Instituto Superior Técnico - 1 o Semestre 2006/2007 Cálculo Diferencial e Integral I LEA-pB, LEM-pB, LEN-pB, LEAN, MEAer e MEMec

Transcrição

1 Instituto Superior Técnico - o Semestre 006/007 Cálculo Diferencial e Integral I LEA-pB, LEM-pB, LEN-pB, LEAN, MEAer e MEMec a Ficha de eercícios para as aulas práticas 3-4 Novembro de 006. Determine os pontos onde a função f R! R de nida por tem máimos ou mínimos locais.. Determine os pontos onde a função f R! R de nida por de in eão Escreva cada uma das seguintes funções como soma de potências de +. (i) (ii) Estabeleça o desenvolvimento binomial ( + ) n = + n + ( n ) + + n p p + + n = = ( n 0) + ( n ) + ( n ) + + n p p + + ( n n) n = 4 tem pontos nx ( n k) k, com ( n k ) = n! (n k)!k! (combinações de n elementos k a k), usando a fórmula de Taylor. 5. (i) Determine o polinómio de Taylor P de ordem relativamente à função log (cos ) e ao ponto 0 = 0. (ii) Indique um majorante para o erro que se comete ao aproimar f pelo polinómio P (determinado na alínea anterior) no intervalo ; Como se pode obter sen (0 o ) com erro inferior a 0 4 usando a fórmula de Taylor? 7. Determine um polinómio que aproime a função sen no intervalo [ ; ] com um erro inferior a Seja f R! R duas vezes diferenciável em R, tal que f 0 (0) = 0 e f 00 () > 0 para todo o R. Seja ' R! R de nida por ' () = f (sen ). (i) Determine os etremos locais de '. (ii) O que pode dizer sobre o número de soluções da equação ' 00 () = 0? 9. Seja f R! R duas vezes diferenciável em R, tal que f 0 é estritamente crescente em R e lim f 0 () =, lim f 0 () = +.!!+ (i) Mostre que eiste um único c R tal que f 0 (c) = 0, e que f (c) é o mínimo absoluto de f. (ii) Sendo m esse mínimo absoluto, seja b ]m; +[. Veri que que o conjunto tem eactamente dois elementos. f (b) = f R bg k=0

2 0. Seja f [0; +[! R diferenciável em ]0; +[ tal que lim f 0 () = b R,!+ lim a R.!+ Mostre que b = 0.. Seja f [0; ]! R contínua em [0; ], diferenciável em ]0; [ e tal que f (0) = 0, f () = e f () =. (i) Mostre que eiste c ]0; [ tal que f 0 (c ) =. (ii) Mostre que eiste c ]; [ tal que f 0 (c ) = 0. (iii) Mostre que eiste c ]0; [ tal que f 0 (c) = 5.. Considere as funções f; g R! R de nidas por < log se 6= 0, 0 se = 0, g () = lim + n (i) Estude f e g quanto à continuidade. (ii) Justi que que, qualquer que seja a > 0, ambas as funções f e g têm máimo e mínimo no intervalo [ a; a]. 3. Sejam a; b R. Considere a função f R! R de nida por < a sen + se 0, log + b se > 0. (i) Determine a e b de modo a que f seja diferenciável no ponto = 0. (ii) Para b = determine os valores de a para os quais f não tem etremo no ponto 0. Justi que. 4. Mostre que se tem e para qualquer [0; ]. + 6, 5. Seja f R! R três vezes diferenciável em R e tal que f 000 () > 0, para todo o R. (i) Mostre que f não pode ter mais de dois pontos de etremo local. (ii) Se f tiver etremos locais nos pontos ; R, com <, diga se f () e f () são máimos ou mínimos locais de f. Justi que. (iii) Mostre que f () > f (), se >.

3 6. Seja R. Seja f R! R a função diferenciável em 0 e de nida por < e se 0, arctg () se < 0. (i) Determine. (ii) Calcule lim f () e lim f ().!+! (iii) Estude f quanto à diferenciabilidade e determine a sua função derivada f 0. (iv) Determine os intervalos de monotonia e os etremos locais (se eistirem) de f. (v) Estude f quanto à eistência de assímptotas. (vi) Determine o contradomínio de f. 7. Seja f R! R de nida por >< log se > 0, > e se 0. e (i) Estude f quanto à continuidade e quanto à diferenciabilidade, e determine a sua função derivada f 0. (ii) Determine os intervalos de monotonia e os etremos locais (se eistirem) de f. (iii) Estude f quanto à eistência de assímptotas. (iv) Determine o contradomínio de f.. Sejam k ; k R. Seja f R! R de nida por >< k sh se < 0, > k + arctg se 0. Determine k e k de modo a que f que contínua e diferenciável em R, e mostre que, com esses valores, a função f não tem etremos locais. 9. Seja f ] ; +[! R de nida por < log p se ] ; 0], e se ]0; +[. (i) Estude f quanto à continuidade e calcule lim! +f () e lim f ().!+ (ii) Determine o domínio de diferenciabilidade de f e a função derivada f 0. 3

4 (iii) Determine os intervalos de monotonia e os etremos locais (se eistirem) de f. (iv) Determine, se eistirem, as assímptotas ao grá co de f. (v) Determine f 00. (vi) Determine o contradomínio de f. (vii) Determine as in eões e o sentido das concavidades do grá co de f. (viii) Esboce o grá co de f. 0. Seja f R! R de nida por >< > e ch + se < 0, se 0. (i) Mostre que f é contínua em R. (ii) Determine f 0. (iii) A função f tem etremos locais em R +? (iv) Escreva o polinómio de Taylor de a ordem da função f relativo ao ponto. (v) Indique um majorante para o erro que se comete ao aproimar f pelo polinómio P (determinado na alínea anterior) no intervalo ; 3.. Seja f R! R de nida por ( ) 4 sen. (i) Mostre que é ponto de estacionaridade de f, isto é, f 0 () = 0, e recorra à fórmula de Taylor de f para determinar a sua natureza (máimo, mínimo, ou ponto de in eão). (ii) Escreva a fórmula de Taylor de ordem 0 da função sen relativa ao ponto, e aproveite para resolver o problema da alínea anterior de maneira alternativa.. Seja f R! R de nida por >< 4 sen se 6= 0, > 0 se = 0. (i) Mostre que f não tem etremo local em 0. (ii) Determine f 0. (iii) Determine f 00. (iv) Mostre que f não tem um ponto de in eão em Calcule os seguintes limites. () lim!+ =4 sen p () lim!0 cos 4 cos (3) lim!0 e cos sen esen (4) lim!0 3 4

5 sen log ( + ) (5) lim (6) lim!0 q( + sen ) 3!0 sen (7) lim!0 + log sen sh () lim!0 ch cos (9) lim!0 e (3) lim!0 (7) lim!+ 3!+ e (0) lim!0 e () lim + log ( cos ) + log sen (4) lim (5) lim!+ log!0 tg cos () lim!+ log ( + e3 ) log (0) lim () lim!+ e log =!+ + arctg cos (4) lim!+arcsen (5) lim cos!0 sen tg () lim!0 + com a R. (9) lim!0 + log e log () lim!0 + log + (6) lim!0 sen (30) lim log log!+ (3) lim!0 + log tg (a) log tg (b), com a; b R+. (33) lim!+ a b sen (34) lim, com a; b R +. (35) lim!0!0 + sen a arctg b arctg (37) lim, com a; b R +. (3) lim!0!0 (4) lim (4) lim (43) lim!+! (46) lim n sen n (47) lim (50) lim! tg 4 (54) lim!+ (5) lim (log )= (59)!+ sen n n sen (5) lim!0 (55) lim!0 + (6) lim!0 (ch ) cotgh (63) lim!0!+ () lim!0 +3 log (6) lim!0 arcsen arcsen 3 (9) lim! log log log a = + b =, com a; b R +. e (44) lim sh sen (3) lim!0 3 sen + cos e (7) lim!0 log ( + ) p p p a + a (3) lim p,!a a (36) lim!+ log e + (e ) e + (39) lim! e!0 + (4) lim (tg )sen (49) lim!0 +! = (56) lim!0 + (5) lim ( + ) =!0 arctg ) ) lim (60) lim (6) lim!0 +(!0 +( ( ) sen (64) lim!a (40) lim!+ log (45) lim! +log 4 tg (tg ) (53) lim!0 + log (57) lim!0 +=!0 + e log tg a, com a Rn f0g. a 4. Faça um estudo tão completo quanto possível das seguintes funções, tendo em conta os seguintes aspectos. (i) Continuidade. (ii) Diferenciabilidade. Cálculo da função derivada. (iii) Intervalos de monotonia e etremos locais. 5

6 (iv) Assímptotas. (v) Contradomínio. (vi) Cálculo da derivada de a ordem. (vii) In eões e sentido das concavidades do grá co de f. (viii) Esboço do grá co de f. () sen () ( 4) (3) ( 6) (4) sen (5) arctg r (6) 3 + (7) 3 () (9) (0) e = () 4 ( ) ( 3) + () j 5 + 6j (3) + (4) + (7) 3 + () jj jj (9) (0) + + jj + jj (5) p ( ) (6) e jj jj (3) e =( ) (4) e (5) ( ) e (6) e = (7) jj e () e j j (9) e log (30) log (3) log jj log jj log jj (36) + log log jj + log jj (3) () e () e + log (33) (34) (35) (37) log contínua em 0. (3) log contínua em 0. (39) + arctg (40) arctg (4) arctg + + e + e (4) arctg j j (43) arctg (44) arctg e e + (45) arctg se 6= 0, f (0) = 0. (46) e j j (47) e j+j (4) e (49) + log jj (50) jj e j j (5) arctg log p + 6