TÓPICO. Fundamentos da Matemática II APLICAÇÕES NA GEOMETRIA ANALÍTICA. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

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1 APLICAÇÕES NA GEOMETRIA ANALÍTICA 4 Gil da Costa Marques TÓPICO Fundamentos da Matemática II 4.1 Geometria Analítica e as Coordenadas Cartesianas 4.2 Superfícies Superfícies planas Superfícies limitadas e não limitadas 4.3 Curvas no espaço Comprimento de uma curva 4.4 Curvas no plano: Curvas de nível 4.5 Retas no espaço Licenciatura em Ciências USP/ Univesp

2 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Geometria Analítica e as Coordenadas Cartesianas Como no caso das funções de uma variável, as funções de várias variáveis são muito utilizadas na geometria analítica. Neste tópico abordaremos a aplicação de tal conceito no estudo de superfícies, curvas e retas no espaço. É bom lembrar que um ponto no espaço será caracterizado por três coordenadas denominadas cartesianas. Assim, qualquer ponto no espaço é representado por uma terna ordenada (a, b, c) de números reais. Um sistema cartesiano consiste de três eixos ortogonais que se interceptam num ponto denominado a origem do sistema. Os três eixos são orientados e a orientação é indicada por setas como na Figura 4.1 e o sentido do eixo z é determinado pela regra da mão direita também ilustrada na Figura 4.2. Para representar o ponto (a, b, c) no espaço, marcamos as coordenadas a e b nos eixos x e y, respectivamente, obtendo o ponto P no plano xy, por meio de duas retas tracejadas, paralelas aos eixos x e y, uma traçada a distância b do eixo x e a outra à distância a do eixo y (Figura 4.3). Figura 4.1: Os três eixos orientados. A partir de P, traçamos uma reta perpendicular ao plano xy, paralela, portanto, ao eixo z. Tendo marcado a coordenada c no eixo z, temos um ponto pelo qual traçamos uma reta paralela a OP. O ponto P = (a, b, c) é a intersecção entre essa última reta e a perpendicular que foi traçada a partir de P (Figura 4.4). Figura 4.2: O polegar aponta para o sentido positivo do eixo z. Figura 4.3: O ponto P é obtido a partir de a e b. Figura 4.4: O ponto P = (a, b, c) 3. Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

3 56 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Reciprocamente, dado um ponto P no espaço, munido de um sistema de coordenadas, encontramos a terna ordenada de números reais correspondente a esse ponto. A coordenada z, no sistema cartesiano, é obtida traçando por P, uma reta paralela ao eixo z até encontrar o plano xy em P. O comprimento PP fornece a coordenada z. Agora traçamos, a partir de P, duas retas tracejadas, paralelas aos eixos x e y, respectivamente, até elas encontrarem esses eixos. Os pontos de encontro das retas tracejadas com os eixos definem as coordenadas cartesianas da posição do ponto dado (Figura 4.5). Figura 4.5: Dado o ponto P 3, determinamos suas coordenadas cartesianas. 4.2 Superfícies De modo geral, definimos superfície como o lugar geométrico dos pontos do espaço cujas coordenadas obedecem a uma relação da forma: ( xyz) ϕ,, = Figura 4.6: Uma superfície arbitrária. TÓPICO 4 Aplicações Na Geometria Analítica

4 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 57 Uma superfície denominada elipsóide, por exemplo, é caracterizada pela relação: x y z a b c = Figura 4.7: O elipsoide. Convém notar que todos os cortes são elipses. Uma superfície esférica é um caso particular de um elipsóide, no qual a = b= c= R 4.3 Figura 4.8: Superfície esférica e suas duas calotas. sendo R o raio da superfície esférica: Nem toda relação é uma função. Como já vimos, funções implícitas são definidas por relações. No caso do elipsóide, podemos definir duas funções: + x y z( xy, ) = c 1 + a b x y z( xy, ) = c 1 + a b 4.4 as quais descrevem as calotas superior e inferior do elipsóide. A relação abaixo define z como uma função das variáveis x e y: z x y = + c a b 4.5 isto é, x y z = c + a b 4.6 Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

5 58 Licenciatura em Ciências USP/Univesp cujo gráfico é uma superfície denominada parabolóide de revolução (Figura 4.9). O eixo desse parabolóide é o eixo z e sua concavidade é para cima se c > 0 ou para baixo se c < 0. É importante notar que cortes horizontais são elipses e cortes verticais são parábolas. A relação: Figura 4.9: Parabolóide de revolução. ( z a) ( z a) + +ρ +ρ = ς 2a onde ϛ = constante define superfícies denominadas hiperbolóide de revolução, as quais podem ser escritas como: 4.7 Figura 4.10: O hiperbolóide de uma folha (de revolução). z a λ = 1 E cujos focos estão separados uma quantidade 2a. a ρ ( 1 λ ) Superfícies planas Uma superfície é dita plana (usualmente utilizamos a palavra plano para designar tal superfície), se os pontos que pertencem a ela forem tais que suas coordenadas obedecem a uma relação linear: ax + by + cz = d 4.9 onde a, b, c e d são parâmetros que caracterizam o plano. A partir da equação acima, temos: d a b z = x y c c c 4.10 De modo geral, escrevemos z = A + Bx + Cy 4.11 TÓPICO 4 Aplicações Na Geometria Analítica

6 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 59 Por exemplo, o plano da Figura 4.11 é caracterizado pela equação: z = 6. Para esse plano, o parâmetro A = 6 e B = C = 0. Um plano pode também ser dado por uma equação vetorial: k r = d 4.12 Figura 4.11: O plano de equação z = 6. Figura 4.12: Um plano com o vetor normal. onde k é um vetor de componentes a, b e c, e r = (x, y, z) é o vetor posição. O vetor k é o vetor normal à superfície (Figura 4.12). Dois planos são ditos planos paralelos se, quando escritos sob a forma 4.9, eles têm iguais valores de a, b e c, diferindo, no entanto, no valor de d. Assim, os dois planos descritos pelas equações: 5x+ 3y+ 2z = 10 5x+ 3y+ 2z = 2 são planos paralelos. Dizemos que dois planos são ortogonais se os vetores normais a eles forem perpendiculares, ou seja, têm produto escalar igual a zero. Assim, dois planos são ortogonais se 4.13 k k = 0 aa + bb + cc = Figura 4.13: Planos perpendiculares. onde k 1 = (a 1, b 1, c 1 ) e k 2 = (a 2, b 2, c 2 ). Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

7 60 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Exemplo 1 Os planos Exemplos 2x+ 5y+ z = 10 5x+ 3y+ 2z = não são ortogonais. No entanto, os planos definidos por: 2x 5y+ z = 10 5x+ 3y+ 5z = são planos ortogonais, uma vez que (-5) = 0 ou seja aa 1 2+ bb 1 2+ cc 1 2= Superfícies limitadas e não limitadas As superfícies tanto podem ser limitadas como não limitadas. Uma superfície esférica de raio R, definida, por: x + y + z R = é uma superfície limitada. Uma superfície cilíndrica de raio ρ, definida pela equação 2 x + y ρ = Figura 4.14: Superfície não limitada. é uma superfície não limitada. Vale observar que qualquer corte horizontal é uma circunferência, enquanto que um corte vertical é um retângulo. TÓPICO 4 Aplicações Na Geometria Analítica

8 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 61 Mencionamos ainda o fato de que uma esfera é uma figura formada pelos pontos que pertencem à superfície esférica bem como todos aqueles contidos no seu interior. Ou seja, essa figura é constituída pelos pontos (x, y, z) 3 para os quais x 2 + y 2 + z 2 R Curvas no espaço O uso de funções é muito útil na descrição de curvas no espaço. O conjunto dos pontos do espaço que satisfazem a duas relações simultaneamente: ( xyz) ( xyz) ϕ,, = 0 φ,, = 0 pode ser uma curva no espaço. Por exemplo, a intersecção de um cone, cuja equação é dada por: 4.20 z = a x + y 4.21 com a calota esférica superior da esfera, dada pela condição: 2 z + = R x y 4.22 Figura 4.15: Curvas como intersecção de superfícies. é uma circunferência. Uma curva pode ser descrita por meio de equações paramétricas, isto é, utilizando um parâmetro, designado por λ. Assim, define-se uma curva como o lugar geométrico dos pontos do espaço descrito pelas funções a um parâmetro o parâmetro λ dadas por: x = x λ y = y λ z = z λ 4.23 Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

9 62 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Sendo funções, estamos nos assegurando que a cada ponto do espaço corresponde um e apenas um valor do parâmetro λ e ao variá-lo obtemos os diferentes pontos ao longo da curva. Em particular, aos pontos A e B correspondem os valores λ A e λ B tais que suas coordenadas são dadas por: Figura 4.16: Caminhos ligando dois pontos e um dos possíveis caminhos. x = x λ x = x λ A A B B y = y λ y = y λ A A B B z = z λ z = z λ A A B B Comprimento de uma curva A um arco de uma curva, ou caminho, podemos associar o conceito de distância. Mais precisamente, podemos determinar o comprimento de um dos possíveis caminhos interligando dois pontos A e B que pertencem a ele. Consideremos uma linha, ou curva, qualquer. Ela pode ser subdivida em n partes infinitesimais, considerando n pontos sobre ela (vide Figura 4.17). Como, para cada tamanho infinitesimal segundo o qual as coordenadas de pontos consecutivos diferem, a distância entre quaisquer dois desses pontos é dada por: Figura 4.17: Dividindo uma curva por meio de n pontos. ds = dx + dy + dz 2 i i i i 4.25 No limite em que o número de divisões tende a infinito, obtemos uma soma de Riemann e podemos escrever o comprimento da curva entre os pontos A e B como: n s = lim dsi n i = TÓPICO 4 Aplicações Na Geometria Analítica

10 ou seja, λb λb λb λa λa λa Licenciatura em Ciências USP/Univesp 2 ds dx dx dx s = ds = d λ= + + d λ dλ dλ dλ dλ Adotando uma das coordenadas como variável, pode-se considerar uma parametrização da forma: z = z x y = y x O comprimento da curva pode então ser escrito como: 4.28 xb xa xb xa x xa 2 dx dy dz s = ds = + + dx dx dx dx B dy dz = 1+ + dx dx dx 4.29 onde x A e x B são as primeiras coordenadas dos pontos A e B, respectivamente. Em particular, no caso bidimensional o comprimento de uma curva é determinado pela integral: x B B dy s = ds = 1+ dx dx xa x xa Curvas no plano: Curvas de nível Uma curva num plano nada mais é do que a intersecção de uma superfície com o plano. Assim, no caso mais geral, a curva resulta da intersecção da superfície dada por: ( xyz) ϕ,, = com o plano ax + by + cz d = Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

11 64 Licenciatura em Ciências USP/Univesp ϕ xyd,, i = 0 Em particular, a intersecção da superfície ( xyz) ϕ,, = com o plano z d = Figura 4.18: Curva de nível. define uma curva. Variando d, obtemos um conjunto de curvas no espaço, todas elas contidas na superfície. As projeções dessas curvas no plano z = 0 são as curvas de nível da superfície dada. Exemplos Exemplo 2 As seções transversais da superfície denominada parabolóide são dadas pelas soluções das equações: z+ C = z + x + y z = d i ou seja, para cada d i, pela curva d + C = d + x + y i 2 i 4.36 As curvas de nível correspondentes são pois circunferências concêntricas. Figura 4.19: Curva de nível de um parabolóide de revolução. TÓPICO 4 Aplicações Na Geometria Analítica

12 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Retas no espaço Retas no espaço resultam da intersecção de planos, desde que não paralelos. Ou seja, uma reta no espaço pode ser descrita como solução de um sistema de duas equações: ax+ by+ cz= d 1 1 ax+ by+ cz= d 4.37 Assim, uma reta no plano z = d, é dada pelas equações: ax+ by+ cz= d 1 1 z = d 4.38 ou seja, ax 1 + by 2 + cd 2 = d que, como sabemos, é uma equação polinomial do primeiro grau. Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA