Departamento de Matemática - UEL Ulysses Sodré. 1 Comparações entre sequências e funções reais 1

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1 Matemática Essencial Limites de Funções Reais Departamento de Matemática - UEL Ulysses Sodré Conteúdo Comparações entre sequências e funções reais 2 Limites 3 3 Limites laterais 4 4 Calculando ites 4 5 Limites Fundamentais 5 6 Regras para cálculos de ites de funções 7 7 Funções contínuas 8 Porque, se com a tua boca confessares a Jesus como Senhor, e em teu coração creres que Deus o ressuscitou dentre os mortos, serás salvo. A Bíblia Sagrada, Romanos 0: Arquivo: ites.tex - Londrina-PR,25 de Maio de 200.

2 Seção Comparações entre sequências e funções reais Comparações entre sequências e funções reais Vamos comparar alguns cálculos com ites entre funções de variáveis discretas e funções de variáveis contínuas.. Seja a sequência f (n) =, com imagem C = {,/2,/3,/4,...,/n,...}. n Quanto maiores são os valores de n, menores são os valores f (n) = n, assim, quando n tende a, o valor de f (n) = n escrevemos n n = 0 se aproxima de 0 e nós assim, quando n se aproxima de, o ite de f (n) = n é igual a 0. Figura : Gráficos das funções f (n) = n e f (x) = x 2. Seja a função de variável contínua f (x) = x definida para todo x > 0. Tomando valores de x cada vez maiores, os valores de f (x) = x se aproximam de 0, e escrevemos x x = 0 logo, quando x se aproxima de, o ite de f (x) = x é igual a 0.

3 Seção Comparações entre sequências e funções reais 2 3. Seja a sequência f (n) = 2, com imagem C = n {,/2,/4,/8,...,/2n,...}. Quanto maiores são os valores de n, menores são os valores de 2, n assim, quando n tende a, o valor de f (n) = se aproxima de 0 e 2n nós escrevemos n 2 = 0 n Figura 2: Gráficos das funções f (n) = e f (x) = 2n 2 x 4. Seja a função de variável contínua f (x) = definida para todo x R. 2x Tomando valores de x cada vez maiores, a expressão se aproxima 2x de 0, e escrevemos x 2 x = 0 assim, quando x tende a, o ite de f (x) = é igual a 0. 2x 5. Seja a sequência f (n) = n com imagem D = {/2,2/3,...,n/(n + ),...}. n + Quanto maiores os valores de n, mais próximos de estão os valores n n das frações. Assim, quando n tende a, f (n) = n + n + se aproxima de e escrevemos n n n + =

4 Seção 2 Limites 3 Figura 3: Gráficos das funções f (n) = n n + e f (x) = x x + 6. Seja agora uma função de variável contínua f (x) = x, definida para x + todo x > 0. Tomando valores de x cada vez maiores, os valores de f (x) = x se aproximam de, e escrevemos x + x x x + = logo, quando x se aproxima de, o ite de f = f (x) é igual a. 2 Limites. Seja f = f (x) uma função com domínio D R e um ponto a R, que pode estar no domínio D = Dom(f ) ou não. 2. Calcular o ite da função f = f (x) em um ponto x = a é estudar o quanto a função f = f (x) se aproxima de um valor L quando x D se aproxima de a. 3. Quando os valores de x são tomados cada vez mais próximos de a esperamos que os valores de f (x) fiquem mais próximos de um valor L muito bem definido (que não pode ser o infinito). 4. O que significa um número x estar próximo de outro número y? Basta definir a distância d = d(x, y) entre x e y e observar que quando esta distância é muito pequena, os objetos x e y devem estar próximos.

5 Seção 3 Limites laterais 4 5. Definição: Dizemos que o ite de f = f (x) é igual a L, quando x se aproxima de a, se para cada distância d L > 0 (na reta vertical), por menor que seja, existe uma pequena distância d > 0 (na reta horizontal) tal que se x a < d implica que f (x) L < d L. 6. Quando este ite existe, denotamos o mesmo por: f (x) = L isto é, tomando valores de x cada vez mais próximos de a, as imagens de f em cada x, produzem valores f (x) cada vez mais próximos de L. 3 Limites laterais. Para analisar se uma função possui ite em um ponto x = a, devemos estudar dois tipos de ites laterais: pela esquerda do ponto x = a e pela direita do ponto x = a. 2. Calculamos estes dois ites laterais, pois a função pode ter um comportamento quando os valores de x são menores do que a e outro comportamento quando os valores de x são maiores do que a. 3. Entendemos que x se aproxima a, quando a aproximação ocorre tanto pela esquerda como pela direita do ponto a. A aproximação pela direita ocorre quando x > a e pela esquerda ocorre quando x < a. 4. Uma função f = f (x) tem ite no ponto x = a, se f = f (x) tem ite pela direita de x = a, se f = f (x) tem ite pela esquerda de x = a e os dois ites laterais são iguais. 5. Se em um ponto x = a, uma função f = f (x) tem um ite lateral pela esquerda L e que é diferente do ite lateral pela direita L d, dizemos que a função não possui ite no ponto x = a. 4 Calculando ites. Para calcular ites de funções elementares em x = a, basta substituir a variável x pelo valor de a, usando os lemas e regras para calcular ites.

6 Seção 5 Limites Fundamentais 5 Exemplo: Se f (x) = x 2 + 4x + 2, então f (x) = [x 2 + 4x + 2] = [ (2) + 2] = 4 x 2 x 2 2. Para calcular ites de funções mais complexas, em um ponto x = a, devemos usar simplificações, propriedades matemáticas e regras para cálculos de ites, além de tomar cuidado com os ites laterais. 5 Limites Fundamentais. Existem alguns ites de funções reais difíceis de calcular, que são úteis nas ciências. Aqui estão alguns deles com os seus valores. sin(h) e (a) = h cos(h) (b) = (c) = h 0 h h 0 h h 0 h Exemplos: Limites laterais de funções. (a) Seja f (x) = { x 2 + se x 3 x se x > Figura 4: Função definida por duas partes coincidindo em x = (b) Para calcular o ite f (x), primeiro devemos calcular o ite pela esquerda (operar com a parte esquerda do gráfico) para obter f (x) = (x 2 + ) = 2

7 Seção 5 Limites Fundamentais 6 agora, devemos calcular o ite pela direita (operar com a parte direita do gráfico) para obter f (x) = (3 x) = Como em x =, os dois ites laterais são iguais a L = 2, e a função f = f (x) possui ite L = 2 no ponto x =. (c) Seja agora f (x) = { x se x 3 x se x > Figura 5: Função definida por duas partes coincidindo em x = (d) Para calcular o ite f (x), primeiro devemos calcular o ite pela esquerda (operar com a parte esquerda do gráfico) para obter f (x) = (x 2 + 5) = 6 agora, devemos calcular o ite pela direita (operar com a parte direita do gráfico) para obter + f (x) = + (3 x) = 2 Como em x = os ites laterais são diferentes, a função f = f (x) não possui ite no ponto x =.

8 Seção 6 Regras para cálculos de ites de funções 7 3. Exemplos especiais: A função real definida por (a) f (x) = 5 possui ites em todos os pontos x R. (b) f (x) = 3x + 5 possui ites em todos os pontos x R. (c) f (x) = 2x 2 + 4x 7 possui ites em todos os pontos x R. (d) f (x) = a x sendo (a > 0, a ) possui ites em todo x R. (e) f (x) = log b (x) sendo (b > 0,b ) possui ites para todo x > 0. (f) f (x) = 3sin(x) possui ites em todos os pontos x R. (g) f (x) = 2cos(x) possui ites em todos os pontos x R. (h) pedaços como x + se x > 0 f (x) = 0 se x = 0 x se x < 0 não possui ite no ponto x = 0. (i) pedaços como f (x) = possui ite no ponto x = 0. { 2x + se x > 0 x + se x 0 (j) f (x) = tan(x) não possui ites nos pontos x = π/2 e x = π/2. 4. Se p = p(x) e q = q(x) são funções polinomiais contínuas nos seus domínios, uma função racional é da forma f (x) = p(x)/q(x) se q(x) Nota: Possuem ites em todos os pontos dos seus domínios, as funções: polinomiais, racionais, trigonométricas sin(.) e cos(.), exponenciais a (.), logarítmicas log(.), radicais de funções que tem ites. 6 Regras para cálculos de ites de funções Se c R e existem os ites das funções f = f (x) e g = g (x) no ponto x = a, isto é, f (x) = A, e g (x) = B, então, valem as afirmações:. [f (x) + g (x)] = f (x) + g (x) = A + B 2. [c f (x)] = c f (x) = c.a

9 Seção 7 Funções contínuas 8 3. [f (x).g (x)] = f (x) g (x) = A.B 4. [f (x) g (x)] = f (x) g (x) = A B Exemplo: Se f (x) = x 2 + 5x + 6, g (x) = 3x +, c = 0 e a =, então [f (x) + g (x)] = [ f (x)] + [ g (x)] = [ x 2 + 5x + 6] + [ 3x + ] = = 6 [f (x) g (x)] = [ f (x)] [ g (x)] = [ x 2 + 5x + 6] [ 3x + ] = 2 4 = 8 c f (x)] = 0 x 2 + 5x + 6 = 0 2 = 20 [f (x) g (x)] = [ f (x)] [ g (x)] = [ x 2 + 5x + 6] [ 3x + ] = 2 4 = 48 [f (x) g (x)] = f (x) g (x) = [ x 2 + 5x + 6] [ 3x + ] = 2 4 = 3 7 Funções contínuas. Uma função f = f (x) é contínua em x = a, se a Dom(f ) e além disso f (x) = f (a) 2. Limite versus continuidade: Existe diferença entre, uma função ter ite no ponto x = a e ser contínua no ponto x = a. Para que f = f (x) seja contínua no ponto x = a, este ponto deve estar no domínio da função e além disso, o ite calculado deve ser exatamente L = f (a).

10 Seção 7 Funções contínuas 9 3. Este fato significa que todo o estudo anterior acerca de ites, pode ser quase que totalmente repetido aqui, mas deve ser dada atenção especial à observação sobre a diferença entre ite e continuidade. 4. Dizemos que a função f = f (x) é contínua em um intervalo I da reta, se f = f (x) é contínua em todos os pontos x I. 5. Nota: Um modo grosseiro de visualizar uma função contínua é quando o domínio é um intervalo e o seu gráfico é traçado sem interrupção. 6. Exemplos sobre continuidade: A função real definida por (a) f (x) = 5 é contínua em todos os pontos x R. (b) f (x) = 3x + 5 é contínua em todos os pontos x R. (c) f (x) = 2x 2 + 4x 7 é contínua em todos os pontos x R. (d) f (x) = 2e x é contínua em todos os pontos x R. (e) f (x) = 3sin(x) é contínua em todos os pontos x R. (f) f (x) = 2cos(x) é contínua em todos os pontos x R. (g) pedaços como x + se x > 0 f (x) = 0 se x = 0 x se x < 0 não é contínua no ponto x = 0, mas é contínua se x > 0 e se x < 0. (h) pedaços como f (x) = { 2x + se x > 0 x + se x 0 é contínua em todos os pontos x R. (i) f (x) = tan(x) é contínua no intervalo ( π/2, π/2). 7. Observação: Funções contínuas especiais são as: polinomiais, racionais, as trigonométricas sin(.) e cos(.), exponenciais a (.), logarítmicas log b (.), radicais de funções contínuas, nos seus domínios de definição. 8. Lema : Se uma função g = g (x) é contínua e f (x) = L, então g (f (x)) = g ( f (x) = g (L)

11 Seção 7 Funções contínuas 0 9. Exemplo: Sejam f (x) = 3x + e g (u) = u 7 funções contínuas em seus domínios. Assim, pelo Lema, (g f )(x) = (3x + ) 7 e temos que ( ) 7 (g f )(x) = (3x + ) 7 = (3x + ) = Lema 2: Se g = g (x) e f = f (x) são funções contínuas em seus domínios, e a composição g f está bem definida, então g f é contínua, e além disso, g (f (x)) = g ( f (x) = g (f (a)). Exemplo: Sejam f (x) = 3x + e g (u) = u funções contínuas em seus domínios. Assim, pelo Lema 2, (g f )(x) = 3x + e temos que (g f )(x) = 3x + = (3x + ) = 4 = 2 2. Duas identidades importantes: Para o próximo exercício: sin(x + h) sin(x)cos(h) + sin(h)cos(x) cos(x + h) cos(x)cos(h) sin(h)sin(x) Exercício: Para cada função dada, calcular o ite do quociente de Newton f (x + h) f (x). Dicas: () Desenvolver o numerador, (2) simplificar o h 0 h numerador, (3) simplificar a fração resultante e (4) calcular o ite.. f (x) = 3 2. f (x) = C constante 3. f (x) = 2x f (x) = ax + b 5. f (x) = 3x 2 + 7x f (x) = ax 2 + bx + c 7. f (x) = (x 2)(x 3) 8. f (x) = (x a)(x b) 9. f (x) = sin(x) 0. f (x) = 7sin(x). f (x) = cos(x) 2. f (x) = ( 4) cos(x) 3. f (x) = e x 4. f (x) = 3e x 5. f (x) = sin(x) + 2x 3 6. f (x) = 2 + 3x + 5e x 7. f (x) = ax 3 + bx 2 + d 8. f (x) = ax 4 + bx 2 + c