UFPR ª Fase. Matemática. Página Considere as funções f(x) = x 1 e g(x) = 2/3 (x 1)(x 2)

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Washington Caminha da Costa
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1 Página UFPR 0 ª Fase Matemática 0 - Considere as funções f() = e g() = / ( )( ) y 0 a) Esoce o gráfico de f() e g() no sistema cartesiano ao lado. ) Calcule as coordenadas (,y) dos pontos de interseção dos gráficos de f() e g(). Os pontos de interseção das funções f e g são as soluções do sistema aaio: y () y ( )( ) () Assim, ( )( ) 4 ( ) = 0 9 = 0 Aplicando a fórmula de Báskara teremos para raízes = e = 7/, que sustituindo na equação () dá: Para =, y = 0 e para = 7/, y = 5/ Portanto as interseções de f e g são os pontos I(; 0) e I (7/; 5/) 0 - Uma caia contém 7 lápis azuis, 5 vermelhos e 9 amarelos. Saendo que a caia contém somente esses lápis, responda: a) Qual o número mínimo de lápis que devemos retirar (sem olhar a cor) para que estejamos certos de haver retirado 4 lápis de uma mesma cor? Justifique sua resposta. Pelo princípio da casa dos pomos, o número mínimo de lápis que se deve retirar da caia para que se tenha a certeza de ter retirado 4 lápis da mesma cor é 0, pois na pior das hipóteses, ao retirar 9 lápis teriam saído três lápis azuis, vermelhos, amarelos. Assim, o 0º lápis retirado representaria o 4º lápis de uma das três cores disponíveis. Curso Dom Bosco Coertura Vestiular 0

Os pontos de interseção das funções f e g são as soluções do sistema aaio: y () y ( )( ) () Assim, ( )( ) 4 ( ) 0 0 6 + 4 + = 0 9 = 0 Aplicando a fórmula de Báskara teremos para raízes = e = 7/, que

2 Página UFPR 0 ª Fase ) Se retirarmos ao acaso lápis dessa caia (sem olhar a cor), qual é a proailidade de que todos sejam da cor amarela? Seja (P) a proailidade de se retirar lápis dessa caia e os mesmos serem da cor amarela. Assim, tem-se: P!.0.9! 6 P Numa epedição arqueológica em usca de artefatos indígenas, um arqueólogo e seu assistente encontraram um úmero, um dos ossos do raço humano. Sae-se que o comprimento desse osso permite calcular a altura aproimada de uma pessoa por meio de uma função do primeiro grau. a) Determine essa função do primeiro grau, saendo que o úmero do arqueólogo media 40 cm e sua altura era,90 m, e o úmero de seu assistente media 0 cm e sua altura era,60 m. comprimento do úmero y altura da pessoa função do º grau y = a + Sae-se que: 40 cm y 90 cm para e por tanto: 0 cm y 60 cm 40a 0a 40a 0a ( 60 ) 0a = 0 a = e = 70 Portanto a função pedida é dada através da sentença y = + 70 ) Se o úmero encontrado no sítio arqueológico media cm, qual era a altura aproimada do indivíduo que possuía esse osso? Já saermos através do item anterior, que a altura (y) do individuo em função do comprimento () de seu úmero é dada pela epressão y = Assim, para um úmero com = cm de comprimento a altura será dada por: y = = 66 cm o que corresponde a um individuo com altura de metro e sessenta e seis centímetros Calcule a área do quadrilátero P P P P 4, cujas coordenadas cartesianas são dadas na figura ao lado. A área do quadrilátero pode ser calculada pela diferença entre a área do retângulo OABC e dos triângulos retângulos OPP, APP, BPP4 e CPP4. Assim, tem-se: SPPPP4 = Outra opção : Por geometria analítica tem-se: SPPPP4 = SPPPP4 = SPPPP4 = = u.a Curso Dom Bosco Coertura Vestiular 0

8.7 P!.0.9! 6 P 95 0 - Numa epedição arqueológica em usca de artefatos indígenas, um arqueólogo e seu assistente encontraram um úmero, um dos ossos do raço humano.

3 Página UFPR 0 ª Fase 05 - A tela de uma TV está no formato widescreen, no qual a largura e a altura estão na proporção de 6 para 9. Saendo que a diagonal dessa tela mede 7 polegadas, qual é sua largura e a sua altura, em centímetros? (Para simplificar os cálculos, use as aproimações 7 8,5 e polegada,5cm) Considere a figura sendo a largura e a altura proporcionais a 6 e 9 respectivamente: D C 9 A 6 B A medida da diagonal é de 7 polegadas o que equivale a 7.,5 = 9,5 cm Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC tem-se: A largura corresponde a 6. = 6.5 = 80 cm A altura corresponde a 9. = 9.5 = 45 cm 06 - Um grupo de cientistas decidiu utilizar o seguinte modelo logístico, astante conhecido por matemáticos e iólogos, para estimar o número de pássaros, P(t), de determinada espécie numa área de proteção amiental: P(t) =, sendo t o tempo em anos e t = 0 o momento em que o estudo foi iniciado. t a) Em quanto tempo a população chegará a 400 indivíduos? P (t) t queremos determinar t, quando P(t) = 400 Assim: t 400 t 400 -t = t = 4 t = 4 anos t - t = - ) À medida que o tempo t aumenta, o número de pássaros dessa espécie se aproima de qual valor? Justifique sua resposta. À medida que o tempo aumenta, o número de pássaros se aproima de, pois quanto maior o valor de t tão mais próimo de zero está o valor da epressão -t e assim tão mais próimo de está o valor do denominador + -t e por conseguinte o valor da fração t se aproima de. Matematicamente demonstra-se isto, calculando lim t t 0 Curso Dom Bosco Coertura Vestiular 0

(Para simplificar os cálculos, use as aproimações 7 8,5 e polegada,5cm) Considere a figura sendo a largura e a altura proporcionais a 6 e 9 respectivamente: D C 9 A 6 B A medida da diagonal é de 7

4 Página4 UFPR 0 ª Fase 07 - Num laoratório há dois tipos de recipientes, conforme a figura ao lado. O primeiro, chamado de tuo de ensaio, possui internamente o formato de um cilindro circular reto e fundo semiesférico. O segundo, chamado de cone de Imhoff, possui internamente o formato de um cone circular reto. a) Saendo que o volume de um cone de Imhoff, com raio da ase igual a cm, é de 60 ml, calcule a altura h desse cone. O volume do cone é de 60 ml, o qual equivale a 60 cm, assim, tem-se: ) Calcule o volume (em mililitros) do tuo de ensaio com raio da ase medindo cm e que possui a mesma altura h do cone de Imhoff. O tuo de ensaio é composto por um cilindro e uma semiesfera, amos com raio cm. Assim seu volume é dado por : Vci = 08 - Suponha que, durante um certo período do ano, a temperatura T, em graus Celsius, na superfície de um lago possa ser descrita pela função F(t) = - 4 cos t, sendo t o tempo em horas medido a partir das 06h00 da manhã. a) Qual a variação de temperatura num período de 4 horas? Curso Dom Bosco Coertura Vestiular 0

O segundo, chamado de cone de Imhoff, possui internamente o formato de um cone circular reto.

5 Página5 UFPR 0 ª Fase Considerando a função F( t) 4cos t, e o tempo iniciando sua variação as 06 horas da manhã. Temos que a menor temperatura se dará quando cos t, logo 4 t t horas, e F (4) 4 cos 4 4 cos 4. F(4) 7º C A maior temperatura se dará quando cos t, logo t t horas. F () 4 cos 4 cos 4.( ) F() 4 F() 5º C Assim a variação de temperatura será: F() F(4) 5 7 8º C ) A que horas do dia a temperatura atingirá ºC? Admita t = 0 o tempo correspondente a 06h00 da manhã e 0 t 4. Para que F(t) =, deve-se ter: 4 cos t = t cos t n. ; n Z Assim, otemos: t = n ; n Z Atriuindo-se valores inteiros para (N) vem: Se n = 0 t = 8 ou t = -8 (não convém) Se n = t = 6 ou t = (não convém) Desta forma, a temperatura da superfície do lago atingirá C às 4h00 (t = 8) e às h00 (t = 6) 09 - Uma quantia inicial de R$.000,00 foi investida em uma aplicação financeira que rende juros de 6%, compostos anualmente. Qual é, aproimadamente, o tempo necessário para que essa quantia dore? (Use log (,06) 0,084. ) À soma do capital aplicado com os juros otidos, dá-se o nome de montante, que é calculado através da epressão M = C.( + i) t, sendo C o capital aplicado, i a taa da aplicação (em número decimal) e t o tempo, no caso em anos. Sae-se do enunciado que: C = 000, i = 0,06 e M = 000 (queremos que o capital empregado dore de valor). Assim: 000 = 000.( + 0,06) t 000 ( + 0,06)t = 000 (,06) t = Equação eponencial, onde não é possível igualar as ases e, portanto aplicamos a propriedade: Se A = B logaa = logab log(,06) t = log t.log(,06) = Curso Dom Bosco Coertura Vestiular 0

( ) F() 4 F() 5º C Assim a variação de temperatura será: F() F(4) 5 7 8º C ) A que horas do dia a temperatura atingirá ºC? Admita t = 0 o tempo correspondente a 06h00 da manhã e 0 t 4.

6 Página6 UFPR 0 ª Fase t. 0,084 = 000 t = = = =,9 anos 0, t = anos e meses 0 - Considere o polinômio p() = 4 Calcule as raízes de p(). Justifique sua resposta, deiando claro se utilizou propriedades de determinantes ou algum método para oter as raízes do polinômio. Como o determinante deve ser igual a zero, a primeira linha deve ser igual a segunda, assim temos o det = 0 e = 4. Considerando que o determinante representa o polinômio P(), resolvemos o determinante pela regra de Sarrus e encontramos P() = = 0. Saendo uma das raízes podemos usar o dispositivo prático de Briot-Ruffini para aiar o grau da equação: Temos um polinômio de grau : 9 =0, cujas raízes são: = e = -, completando assim as três raízes reais desse polinômio P(). S = {(-,, 4)} Curso Dom Bosco Coertura Vestiular 0

Como o determinante deve ser igual a zero, a primeira linha deve ser igual a segunda, assim temos o det = 0 e = 4.

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