Limites de Funções. Bases Matemáticas. 2 o quadrimestre de o quadrimestre de / 57
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- Bianca Frade Penha
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1 2 o quadrimestre de o quadrimestre de /
2 Visão Geral 1 Limites Finitos Limite para x ± 2 Limites infinitos Limite no ponto Limite para x ± 3 Continuidade Definição e exemplos Resultados importantes 4 Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites Funções Compostas Propriedades Algébricas de Limites Finitos Teorema do Confronto Infinitésimos e Infinitos Propriedades Algébricas de Limites 2 o quadrimestre de /
3 Limites Finitos Limites Finitos 2 o quadrimestre de /
4 Limites Finitos Limite para x ± Limite para x ± Assíntotas horizontais Suponha que lim f (x) = L x ± Dizemos então que a reta y = L é uma assíntota horizontal de f (x). 2 o quadrimestre de /
5 Limites Finitos Limite para x ± Limite para x ± Exemplos A partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar: 1 1 lim x ± x = 0 2 lim x 2x = 0 3 lim x + 2 x = 0 4 lim x + arctan x = π 2 5 lim x arctan x = π 2 2 o quadrimestre de /
6 Limites infinitos Limite no ponto Limite para x a Assíntotas verticais Suponha que lim f (x) = ± x a Dizemos então que a reta x = a é uma assíntota vertical de f (x). 2 o quadrimestre de /
7 Limites infinitos Limite no ponto Limite para x a ± Assíntotas verticais Suponha que lim f (x) = ± x a ± Dizemos então que a reta x = a é uma assíntota vertical de f (x). 2 o quadrimestre de /
8 Limites infinitos Limite no ponto Limites laterais Exemplos 1 1 lim x 0 + x = lim x 0 x = 3 lim x 0 + log 2 x = 4 lim log x 0 + 1/2 x = + 5 lim tan x = + x π 2 6 lim tan x = x π o quadrimestre de /
9 Limites infinitos Limite no ponto Limite bilateral e limites laterais Proposição As afirmações abaixo são equivalentes: lim f (x) = + x a e lim f (x) = + = lim f (x) x a x a + 2 o quadrimestre de /
10 Limites infinitos Limite no ponto Limite bilateral e limites laterais Proposição As afirmações abaixo são equivalentes: lim f (x) = x a e lim f (x) = = lim f (x) x a x a + 2 o quadrimestre de /
11 Limites infinitos Limite para x ± Limite infinito para x ± Exemplos A partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar: 1 lim x ± x 2 = + 2 lim x + x 3 = + 3 lim x x 3 = 4 lim x + x n = + 5 lim x x n = +, se n é par 6 lim x x n =, se n é ímpar 2 o quadrimestre de /
12 Limites infinitos Limite para x ± Limite infinito para x ± Exemplos Ainda a partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar: 1 lim x + 2x = + 2 lim x 2 x = + 3 lim x + log 2 x = + 4 lim x + log 1/2 x = 2 o quadrimestre de /
13 Continuidade Continuidade 2 o quadrimestre de /
14 Continuidade Definição e exemplos Funções Contínuas Motivação Dependência contínua dos dados iniciais: "Pequenas" variações de x em torno de a, acarretam "pequenas" variações de f (x) em torno de f (a). 2 o quadrimestre de /
15 Continuidade Definição e exemplos Funções Contínuas Definição Dada uma função f (x), tome a Dom f. A função f é contínua em a se lim f (x) = f (a) x a 2 o quadrimestre de /
16 Continuidade Definição e exemplos Funções Contínuas Definição Assim, f é contínua em a se ɛ > 0 δ > 0 x a < δ f (x) f (a) < ɛ 2 o quadrimestre de /
17 Continuidade Definição e exemplos Funções Contínuas Definição Uma função é contínua se é contínua em cada ponto de seu domínio. 2 o quadrimestre de /
18 Continuidade Definição e exemplos Funções Contínuas Exemplos 1 f (x) = ax + b é contínua [Exercício] 2 f (x) = cos x é contínua [demonstração a seguir] 2 o quadrimestre de /
19 Continuidade Definição e exemplos Funções Contínuas Exemplo: cos x é contínua cos x cos a = 2 sen x + a 2 sen x a 2 x + a x a = 2 sen sen 2 2 sen u 1, u R cos x cos a 2 sen x a 2 sen u u u R (IMPORTANTE) x a cos x cos a 2 = x a 2 2 o quadrimestre de /
20 Continuidade Definição e exemplos Continuidade Funções clássicas são contínuas (em seus domínios) 1 funções polinomiais (constantes, afins, quadráticas etc) 2 funções racionais 3 funções polinomiais ou racionais envolvendo radicais 4 funções exponenciais e logarítmicas 5 funções trigonométricas e suas inversas 6 funções modulares 2 o quadrimestre de /
21 Continuidade Resultados importantes Resultados Importantes 2 o quadrimestre de /
22 Continuidade Resultados importantes Preservação do sinal Proposição Suponha f (x) contínua e f (a) > 0. Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x (a δ, a + δ). Informalmente: Se f é contínua e positiva em um ponto de seu domínio, f ainda é positiva em uma vizinhança desse ponto. 2 o quadrimestre de /
23 Continuidade Resultados importantes Preservação do sinal Proposição Suponha f (x) contínua e f (a) < 0. Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x (a δ, a + δ). Informalmente: Se f é contínua e negativa em um ponto de seu domínio, f ainda é negativa em uma vizinhança desse ponto. 2 o quadrimestre de /
24 Continuidade Resultados importantes Preservação do sinal Proposição - caso geral Suponha lim x a f (x) > 0. Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x (a δ, a + δ)\{a}. Informalmente: Se lim x a f (x) é positivo, f (x) é positiva em uma vizinhança de a (excluído o próprio a). 2 o quadrimestre de /
25 Continuidade Resultados importantes Preservação do sinal Proposição - caso geral Suponha lim x a f (x) < 0. Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x (a δ, a + δ)\{a}. Informalmente: Se lim x a f (x) é negativo, f (x) é negativa em uma vizinhança de a (excluído o próprio a). 2 o quadrimestre de /
26 Continuidade Resultados importantes Preservação do sinal Exemplo de uso da preservação do sinal Escreva a expressão abaixo sem o uso de módulo, para x suficientemente próximo de 4: x o quadrimestre de /
27 Continuidade Resultados importantes Preservação do sinal Exemplo de uso da preservação do sinal Escreva a expressão abaixo sem o uso de módulo, para x suficientemente próximo de 0: 1 2 sen2 x x 2 + cos2 x x 2 assumindo que sen 2 x lim x 0 x 2 = 1 2 o quadrimestre de /
28 Continuidade Resultados importantes Teorema do Valor Intermediário Teorema (TVI) Seja f (x) contínua e seja [a, b] Dom f, com f (a) f (b). Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}. Então, para todo y (m, M), existe c (a, b) tal que f (c) = y. Em outras palavras: Se f é contínua, u, v Im f e u < v, então [u, v] Im f. Informalmente: Se uma função contínua atinge dois valores distintos u < v, então atinge todos os valores entre u e v. 2 o quadrimestre de /
29 Continuidade Resultados importantes Teorema do Valor Intermediário Teorema (TVI) - caso particular Seja f (x) contínua e seja [a, b] Dom f. Se f (a).f (b) < 0, então existe c (a, b) tal que f (c) = 0. 2 o quadrimestre de /
30 Continuidade Resultados importantes Teorema do Valor Intermediário Exemplo de aplicação do TVI Mostre que o polinômio p(x) = x 4 + 3x possui ao menos uma raiz real. 2 o quadrimestre de /
31 Continuidade Resultados importantes Teorema do Valor Intermediário Exemplo de aplicação do TVI Todo polinômio de grau ímpar possui ao menos uma raiz real. 2 o quadrimestre de /
32 Continuidade Resultados importantes Teorema do Valor Intermediário Exemplo de aplicação do TVI Mostre que a equação cos x = x possui pelo menos uma solução no intervalo [0, π] 2 o quadrimestre de /
33 Continuidade Resultados importantes Teorema do Valor Intermediário Exemplo de aplicação do TVI Mostre que a equação 3 x = x possui pelo menos uma solução no intervalo [0, 2] 2 o quadrimestre de /
34 Continuidade Resultados importantes Continuidade da Inversa Proposição Seja f : [a, b] [c, d] contínua e estritamente crescente (decrescente). Então f é inversível, f 1 : [c, d] [a, b] é contínua e estritamente crescente (decrescente). 2 o quadrimestre de /
35 Cálculo de Limites Cálculo de Limites 2 o quadrimestre de /
36 Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites Cálculo direto via continuidade A expressão lim f (x) = f (a) x a pode ser usada para verificar se a função f é contínua em a, ou, caso já saibamos que f é contínua em a, para calcular lim f (x). x a 2 o quadrimestre de /
37 Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites Cálculo direto via continuidade Exemplos: 1 lim x 3 (x 3 2x 2 + 5x 4) = = = 20 2 lim x π sen x = sen π = 0 3 lim x π cos x = cos π = 1 4 lim x 3 2 x = 2 3 = 8 5 lim x 1 2 log 2 x = log = 1 6 lim arccos x = arccos 1 x 1 2 = π o quadrimestre de /
38 Cálculo de Limites Funções Compostas Funções Compostas Ideia intuitiva Calcular lim 9 sen x x π 6 Sabemos que lim sen x = 1 x π 2 6 e também que Podemos concluir que lim 9 x = 3. x 1 2 lim 9 sen x = 3? x π 6 Sim!!! 2 o quadrimestre de /
39 Cálculo de Limites Funções Compostas Funções Compostas Proposição 1 lim x a f (x) = b 2 g(x) é contínua em b Suponha que: Então lim (g f )(x) = g(b). x a 2 o quadrimestre de /
40 Cálculo de Limites Funções Compostas Funções Compostas Exemplos 1 lim x 2 cos(πx) = lim x 2π cos x = 1 2 lim ln(x 2 2x 2) = lim ln x = 0 x 3 x 1 3 lim 5x 4 = lim x = 4 x 4 x 16 4 lim x 4 arctan 5x 4 x = lim x 1 arctan x = π 4 2 o quadrimestre de /
41 Cálculo de Limites Funções Compostas Funções Compostas Corolário (Importante) Se f e g são funções contínuas, então g f é contínua. 2 o quadrimestre de /
42 Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos Propriedades Algébricas de Limites Finitos Notação No que se segue, usaremos lim x para denotar um dos tipos abaixo de limites: lim, lim x a x a +, lim x a, lim, x + lim. x 2 o quadrimestre de /
43 Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos Propriedades Algébricas de Limites Finitos Limites de funções e operações algébricas Sejam dadas duas funções f (x) e g(x) tais que lim f (x) = F e lim g(x) = G. x x 2 o quadrimestre de /
44 Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos Propriedades Algébricas de Limites Finitos Propriedades: 1 lim (f (x) + g(x)) = F + G x 2 lim (f (x) g(x)) = F G x 3 lim c f (x) = c F, onde c R x 4 lim f (x) g(x) = F G x 5 Se G 0, lim x f (x) g(x) = F G 2 o quadrimestre de /
45 Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos Propriedades Algébricas de Limites Finitos Exemplos ( ) 1 lim 2x 3 + cos(πx) x 2 log 4 x ( ) 2 lim 2 arcsen x + x 2 x 1 x+1 π 3 lim x + (2 x + arctan x) 2 o quadrimestre de /
46 Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos Propriedades Algébricas de Limites Finitos Corolário (Importante) Se f (x) e g(x) são contínuas, então também são contínuas (em seus domínios): f (x) + g(x) f (x) g(x) cf (x) f (x)g(x) f (x) g(x) 2 o quadrimestre de /
47 Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos Propriedades Algébricas de Limites Finitos Observação Quanto ao limite Denotando f (x) lim x g(x) lim f (x) = F e lim g(x) = G. x x 1 Caso G = 0 e F = 0: Indeterminação 2 Caso G = 0 e F 0: não há indeterminação (mais adiante). 2 o quadrimestre de /
48 Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos Propriedades Algébricas de Limites Finitos Exemplos - com indeterminação 1 x lim 2 9 x 3 x 3 2 lim x a x 2 a 2 3 lim x 2 4 lim x a x a (derivada de x 2 em a) x 2 x 2 x a x a (derivada de x em a) 2 o quadrimestre de /
49 Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos Propriedades Algébricas de Limites Finitos Exemplos - com indeterminação 3 x 3 2 x 2 1 lim 2 lim x 1 x 2 (derivada de 3 x em x = 2) x 1 2x x lim 3 x 2 x 2 x 2 x o quadrimestre de /
50 Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos Propriedades Algébricas de Limites Finitos Exemplos - mudança de variável (função composta) 1 lim x 1 3 x+2 1 x+1, tomando u = 3 x cos lim 2 x+3 cos x+2 x π cos x+1 2 o quadrimestre de /
51 Cálculo de Limites Teorema do Confronto Teorema do Confronto Teorema Se e então f (x) g(x) h(x) lim f (x) = L = lim h(x) x x lim g(x) = L. x 2 o quadrimestre de /
52 Cálculo de Limites Infinitésimos e Infinitos Infinitésimos e Infinitos lim f (x) x lim 1 x f (x) o quadrimestre de /
53 Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Limites finitos e infinitos Soma e Diferença lim f (x) x lim g(x) x lim (f (x) + g(x)) x F ± ± lim f (x) x lim g(x) x lim (f (x) g(x)) lim x (g(x) f (x)) x F ± ± 2 o quadrimestre de /
54 Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Limites finitos e infinitos Produto e Quociente lim f (x) x lim g(x) x lim f (x).g(x) x lim f (x) x g(x) F > 0 ± ± 0 ± F < 0 ± 0 0 ± Ind. 0 2 o quadrimestre de /
55 Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Limites Infinitos Soma e Diferença lim f (x) x lim g(x) x lim (f (x) + g(x)) lim x (f (x) g(x)) x ± ± ± Ind. ± Ind. ± 2 o quadrimestre de /
56 Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Limites Infinitos Produto e Quociente lim f (x) x lim g(x) x lim f (x).g(x) x lim f (x) x g(x) ± ± + Ind. ± Ind. 2 o quadrimestre de /
57 Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites 2 o quadrimestre de 2017 /
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