Álgebra Linear I. Resumo e Exercícios P3

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1 Álgebra Linear I Resumo e Exercícios P3

2 Fórmulas e Resuminho Teórico Espaço Vetorial Qualquer conjunto V com 2 operações: Soma e Produto escalar, tal que 1. u + v + w = u + v + w u, v, w V 2. u + v = v + u tal que, u + v = 0 + * 4. V, u V tal que u + u = 0 + * 5. λ μv = λμ v, λ, μ R 6. λ + μ v = λv + μv 7. λ u + v = λu + λv * Importante para identificar espaços Subespaço Qualquer conjunto W dentro de um espaço V, tal que W 2. w 3, w 4 W, w 3 + w 4 W 3. λ R, w W, λw W Obs: W também é um espaço vetorial, seguindo as operações de V Combinação Linear v = au 3 + bu zu 9, com a, b,, z R 1

3 Dependência Linear Conjunto S = {v 3, v 4, v 9 } é Linearmente dependente, se houver qualquer combinação linear dentro Linearmente independente, se não houver Regra prática para saber se vetores são LD 1. Colocar as coordenadas nas linhas de uma matriz 2. Escalonar 3. Se uma linha zerar é LD (caso escalonar perfeito, é LI) v 3 v 4 v A a b c 0 d e ó v 3, v 4, v A é LD Base Subconjunto de V, tal que B = v 3, v 4,, v 9 1. B = V (Combinações de B geram todo o espaço V) 2. B é LI Coordenadas v = (x, y, z, ) K ó v = xv 3 + yv 4 + zv A + v 3 + v 4 = (x 3 + x 4, y 3 + y 4, z 3 + z 4, ) K αv = (αx, αy, αz, ) K Dimensão dim V = #vetores da base 2

4 Geradores e LI Dado dim V = n, um subconjunto de V com m elementos pode ser LI, se m n Base (LI + Gerador), se m = n Gerador, se m n V Bases (n) LI ( n) Gerador n Teorema do Completamento Todo subconjunto LI de V pode ser aumentado até uma Base Obs: Todo subconjunto gerador de V pode ser diminuido até uma Base Dimensão do Subespaço Caso o subespaço for apresentado como: S = v 3, v 4, v W (S gerado pelo conjunto) v 3 a b c v 4 escalonar 0 d e ó dim V = #pivôs (#vetores LI) v W S = x 3, x 4,, x W R 9 : A X = 0 (S dado em coordenadas que seguem as equações AX = 0) a b c A escalonar 0 d e ó dim V = n #pivôs (#variáveis livres) 3

5 Interseção de Subespaços S 3 S 4 = v S 3 e v S 4 Método mais fácil para encontrar gerador da interseção: S 3 = x 3, x 4,, x W R 9 : A 3 X = 0 S 4 = x 3, x 4,, x W R 9 : A 4 X = 0 S 3 S 4 = x 3, x 4,, x W R 9 : A 3 X = 0 e A 4 X = 0 (Unir as equações que formam cada subespaço) Soma de Subespaços S 3 + S 4 = v S 3 + S 4 : v = u + v, com u S 3 e v S 4 (União com soma) Método mais fácil para encontrar gerador da soma: S 3 = v 3, v 4, v` S 4 = u 3, u 4, u W S 3 + S 4 = v 3, v 4, v`, u 3, u 4, u W (Unir os vetores geradores de cada subespaço) Teorema das dimensões dim S 3 + S 4 = dim S 3 + dim S 4 dim (S 3 S 4 ) Soma direta dim S 3 S 4 = dim S 3 + dim S 4 (dim S 3 S 4 = 0) 4

6 Espaços Vetoriais comuns R 9 = (a 3, a 4, a A,, a 9 ), Base canônica: 1,0,,0, 0,1,,0,, 0,0,,1 Vetor nulo: 0 + = (0,0,,0) M` 9 R = a 33 a 39 a`3 a`9 Base canônica: 1 0,, 0 1,, 1 0,, 0 1 Vetor nulo: 0 + = P 9 R = a h + a 3 t + + a 9 t 9 Base canônica: 1, t, t 4,, t 9 Vetor nulo: 0 + = 0 5

7 Exercícios 1. Espaço Vetorial Prova 0 P Álgebra Linear para Engenharia I, exercício 10 Assinale a alternativa em que o conjunto S não é um subespaço do espaço vetorial V: A. V = P R e S = p V p 1 = 0 e p j 3 = 0 B. V = M A R e S = A V A + A l = 0, onde A l denota a transposta da matriz A C. V = R³ e S = x, y, z R A : x 4 + y 4 = 0 D. V = M 4 R e S = A V det A = 0 E. V é o espaço vetorial das funções f: R R que são deriváveis e S é o subconjunto de V formado pelas funções f V tais que vale a igualdade e r f j x + f x = 0, para todo x R 6

8 2. Dependência Linear Prova 0 P Álgebra Linear para Engenharia I, exercício 16 Considere o espaço vetorial V = x, y R 4 x > 0 e y > 0 munido das operações de soma e multiplicação por escalar definidas por: x 3, y 3 x 4, y 4 = x 3 x 4, y 3 y 4, x 3, y 3, x 4, y 4 V λ x, y = x u, y u, Assinale a alternativa correta: A. x, y V y = 2x é um subespaço de V λ R, x, y V B. Os vetores 1,2 e 1,8 são linearmente independentes em V C. x, y V y = x 4 é um subespaço de V D. O vetor 6,2 pertence ao subespaço de V gerado pelos vetores 2,1 e 4,1 E. Dados a, b, c, d V, vale que os vetores a, b e c, d são linearmente dependentes em V se, e somente se, o determinante da matriz a b c d é igual a 1 3. Bases e Dimensão Prova 0 P Álgebra Linear para Engenharia I, exercício 9 Seja a R e considere o subconjunto B = a + t, 1 + t + t 4, t + t 4 + t A, t 4 + at³ do espaço vetorial P A R. Temos que B é uma base de P A R se, e somente, se: A. a 3 4 B. a = 1 C. a 1 D. a = 3 4 E. a 1 7

9 4. Dimensão de Subespaço Prova 0 P Álgebra Linear para Engenharia I, exercício 11 Seja S R ~ o conjunto das soluções (x 3, x 4, x A, x ~ ) do sistema linear homogêneo: x 3 + 2x 4 + 3x A + 4x ~ = 0 2x 3 + x 4 + 4x A + 3x ~ = 0 3x 3 + x 4 + 5x A + x ~ = 0 x 3 2x 4 4x ~ = 0 Pode-se afirmar que: A. S 3,1, 1,0, 3,0, 3,1, 0,3,1, 1 e S é um subespaço de R ~ com dimensão igual a 2 B. S 0,3,1, 1, 3,1,0,1 e S é um subespaço de R ~ com dimensão igual a 1 C. S 0,3,1, 1, 3,1,0,1, 3,1, 1,0 e S é um subespaço de R ~ com dimensão igual a 2 D. S 3,1, 1,0, 3,0, 3,1 e S é um subespaço de R ~ com dimensão igual a 1 E. S não é um subespaço de R ~ 5. Relações entre subespaços Prova 0 P Álgebra Linear para Engenharia I, exercício 6 Considere o subespaço S de R definido por: S = { x, y, z, t, w R x + y z t w = 0 e 2x + z + t + w = 0} Assinale a alternativa correspondente a uma base de S: A. 1,3,2,0,0, 1,3,0,2,0, 1,3,0,0,2 B. 1,3,1,1,0, 1,3,1,0,1 C. 1,3,2,0,0, 1,3,0,2,0, 1,3,1,1,0 D. 1,1, 1, 1, 1, 2,0,1,1,1 E. 1,3,2,0,0, 1,3,1,0,1, 1,3,0,0,2 8

10 6. Relações entre subespaços Prova 0 P Álgebra Linear para Engenharia I, exercício 2 Considere os subespaços S 3 e S 4 de R ~ definidos por: S 3 = 1,0, 1,0, 1,2,1,2, S 4 = 0,1,1,1, 1,0,0,1. Assinale a alternativa correta: A. dim S 3 + S 4 = 2 e dim S 3 S 4 = 2 B. dim S 3 + S 4 = 4 e dim S 3 S 4 = 1 C. dim S 3 + S 4 = 4 e dim S 3 S 4 = 0 D. dim S 3 + S 4 = 3 e dim S 3 S 4 = 1 E. dim S 3 + S 4 = 3 e dim S 3 S 4 = 0 9

11 Gabarito 1. D 2. C 3. A 4. D 5. A 6. D 10