia maisx + 2 > 1 (x 2)(x + 2) x + 2 > e
Instituto Superior Técnico Departamento de Matematica TESTES DE RECUPERAÇÃO DE CDI I O SEM. / DURAÇÃO: H/H VERSÃO A LEMAT, LEAN, MEBIOL, MEQ, MEAMBI E LMAC, MEBIOM, MEFT RESOLUÇÃO. (,5 val.) (a) (,9 val.)
Leia mais1 Números Reais. 1. Simplifique as seguintes expressões (definidas nos respectivos domínios): b) x+1. d) x 2, f) 4 x 4 2 x, g) 2 x2 (2 x ) 2, h)
Números Reais. Simplifique as seguintes expressões (definidas nos respectivos domínios): x a), x b) x+ +, x c) +x + x +x, d) x, e) ( x ), f) 4 x 4 x, g) x ( x ), h) 3 x 6 x, i) x x +, j) x x+ x, k) log
Leia mais3 Funções reais de variável real (Soluções)
3 Funções reais de variável real (Soluções). a) Como e é crescente, com contradomínio ]0, + [, o contradomínio de f é ]e, + [. Para > 0 e y ] e, + [, temos Logo, a inversa de f é f () = y e = y = log y
Leia maisFicha de Problemas n o 6: Cálculo Diferencial (soluções) 2.Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy
Ficha de Problemas n o 6: Cálculo Diferencial soluções).teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy. Seja f) = 3 e. Então f é contínua e diferenciável em R. Uma vez que f) = +, f0) = conclui-se do Teorema do
Leia maisT. Rolle, Lagrange e Cauchy
T. Rolle, Lagrange e Cauchy EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. Mostre que a equação 5 + 5 = 5 tem uma única solução em R. Seja f = 5 +5 5. Então f é contínua e diferenciável em R. Temos f = 5 4 + > 0, em R, logo f
Leia maisCÁLCULO DIFERENCIAL 5-1 Para cada uma das funções apresentadas determine a sua derivada formando
5 a Ficha de eercícios de Cálculo para Informática CÁLCULO DIFERENCIAL 5-1 Para cada uma das funções apresentadas determine a sua derivada formando o quociente f( + h) f() h e tomando o ite quando h tende
Leia mais3 Limites e Continuidade(Soluções)
3 Limites e Continuidade(Soluções). a) Como e é crescente, com contradomínio ]0, + [, o contradomínio de f é ]e, + [. Para > 0 e y ] e, + [, temos Logo, a inversa de f é f () = y e = y = log y = log y
Leia maisCÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I LMAC, MEBIOM, MEFT 1 o SEM. 2014/15 1 a FICHA DE EXERCÍCIOS 1 [
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I LMAC, MEBIOM, MEFT o SEM. 04/5 a FICHA DE EXERCÍCIOS 0. Desigualdades e Módulos. Mostre que:.. R : + < =, 7, +.. R
Leia maisFaculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa Primavera 2004/2005. Cálculo I. Caderno de Exercícios 4
Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa Primavera 2004/2005 Cálculo I Caderno de Eercícios 4 Limites, continuidade e diferenciabilidade de funções; fórmulas de Taylor e MacLaurin; estudo de funções.
Leia maisUFRJ - Instituto de Matemática
UFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática www.pg.im.ufrj.br/pemat Mestrado em Ensino de Matemática Seleção 9 Etapa Questão. Determine se as afirmações abaio são verdadeiras
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I
Cálculo Diferencial e Integral I Texto de apoio às aulas. Amélia Bastos, António Bravo Dezembro 2010 Capítulo 1 Números reais As propriedades do conjunto dos números reais têm por base um conjunto restrito
Leia maisDISTRIBUIÇÃO DOS DOMÍNIOS POR PERÍODO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS Planificação Anual da Disciplina de Matemática 11.º ano Ano Letivo de 2016/2017 Manual adotado: Máximo 11 Matemática A 11.º ano Maria Augusta Ferreira
Leia maisCÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I LMAC, MEBIOM, MEFT 1 o SEM. 2014/15 2 a FICHA DE EXERCÍCIOS. k + e 1 x, x > 0 f(x) = x cos 1, x > 0
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I LMAC, MEBIOM, MEFT 1 o SEM. 2014/15 2 a FICHA DE EXERCÍCIOS I. Continuidade de Funções. 1) Considere a função f :
Leia maisCálculo diferencial. Motivação - exemplos de aplicações à física
Cálculo diferencial Motivação - eemplos de aplicações à física Considere-se um ponto móvel sobre um eio orientado, cuja posição em relação à origem é dada, em função do tempo, pela função s. st posição
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I 1 o Sem. 2015/16 - LEAN, LEMat, MEQ FICHA 8
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I o Sem. 05/6 - LEAN, LEMat, MEQ FICHA 8 Regra de Cauchy. Estudo de funções. a. a) b 0 é uma indeterminação do tipo
Leia maisCálculo Diferencial em
Cálculo Diferencial em Definição de Derivada Seja f uma função real de variável real definida num intervalo aberto que contém c. Chama-se derivada de f em c a caso este limite eista. f c lim ffc c, c Esta
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I
Cálculo Diferencial e Integral I Complementos ao texto de apoio às aulas. Amélia Bastos, António Bravo Julho 24 Introdução O texto apresentado tem por objectivo ser um complemento ao texto de apoio ao
Leia maisMatemática I. 1 Propriedades dos números reais
Matemática I 1 Propriedades dos números reais O conjunto R dos números reais satisfaz algumas propriedades fundamentais: dados quaisquer x, y R, estão definidos a soma x + y e produto xy e tem-se 1 x +
Leia maisResumo Elementos de Análise Infinitésimal I
Apêndice B Os números naturais Resumo Elementos de Análise Infinitésimal I Axiomática de Peano Axioma 1 : 1 N. Axioma 2 : Se N, então + 1 N. Axioma 3 : 1 não é sucessor de nenhum N. Axioma 4 : Se + 1 =
Leia mais7 Derivadas e Diferenciabilidade.
Eercícios de Cálculo p. Informática, 006-07 1 7 Derivadas e Diferenciabilidade. E 7-1 Para cada uma das funções apresentadas determine a sua derivada formando o quociente f( + h) f() h e tomando o ite
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1 ō Exame - 12 de Janeiro de h00m
Cálculo Diferencial e Integral I Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores ō Eame - 2 de Janeiro de 2008-3h00m Solução Problema (0,5 val.) Seja f() = log(3 2 ) + 3. (a) Determine
Leia maisFundação Universidade Federal de Pelotas Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina de Análise II - Prof. Dr. Maurício Zahn Lista 01 de Exercícios
Fundação Universidade Federal de Pelotas Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina de Análise II - Prof Dr Maurício Zahn Lista 01 de Eercícios 1 Use a definição de derivada para calcular a derivada
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I
Cálculo Diferencial e Integral I LEAmb, LEMat, LQ, MEB, MEEC, MEQ o teste / o eame - 7 de Janeiro de 8 duração: o teste: :3 / o eame: 3: Apresente todos os cálculos e justificações relevantes Para resolver
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I
Cálculo Diferencial e Integral I Texto de apoio às aulas. M. Amélia Bastos, António Bravo 200 O texto apresentado tem por objectivo ser um texto de apoio ao curso de Cálculo Diferencial e Integral I do
Leia maisTEMA TÓPICOS OBJETIVOS ESPECÍFICOS AVALIAÇÃO* Lei dos senos e lei dos cossenos. casos de ângulos retos e obtusos. Resolução de triângulos
AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO Escola Básica e Secundária Dr. Vieira de Carvalho Departamento de Matemática e Ciências Experimentais Planificação Anual de Matemática A 11º ano Ano Letivo
Leia maisP L A N I F I C A Ç Ã 0 E n s i n o S e c u n d á r i o
P L A N I F I C A Ç Ã 0 E n s i n o S e c u n d á r i o 206-207 DISCIPLINA / ANO: Matemática A - ºano MANUAL ADOTADO: NOVO ESPAÇO - Matemática A º ano GESTÃO DO TEMPO Nº de Nº de Nº de tempos tempos tempos
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I
Cálculo Diferencial e Integral I LEA, LEM, LEAN, MEAer, MEMec o Semestre de 006/007 6 a Aula Prática Soluções e algumas resoluções abreviadas. a) Como e é crescente, com contradomínio ]0, + [, o contradomínio
Leia maisTEMA TÓPICOS OBJETIVOS ESPECÍFICOS AVALIAÇÃO* Lei dos senos e lei dos cossenos. Extensão da definição das razões trigonométricas aos
AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO Escola Básica e Secundária Dr. Vieira de Carvalho Departamento de Matemática e Ciências Experimentais Planificação Anual de Matemática A 11º ano Ano Letivo
Leia maisFEUP - MIEEC - Análise Matemática 1
FEUP - MIEEC - Análise Matemática Resolução da a Chamada - de Janeiro de 9 Respostas a perguntas diferentes em folhas diferentes Justifique cuidadosamente todas as respostas. Não é permitida a utilização
Leia maisPolinómio e série de Taylor
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise ANÁLISE MATEMÁTICA II - o Semestre 05/06 Exercícios Suplementares (Eng a Física Tecnológica, Matemática Aplicada e Computação
Leia maisCapítulo 1 Como motivação para a construção dos números complexos aconselha-se o visionamento do quinto do capítulo do documentário Dimensions, disponível em http://www.dimensions-math.org/ Slides de apoio
Leia maisDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS
Escolas João de Araújo Correia ORGANIZAÇÃO DO ANO LETIVO 16 17 GESTÃO CURRICULAR DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS MATEMÁTICA A 11º ANO 1º PERÍODO ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Leia maisInstituto Superior Técnico - 1 o Semestre 2006/2007 Cálculo Diferencial e Integral I LEA-pB, LEM-pB, LEN-pB, LEAN, MEAer e MEMec
Instituto Superior Técnico - o Semestre 006/007 Cálculo Diferencial e Integral I LEA-pB, LEM-pB, LEN-pB, LEAN, MEAer e MEMec a Ficha de eercícios para as aulas práticas 3-4 Novembro de 006. Determine os
Leia maisPlanificação Anual Matemática 11º Ano
ESCOLA SECUNDÁRIA/3 RAINHA SANTA ISABEL 402643 ESTREMOZ Planificação Anual Matemática 11º Ano Ano letivo 2016/2017 PERÍODO Nº de AULAS PREVISTAS (45 min) 1º 78 2º 72 3º 36 Total: 186 1º Período Total de
Leia maisPLANIFICAÇÃO A MÉDIO/LONGO PRAZO
018/019 DISCIPLINA: Matemática A ANO: 11º CURSO GERAL DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIAS Total de aulas previstas: 15 Mês Unidades Temáticas Conteúdos Conteúdos programáticos Descritores N.º Aulas Avaliação Primeiro
Leia mais( a) ( ) ( ) ( ) 1. A função m : x x x 2 tem por representação gráfica. A C 1 B D Seja f uma função definida em R.
Para cada uma das seguintes questões, seleccione a resposta correcta entre as quatro alternativas que são indicadas, justificando a sua escolha.. A função m : tem por representação gráfica. A C B D. Seja
Leia maisLista 1. 9 Se 0 < x < y e n N então 0 < x n < y n.
UFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM095 - Análise I Prof. José Carlos Eidam Lista 1 Em toda a lista, K denota um corpo ordenado qualquer. Corpos ordenados 1. Verifique as
Leia maisUniversidade Federal de Santa Maria Departamento de Matemática Curso de Verão Lista 2. Sequências de Números Reais
Universidade Federal de Santa Maria Departamento de Matemática Curso de Verão 0 Lista Sequências de Números Reais. Dê o termo geral de cada uma das seguintes sequências: a,, 3, 4,... b, 4, 9, 6,... c,,
Leia maisApresente todos os cálculos e justificações relevantes. a) Escreva A e B como intervalos ou união de intervalos e mostre que C = { 1} [1, 3].
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática 1. o TESTE DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - Versão A LEAN, LEMat, MEQ 1. o Sem. 2016/17 12/11/2016 Duração: 1h0m Apresente todos os cálculos e
Leia maisANÁLISE MATEMÁTICA II 2007/2008. Cursos de EACI e EB
ANÁLISE MATEMÁTICA II 2007/2008 (com Laboratórios) Cursos de EACI e EB Acetatos de Ana Matos 1ª Parte Sucessões Séries Numéricas Fórmula de Taylor Séries de Potências Série de Taylor DMAT Ana Matos - AMII0807
Leia maisCapítulo 5. séries de potências
Capítulo 5 Séries numéricas e séries de potências Inicia-se o capítulo com a definição de série numérica e com oção de convergência de séries numéricas, indicando-se exemplos, em particular o exemplo da
Leia maisPlanificação Anual Matemática A 11º Ano
ESCOLA SECUNDÁRIA/3 RAINHA SANTA ISABEL 402643 ESTREMOZ Planificação Anual Matemática A 11º Ano Ano letivo 2017 / 2018 PERÍODO Nº de AULAS PREVISTAS (45 min) 1º 78 2º 60 3º 48 Total: 186 1º Período Total
Leia maisAnálise I Solução da 1ª Lista de Exercícios
FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS Centro de Ciências e Tecnologia Curso de Graduação em Matemática Análise I 0- Solução da ª Lista de Eercícios. ATENÇÃO: O enunciado
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I
Cálculo Diferencial e Integral I Eame - Parte I - de Julho de 8 LERC, LEGI, LEE, LEIC-T Número: Nome: valores a) valores b) valores 3 4 valores 4 valores 5 a) 3 valores 5 b) 3 valores 6 valores páginas
Leia maisPLANIFICAÇÃO A MÉDIO/LONGO PRAZO
07/08 PLANIFICAÇÃO A MÉDIO/LONGO PRAZO DISCIPLINA: Matemática A ANO: º CURSO GERAL DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIAS Total de aulas previstas: 53 Mês Unidades Temáticas Conteúdos Conteúdos programáticos Descritores
Leia maisTópicos de Matemática Elementar
Tópicos de Matemática Elementar 2 a série de exercícios 2004/05. A seguinte prova por indução parece correcta, mas para n = 6 o lado esquerdo é igual a 2 + 6 + 2 + 20 + 30 = 5 6, enquanto o direito é igual
Leia maisLimites e continuidade
Limites e continuidade Limite (finito) de uma função em a Salvo indicação em contrário, quando nos referimos a uma função estamos sempre a considerar funções reais de variável real (f.r.v.r.), ou seja,
Leia maisUniversidade Federal de Santa Maria Departamento de Matemática Curso de Verão Lista 1. Números Naturais
Universidade Federal de Santa Maria Departamento de Matemática Curso de Verão 01 Lista 1 Números Naturais 1. Demonstre por indução as seguintes fórmulas: (a) (b) n (j 1) = n (soma dos n primeiros ímpares).
Leia maisPlanificação Anual Matemática 11º Ano
ESCOLA SECUNDÁRIA/3 RAINHA SANTA ISABEL 402643 ESTREMOZ Planificação Anual Matemática 11º Ano Ano letivo 2018 / 2019 PERÍODO Nº de AULAS PREVISTAS (45 min) 1º 72 2º 72 3º 36 Total: 180 1º Período Total
Leia maisExercícios sobre Polinômios
uff Universidade Federal Fluminense Campus do Valonguinho Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada - GMA Eercícios sobre Polinômios Prof Saponga Rua Mário Santos Braga
Leia maisMatemática. Lic. em Enologia, 2009/2010
Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro Matemática Lic. em Enologia, 009/00 a Parte: Álgebra Linear Vectores em R n e em C n. Sejam u = (, 7,, v = ( 3, 0, 4 e w = (0, 5, 8. Calcule: a 3u 4v b u + 3v
Leia maisCapítulo Topologia e sucessões. 7.1 Considere o subconjunto de R 2 : D = {(x, y) : xy > 1}.
Capítulo 7 Introdução à Análise em R n 7. Topologia e sucessões 7. Considere o subconjunto de R 2 : D = {(x, y) : > }.. Indique um ponto interior, um ponto fronteiro e um ponto exterior ao conjunto D e
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I - LEIC
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Departamento de Matemática de Janeiro de Cálculo Diferencial e Integral I - LEIC ō Teste - Versão - Resolução. Indique uma primitiva para a função definida em ], e [ pela epressão
Leia maisCálculo diferencial, primitivas e cálculo integral de funções de uma variável
Análise Matemática Cálculo diferencial, primitivas e cálculo integral de funções de uma variável (Soluções) Jorge Orestes Cerdeira, Isabel Martins, Ana Isabel Mesquita Instituto Superior de Agronomia -
Leia mais1.1 Propriedades básicas dos números reais, axiomática dos números reais.
I - Funções reais de variável real 1. Números Reais. 1.1 - Números naturais, números relativos, números racionais e números reais. De uma forma muito simples vamos recordar os números: Números Naturais
Leia maisExercício 1. Exercício 2. Exercício 3. Considere a função f que para valores de x é de nida pela relação f(x) = x(sin /x).
E Eercício 1 Considere a função f que para valores de é denida pela relação f() = (sin /). 1.1 Mostre que a função f é contínua em R\{}. 1.2 Sabendo que f é contínua no ponto = determine o valor de f().
Leia maisAnálise Matemática I 1 o Exame (Grupos I, II, III, IV, V e VI) 2 o Teste (Grupos IV, V e VI)
Análise Matemática I o Exame (Grupos I, II, III, IV, V e VI) 2 o Teste (Grupos IV, V e VI) Campus da Alameda 5 de Janeiro de 2003 LEC, LET, LEN, LEM, LEMat, LEGM Apresente todos os cálculos e justificações
Leia maisDepartamento de Matemática do Instituto Superior Técnico
Exercícios de Análise Matemática I/II Departamento de Matemática do Instituto Superior Técnico 8 de Março de 3 Índice Números Reais. Sucessões. 5 Séries 7. Séries numéricas elementares..............................
Leia maisQUESTÕES ANPEC CÁLCULO A UMA VARIÁVEL 2 2., calcule a derivada dw dt t = 1.
QUESTÕES ANPEC CÁLCULO A UMA VARIÁVEL QUESTÃO Se ( ) a, e a, eamine as seguintes afirmações: () A função é crescente () A função d/d é crescente () lim ( ) () lim ( ) ( ) ( y) y Se, y, então (4) QUESTÃO
Leia maisApresente todos os cálculos e justificações relevantes
Análise Matemática I 2 o Teste e o Exame Campus da Alameda 9 de Janeiro de 2006, 3 horas Licenciaturas em Engenharia do Ambiente, Engenharia Biológica, Engenharia Civil, Engenharia e Arquitectura Naval,
Leia maisDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS - Grupo 500. Planificação Anual /Critérios de avaliação
AGRUPAMENTO DE ESCOLAS ANSELMO DE ANDRADE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS - Grupo 500 Planificação Anual /Critérios de avaliação Disciplina: Matemática A _ 11º ano _ CCH 2016/2017 Início
Leia maisUFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática Mestrado em Ensino de Matemática
UFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática www.pg.im.ufrj.br/pemat Mestrado em Ensino de Matemática Seleção 0 Etapa Questão. Considere f : [, ] R a função cujo gráfico
Leia mais1.2 Axioma do Supremo
1.2 Axioma do Supremo EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Verifique que se n N é ímpar, então n 2 é também ímpar. O que pode concluir de n N sabendo que n 2 é par? RESOLUÇÃO Seja n N ímpar, com n = 2k+1, para algum
Leia maisUniversidade de Trás-os-Montes e Alto Douro. Biomatemática/ Matemática I FOLHAS PRÁTICAS
Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro Biomatemática/ Matemática I FOLHAS PRÁTICAS Licenciaturas em Arquitectura Paisagista, Biologia e Geologia (ensino) e Biologia (cientíco) Ano lectivo 004/005
Leia maisCÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I LEIC 1 o Sem. 2009/10 9 a FICHA DE EXERCÍCIOS. 1) Quais dos seguintes integrais são impróprios? Porquê?
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I LEIC o Sem. 9/ 9 a FICHA DE EXERCÍCIOS I. Integrais Impróprios. ) Quais dos seguintes
Leia maisPreparação para o Cálculo
Preparação para o Cálculo Referencial cartesiano Representação gráfica Um referencial cartesiano é constituído por duas rectas perpendiculares (fias), com ponto de intersecção O: O diz-se a origem do referencial;
Leia maisSucessões. , ou, apenas, u n. ,u n n. Casos Particulares: 1. Progressão aritmética de razão r e primeiro termo a: o seu termo geral é u n a n1r.
Sucessões Definição: Uma sucessão de números reais é uma aplicação u do conjunto dos números inteiros positivos,, no conjunto dos números reais,. A expressão u n que associa a cada n a sua imagem designa-se
Leia maisESCOLA SECUNDÁRIA FERREIRA DIAS, AGUALVA SINTRA ENSINO RECORRENTE DE NÍVEL SECUNDÁRIO POR MÓDULOS CAPITALIZÁVEIS CURSO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIAS
ESCOLA SECUNDÁRIA FERREIRA DIAS, AGUALVA SINTRA ENSINO RECORRENTE DE NÍVEL SECUNDÁRIO POR MÓDULOS CAPITALIZÁVEIS CURSO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIAS DEPARTAMENTO: MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS DISCIPLINA
Leia maisESCOLA SECUNDÁRIA DA AMADORA. Conteúdos programáticos/unidades
ESCOLA SECUNDÁRIA DA AMADORA Curso Científico-Humanístico de Ciências e Tecnologias e de Ciências Socioeconómicas 018/019 Disciplina de Matemática A - 11ºAno Planificação Anual e Critérios de Avaliação
Leia maisMatemáticaI Gestão ESTG/IPB Departamento de Matemática 28
Cap. Funções Reais de variável Real MatemáticaI Gestão ESTG/IPB Departamento de Matemática 8. Conjuntos de Números,,3 Números Naturais,,, 0,,, Números Inteiros a : a, b, b 0 Números Racionais b Irracionais
Leia maisÁlgebra Linear e Geometria Analítica
Instituto Politécnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia Departamento: Matemática Álgebra Linear e Geometria Analítica Curso: Engenharia Electrotécnica Ano: 1 o Semestre: 1 o Ano Lectivo: 007/008 Ficha
Leia maisFunções monótonas. Pré-Cálculo. Atividade. Funções crescentes. Parte 3. Definição
Pré-Cálculo Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções monótonas Parte 3 Funções crescentes Pré-Cálculo 1 Atividade Pré-Cálculo 2 Dizemos que uma função f : D C é crescente
Leia maisExercício- teste 1. Matemática II 2 o Semestre de 2009/2010. a) Provar que n (2i 1) = n 2
o Semestre de 009/00 Eercício- teste a) Provar que n (i ) = n i= Usamos indução em n para provar que a fórmula acima é correcta n= n = Claramente temos que (i ) = () = = Hipótese Indutiva j N, onde j n,
Leia maisNotas Sobre Sequências e Séries Alexandre Fernandes
Notas Sobre Sequências e Séries 2015 Alexandre Fernandes Limite de seqüências Definição. Uma seq. (s n ) converge para a R, ou a R é limite de (s n ), se para cada ɛ > 0 existe n 0 N tal que s n a < ɛ
Leia maisMetas/ Objetivos Conceitos/ Conteúdos Aulas Previstas
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática A (11º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS... 1º Período (13 de setembro a 15 de dezembro) Metas/ Objetivos Conceitos/ Conteúdos Aulas Previstas
Leia mais3.1 Limite & Continuidade
3. FUNÇÕES CONTÍNUAS ANÁLISE NO CORPO R - 2018.1 3.1 Limite & Continuidade 1. Mostre que a função valor absoluto f (x) = jxj é contínua em qualquer ponto x 2 R: 2. A função de Dirichlet ' : R! R é de nida
Leia maisMetas/ Objetivos Conceitos/ Conteúdos Aulas Previstas
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática A (11º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS... 1º Período (15 de setembro a 16 de dezembro) Metas/ Objetivos Conceitos/ Conteúdos Aulas Previstas
Leia maisINSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-0 Cálculo Diferencial e Integral I (Instituto de Física Primeira Lista de Eercícios - Professor: Aleandre Lymberopoulos. Calcule, quando
Leia maisOs apontamentos Luís V. Pessoa, Problemas em Cáculo Diferencial e Integral I (CDI I),
Os apontamentos Luís V. Pessoa, Problemas em Cáculo Diferencial e Integral I (CDI I), DMIST, 006 serviram de apoio pedagógico, aos alunos inscritos em algum dos cursos de Cálculo Diferencial e Integral
Leia maisCÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I LMAC, MEBIOM, MEFT 1 o SEM. 2010/11 3 a FICHA DE EXERCÍCIOS
Instituto Superior Técnico Departamento e Matemática Secção e Álgebra e Análise CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I LMAC, MEBIOM, MEFT o SEM. / 3 a FICHA DE EXERCÍCIOS Primitivação é a operação inversa a
Leia maisMetas/Objetivos/Domínios Conteúdos/Conceitos Número de Aulas
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA DISCIPLINA: MATEMÁTICA A ANO:11.º Planificação (Conteúdos)... Período Letivo: 1.º Metas/Objetivos/Domínios Conteúdos/Conceitos Número de Aulas Trigonometria e Funções
Leia mais1 Capítulo 4 Comp m l p e l me m ntos de d Funçõ ç es
Capítulo 4 Complementos de Funções SUMÁRIO Estrutura e cardinalidade em R Topologia Limites e continuidade de unções num ponto pela deinição (vizinhanças Teorema de Bolzano e Teorema de Weierstrass Teorema
Leia maisAnálise Matemática I
Análise Matemática I o Semestre de 00/0 LEC e LET Resumo da matéria Resultados do texto [] I Números reais. Admitimos a existência de um conjunto R (a cujos elementos chamamos números reais) no qual supomos
Leia maisSucessões. Limites de sucessões O essencial
Sucessões Limites de sucessões O essencial Limite de uma sucessão Dada uma sucessão (u n ), um número real l designa-se por limite da sucessão (u n ) ou limite de u n quando n tende para + quando, para
Leia maisTeste de Aferição de Competências
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO Departamento de Ciências da Saúde, Ambiente e Tecnologias Teste de Aferição de Competências Matemática Escola Superior de Tecnologias e Gestão Praia Tlf. +38 6 96 50 Fa: +38 6
Leia mais1, se t Q 0, se t R\Q
3.1 Mostre que a função valor absoluto f (x) = x é contínua em qualquer ponto x R. 3.2 Mostre que a função de Dirichlet ϕ : R R dada por: 1, se t Q ϕ (t) = 0, se t R\Q é descontínua em qualquer ponto t
Leia maisBANCO DE QUESTÕES MATEMÁTICA A 12. O ANO
BANCO DE QUESTÕES MATEMÁTICA A. O ANO DOMÍNIO: Funções reais de variável real. Seja g a função, de domínio,, representada graficamente na figura ao lado, e seja u a sucessão definida por. n Qual é o valor
Leia maisFichas de recuperação
Fichas de recuperação Ficha de recuperação Ficha de recuperação Ficha de recuperação 6 Ficha de recuperação 4 8 Ficha de recuperação 5 Soluções das Fichas de recuperação 5 Ficha de recuperação NOME: N.
Leia maisFichas de Análise Matemática III
Fichas de Análise Matemática III Fernando Lobo Pereira, João Borges de Sousa Depto de Engenharia Electrotécnica e de Computadores Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Instituto de Sistemas
Leia maisResolução dos Exercícios Propostos no Livro
Resolução dos Eercícios Propostos no Livro Eercício : Considere agora uma função f cujo gráfico é dado por y 0 O que ocorre com f() quando se aproima de por valores maiores que? E quando se aproima de
Leia mais