FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS3

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1 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS3 Gil da Costa Marques 3.1 Definição 3. Funções de três ou mais variáveis 3.3 Domínios 3.4 Gráficos, curvas de nível e superfícies de nível 3.5 Funções implícitas 3.6 Funções inversas 3.7 Limite e continuidade Licenciatura em Ciências USP/ Univesp

2 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Definição Neste texto, estenderemos o conceito de função de uma variável para o caso de funções de várias variáveis. No próximo texto, aplicaremos tal conceito à geometria espacial, notadamente na descrição de entes geométricos como curvas e superfícies no espaço tridimensional. Para tal, empregaremos a geometria analítica. Considerando primeiramente o caso de funções de duas variáveis, se a cada ponto (x, y) de uma região do plano, definida como o domínio da função, associarmos um e apenas um número real z, de acordo com alguma regra, dizemos que z é uma função das variáveis x e y a valores reais e escrevemos z = f ( xy, ) 3.1 As variáveis x e y são denominadas variáveis independentes e z é a variável dependente. Muitas vezes, as variáveis independentes não são coordenadas associadas a pontos no plano, mas grandezas físicas. Exemplos Exemplo 1: A área de um retângulo é função do comprimento de seus lados: z = xy 3. Figura 3.1: A Área de um retângulo é uma função dos comprimentos de seus lados.

3 48 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Exemplo : Desprezando a interação e o tamanho das moléculas de um gás situação que denominamos ideal podemos mostrar que a pressão é função da temperatura T e do volume V ocupado pelo gás, segundo a relação: P= P( TV, ) = Nk T = V nr T V 3.3 onde N, na equação 3.3 é o número de moléculas, k é a constante de Boltzmann, n é o número de moles do gás e R é outra constante, denominada constante universal dos gases. Se levarmos em conta o tamanho das moléculas, a relação se altera. Nesse caso, é mais fácil escrever a temperatura T como função da pressão P e do volume V. De acordo com Van der Waals, T = T PV = P+ a n (, ) V V n b 3.4 onde a e b são parâmetros que dependem do gás. Johannes Diderik van der Waals (Leiden, 3 de novembro de Amsterdã, 8 de março de 193) Figura 3.: Johannes Diderik van der Waals Físico neerlandês que formulou equações descrevendo os estados líquido e gasoso, trabalho fundamental para a medição do zero absoluto. Ele tentou descobrir por que as equações de Robert Boyle e Jacques Charles não correspondiam exatamente à forma segundo a qual os gases e os líquidos se comportam. Concluiu que o tamanho da molécula e a força que atua entre elas afetam tal comportamento. Embora as moléculas de gás sejam extremamente pequenas, cada uma delas tem um tamanho diferente - circunstância que afeta o comportamento das moléculas de diferentes gases. As forças que atuam entre as moléculas de um gás são denominadas forças de van der Waals. Em virtude desse trabalho, Johannes van der Waals foi agraciado com o Nobel de Física de Fonte: Wikipedia. A enciclopédia livre. Disponível em: < Diderik_van_der_Waals>. Acesso em 10/7/01 3 Funções de várias variáveis

4 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 49 Como no caso de funções de uma variável, as funções de várias variáveis podem ser representadas de três formas: numericamente (utilizando uma tabela, por exemplo), algebricamente, por meio de fórmulas (o que é mais usual) ou, ainda, graficamente (quando utilizamos o gráfico da função). 3. Funções de três ou mais variáveis Consideremos agora o caso de funções de três variáveis. De uma forma análoga ao caso anterior, se a cada ponto (x, y, z) de uma região do espaço, o domínio da função, associarmos um e apenas um número real u, de acordo com alguma regra, dizemos que u é uma função das variáveis x, y e z a valores reais e escrevemos u = ϕ ( x, yz, ) 3.5 As variáveis x, y e z são denominadas variáveis independentes e u é a variável dependente. Exemplo 3: Lembremos que o volume de um paralelepípedo de dimensões x, y e z é dado pela função: u = xyz 3.6 Figura 3.3: O volume de um paralelepípedo é função dos comprimentos de suas arestas. Como já mencionamos, uma grandeza física pode ser função das coordenadas do ponto no espaço, bem como do tempo.

5 50 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Exemplo 4: A energia potencial, quando depender também do tempo, se escreve: E = V( xyzt,,, ) 3.7 As grandezas físicas podem depender de muitas variáveis, às vezes em número tão grande que se torna necessário um tratamento estatístico. Exemplo 5: A energia cinética de um sistema composto por N partículas é função da velocidade delas. Se todas as partículas do sistema têm a mesma massa m, e se a velocidade da i-ésima partícula for designada por v i, a energia cinética é uma função quadrática das velocidades e se escreve da seguinte maneira: E m N N i m v v i x v i = ( ) = ( ( ) + ( y ) + ( v i z ) ) 3.8 i= 1 i= 1 Figura 3.4: Nem todas as moléculas num gás têm a mesma velocidade. Assim, a função energia cinética depende de 3N variáveis as componentes das velocidades. Num gás real, esse número de variáveis das quais a energia cinética depende é extremamente alto. 3.3 Domínios Como vimos, as funções de uma variável real são definidas em um intervalo o seu domínio que pode até mesmo ser o conjunto = ], + [. Um intervalo delimitado pelos valores a e b, que são denominados extremos ou extremidades dele, é dito fechado se ele inclui a e b e é representado por [a, b]. Nesse caso, a função é definida para os valores da variável independente que pertencem ao conjunto: {x : a x b}. Podemos também definir um intervalo aberto ]a, b[ no qual as extremidades não estão incluídas. Nesse caso, a função é definida para os valores da variável independente que pertencem ao conjunto: {x : a < x < b}. De maneira análoga, podemos definir um intervalo aberto à direita [a, b[ ou aberto à esquerda ]a, b]. 3 Funções de várias variáveis

6 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 51 Necessitamos agora introduzir o conceito de domínio para funções de várias variáveis. Isso pode ser feito de maneira análoga ao caso de funções de uma variável e, uma extensão natural, para o caso de funções de duas variáveis, por exemplo, seria considerar como domínio o retângulo obtido pelo produto cartesiano de dois intervalos abertos, fechados ou semiabertos. Por exemplo, no caso de funções de duas variáveis, quando especificamos que o domínio de uma função é definido pelos intervalos: a x b c y d 3.9 Figura 3.5: Possível domínio no plano. estamos especificando que o domínio da função é um retângulo obtido pelo produto cartesiano de dois intervalos fechados. No entanto, o domínio, para uma função de duas variáveis, pode ser um círculo, o interior de uma elipse etc. Assim, o domínio de uma função de mais de uma variável é: uma região do plano quando se trata de uma função de duas variáveis; uma região do espaço 3 quando se trata de uma função de três variáveis; uma hiper-região do espaço n quando se trata de uma função de n variáveis. Como já mencionado, em se tratando de funções de duas variáveis, dependendo da natureza do problema, o domínio não é necessariamente um retângulo. No caso tridimensional o domínio poderá ser um cubo, uma esfera etc. Para o caso bidimensional, no plano xy, conjuntos de pontos são coleções quaisquer de pontos que são caracterizados por suas coordenadas x e y. No espaço tridimensional, os conjuntos de pontos são caracterizados pelas coordenadas x, y e z de cada ponto. No plano, definimos a bola aberta de centro (x 0 ) e raio r como sendo o conjunto de todos os pontos interiores ao círculo de centro (x 0 ) e raio r. Se A é um subconjunto não vazio de, dizemos que ( x, y ) é um ponto interior a A se existir uma bola aberta de centro ( x, y ) contida em A. Se A é um subconjunto não vazio de, dizemos que A é aberto se todo ponto de A for ponto interior. Finalmente, uma vizinhança V de um ponto (x 0 ) de é um subconjunto do plano que contém uma bola aberta centrada em (x 0 ).

7 5 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Em, dizemos que um ponto P = (x, y) pertence a uma vizinhança de raio R do ponto P 0 = (x 0 ) se a distância de P a P 0 satisfaz a desigualdade: d( P, P0 ) < R ou d ( P, P) < R Dizemos que um subconjunto F de, não vazio, é fechado se os pontos não pertencentes a ele constituem um conjunto aberto. Em outras palavras, F é fechado se o seu complementar é aberto. Por exemplo, os pontos pertencentes a uma circunferência constituem um conjunto fechado. Um conjunto L é dito limitado se existir um número suficientemente grande m tal que L esteja contido numa bola de raio m. Por exemplo, o conjunto constituído por todos os pontos no interior de uma elipse é um conjunto limitado. Um ponto de contorno ou ponto de fronteira de um conjunto é qualquer ponto tal que toda vizinhança contém pontos do conjunto, bem como pontos de seu complementar. De maneira análoga, define-se no espaço bola aberta, centrada em (x 0, z 0 ) de raio r, bem como subconjunto aberto de 3, subconjunto fechado de 3. Em 3, dizemos que um ponto P = (x, y, z) pertence a uma vizinhança de raio R do ponto P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) se a distância de P a P 1 satisfaz a desigualdade: d( P, P1 ) < R ou d ( P, P) < R Como já é sabido, dados dois pontos P 1 = (x 1, y 1 ) e P = (x, y ) do plano, definimos a distância d(p 1, P ) entre eles como d( P, P ) = ( x x ) + ( y y ) Em 3, dados P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) e P = (x, y, z ), definimos a distância d(p 1, P ) entre eles como d( P, P ) = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) Os conjuntos abertos são usualmente definidos a partir de desigualdades. Por exemplo, no plano, o interior da elipse de semieixo maior 3 e semieixo menor pode ser definido como o conjunto de pontos (x, y) tais que x y + < Funções de várias variáveis

8 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Outro exemplo é o semiplano constituído pelos pontos que satisfazem a condição 53 x > Observamos que é possível ter um domínio constituído pelos pontos (x, y) do plano tais que x + y < 1; os pontos (x, y) do plano tais que x + y = 1 são o contorno da região anterior; os pontos (x, y) do plano tais que x + y 1 são uma região fechada, que é reunião do aberto com o contorno. Analogamente, o conjunto dos pontos (x, y) do plano tais que 1 < x + y < é um aberto, cujo contorno é formado pelo conjunto dos pontos (x, y) do plano tais que x + y = 1 ou x + y =. A região constituída pelos pontos (x, y) do plano tais que 1 x + y é uma região fechada. Vamos examinar com mais detalhes as funções de duas ou três variáveis definidas num domínio D. Quando dizemos que u = u(x, y, z) no domínio D, queremos dizer que u é dada como uma função das variáveis x, y e z que são as coordenadas dos pontos de D do espaço tridimensional. Por exemplo, a função u u= u( xyz,, ) = R x y z 3.16 é definida no domínio {( xyz,, ) 3 : x + y + z < R } 3.17 De maneira semelhante, podemos definir funções de duas variáveis, z = z(x, y), bem como funções de quatro variáveis, w = w(x, y, z, t), e assim por diante. 3.4 Gráficos, curvas de nível e superfícies de nível Seja z = f (x, y), onde (x, y) D, uma função de duas variáveis reais. O conjunto { } Graf ( f) = ( x, yz, ) 3 : z = f( xy, ),( xy, ) D 3.18 é denominado o gráfico de f. Notamos, portanto, que Graf ( f ) é um subconjunto de 3.

9 54 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Muitas vezes, a fim de visualizar o gráfico de uma função f desse tipo, podemos examinar suas curvas de nível. Vejamos o que significa. Figura 3.6: O domínio da função z = f(x,y) se encontra no plano xy e o seu gráfico é uma superfície no espaço. Dada z = f (x, y), onde (x, y) D e seja c um número real pertencente à Im f. O conjunto de todos os pontos do domínio D tais que f (x, y) = c é denominado curva de nível de f correspondente ao nível c. Isso significa que nos pontos de uma curva de nível a função f tem o mesmo valor. É preciso notar que, enquanto o gráfico da função é um subconjunto de 3, uma curva de nível é um subconjunto do domínio D, portanto de. Figura 3.7: Gráficos de funções de duas variáveis. Figura 3.8: O gráfico de uma função de duas variáveis no espaço e algumas curvas de nível (em vermelho) no plano. 3 Funções de várias variáveis

10 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 55 Exemplo 6: A função que estabelece uma relação entre a temperatura (T), a pressão (P) e o volume (V ) de um gás ideal é dada por VP TV (, P) = nr onde n e R são constantes. As curvas de nível da função T são denominadas isotérmicas ou isotermas. Uma vez que devemos ter T(V, P) = c, c constante, temos o produto VP constante. No plano VP as curvas isotérmicas são hipérboles (Figura 3.9). As isotérmicas (temperatura constante) ou as isobáricas (pressão constante) da equação de Van der Waals 3.19 T = T PV = P+ a n (, ) V V n b 3.0 são apresentadas na Figura Figura 3.9: Isotérmicas de um gás perfeito. Figura 3.10: Isotérmicas e isobáricas da equação de Van der Waals.

11 56 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Para funções de três variáveis, como, por exemplo, u= u( xyz,, ) = R x y z 3.1 cujo gráfico é um subconjunto de 4, o lugar geométrico dos pontos do espaço tridimensional, para os quais uxyz (,, )= c 3. para um mesmo valor de c, constante, é denominado uma superfície de nível da função u. Nesse caso, as superfícies de nível da função u são superfícies esféricas concêntricas definidas por R c = x + y + z i 3.3 Figura 3.11: Superfícies de nível associadas à função 3.3. para os diferentes níveis c i. 3.5 Funções implícitas Sendo u = F (x, y, z) uma relação entre as variáveis x, y e z, então a equação F( x, yz, )= define z implicitamente como uma ou mais funções de x e y. Por exemplo, considerando a função F( x, yz, )= x + y + z R 3.5 a equação x + y + z R = 0 define implicitamente as funções: z =+ R x y e z = R x y 3.6 Vale a pena relembrar o conceito de função implícita para o caso de funções de uma variável real. 3 Funções de várias variáveis

12 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Funções inversas A partir do que foi dito acima, podemos considerar o caso em que temos duas funções envolvendo quatro variáveis, e as equações associadas F( x, yuv,, ) = 0 e G( xyuv,,, ) = que, quando consideradas simultaneamente, definem uma transformação de coordenadas. De fato, utilizando o conceito de funções implícitas, podemos encontrar, a partir das equações de 3.7, x = x( uv, ) e y = y( uv, ) 3.8 que, a partir de u e v, fornecem x e y. Convém observar que as equações F( x, yuv,, ) = 0 e G( xyuv,,, ) = poderiam ser utilizadas para definir funções implícitas u e v nas variáveis x e y. u = u( xy, ) e v = v( xy, ) 3.30 Essas funções u e v introduzem outra transformação, a qual é definida como a transformação inversa da anterior. Assim, as equações 3.7 definem dois conjuntos de funções implícitas, sendo o segundo conjunto formado pelas funções inversas do primeiro e reciprocamente.

13 58 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Exemplo 7: Coordenadas polares Consideremos as equações y F( ρϕ,, x, y) = ρ x + y = 0 e G( ρϕ,, x, y) = ϕ arctg x = 0 A partir delas, podemos escrever ρ e φ como funções de x e y: 3.31 ρ= x + y e ϕ= arctg y x que fornecem as coordenadas polares (ρ, φ) em função das coordenadas cartesianas (x, y). Analisemos agora a questão das transformações inversas. Para tal, notamos que podemos escrever 3.3 sob a forma: 3.3 ρ = x + y e tgϕ= y x 3.33 Ademais, constatamos que a partir da segunda equação em 3.33 podemos escrever y = xtgϕ 3.34 E, portanto, a primeira equação pode ser escrita como ρ = x + x tg ϕ= x ( 1+ tg ϕ) = x sec ϕ 3.35 ou seja, ρ cos ϕ= x 3.36 Considerando-se valores do ângulo φ positivos, a única solução aceitável (já que a variável ρ é sempre positiva) é: x =ρcosϕ 3.37 o que nos leva, considerando a equação 3.34, à expressão: Figura 3.1: O mesmo ponto pode ser caracterizado pelas coordenadas cartesianas ou pelas coordenadas polares. y =ρsen ϕ Funções de várias variáveis

14 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Uma vez que agora expressamos as coordenadas cartesianas (x, y) como funções das coordenadas polares (ρ, φ), as transformações 3.37 e 3.38 definem as funções inversas de 3.3. Exemplificando, dado P em coordenadas polares, P = (3, π/6), podemos encontrar suas coordenadas cartesianas: 59 Logo P = x = 3cos π = 3 e y = 3sen π = 3 1 = 6 6 3, em coordenadas cartesianas. Dado agora P = (, ), determinemos sua representação em coordenadas polares. Sendo, por definição ρ positivo, obtemos, a partir de 3.33, ρ= 4+ 4 = 8 = 3.40 tgϕ= = Como P = (, ) está no quarto quadrante, podemos tomar, considerando 0 φ π, a solução φ = (7π)/4. Assim, em coordenadas polares, podemos escrever P = 7 π,. 4 Vale observar que φ não é determinado de modo único a partir de tgφ = y/x, pois quando 0 φ π, cada valor de Figura 3.13: Coordenadas polares. tgφ ocorre duas vezes, sendo necessário então observar o quadrante em que se encontra o ponto dado em coordenadas cartesianas. Podemos considerar curvas de nível em coordenadas polares: ρ = C 1 : é uma circunferência centrada na origem e raio C 1. De fato, ρ = C 1 significa que C 1 = x + y ; φ = C : é uma semirreta a partir da origem com coeficiente angular dado por tgc. Exemplo 8: Coordenadas esféricas Consideremos as equações associadas a três funções de seis variáveis Fr (, θϕ,, xyz,, ) = r x + y + z = Gr (, θϕ,, xyz,, ) = θ arccotg x z + y =

15 60 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo y H(, r θϕ,, xyz,, ) = ϕ arctg x = 0 As equações acima introduzem três funções implícitas: 3.44 r( x, yz, )= x + y + z 3.45 θ( xyz,, )= arccotg Procedendo de uma forma análoga ao que foi feito no caso das coordenadas polares, concluiremos que as funções inversas são: As superfícies de nível, determinadas pelas funções 3.48, são a superfície esférica, a superfície cônica e o semiplano. x z + y y ϕ( xyz,, )= arctg x x( r, θϕ, )= r senθcosϕ y( r, θϕ, )= r senθsen ϕ z( r, θϕ, )= r cos θ Figura 3.14: N Superfícies de nível. 3 Funções de várias variáveis

16 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Limite e continuidade Os conceitos de limite e continuidade para funções de muitas variáveis não são uma generalização pura e simples daqueles das funções de uma variável. É importante observar que, naquele caso, ao considerar x tendendo a x 0, isso só podia ser feito de duas maneiras: pela esquerda ou pela direita de x 0, e que, se lim f( x) lim f( x), então não existe lim f( x) + x x0 x x0. x x 0 No caso de uma função de duas variáveis, por exemplo, ao considerar (x, y) tendendo a (x 0 ), isso pode ser feito por infinitas direções e uma infinidade de maneiras, ou seja, é possível fazer (x, y) tender a (x 0 ) por uma infinidade de caminhos diferentes. A fim de que exista lim f( x, y) será então necessário ( xy, ) ( x 0 ) que, por qualquer caminho segundo o qual (x, y) tenda a (x 0 ), o resultado seja o mesmo. Se existirem pelo menos dois caminhos diferentes ao longo dos quais a função tenha limites diferentes quando (x, y) tende a (x 0 ), não existe lim f( x, y). ( xy, ) ( x 0 ) Figura 3.15: x tendendo a x 0 pela esquerda e pela direita. Figura 3.16: (x, y) tendendo a (x 0 ) por infinitas direções. De maneira mais precisa temos a seguinte definição: Seja f uma função de duas variáveis definida num domínio D e seja (x 0 ) um ponto pertencente ou não a D, mas tal que seja possível a aproximação a (x 0 ) por pontos de D. Dizemos que o limite de f (x, y), quando (x, y) tende a (x 0 ), é igual a L e escrevemos lim f( x, y) = L ( xy, ) ( x0, y0) 3.49 se, para todo número ε > 0 existe em correspondência um número δ > 0 tal que, para todo (x, y) no domínio D e pertencente a uma vizinhança de (x 0 ) de raio δ, se tenha f (x, y) L < ε. Em outras palavras, se (x, y) D e sua distância a (x 0 ) é menor do que δ, isto é, 0 < (x x 0 ) + (y y 0 ) < δ, então a distância de f (x, y) a L é menor do que ε, ou seja, f (x, y) L < ε.

17 6 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Dizemos que uma função f é contínua no ponto (x 0 ) do seu domínio se existe o limite da função no ponto e lim f( x, y) = f( x, y ) ( xy, ) ( x0, y0) Se a função f é contínua em todos os pontos de seu domínio D, dizemos que f é contínua em D. Como no caso das funções de uma variável, a soma, o produto e o quociente de funções contínuas em D são funções contínuas em D. No caso do quociente, evidentemente, é necessário que a função do denominador não se anule no ponto em que o limite está sendo calculado. Do mesmo modo que para as funções de uma variável, a operação de composição é outra maneira de obter uma função contínua a partir de outras funções contínuas. Exemplo 9: Determinar o subconjunto de no qual é contínua a função x f( x, y) = ln y 3.51 Uma vez que a função g(x, y) = x/y é contínua, exceto nos pontos da reta y = 0 e a função h(t) = lnt é contínua sempre que t > 0, a função composta f( x, y) = h( gxy (, )) 3.5 é contínua sempre que o quociente x/y > 0, ou seja no conjunto x ( xy, ) : > 0 y que é formado pelos pontos do plano cujas coordenadas têm o mesmo sinal Figura 3.17: Representação gráfica da função f(x, y) = ln(x/y). 3 Funções de várias variáveis

18 Exemplo 10: Calcular Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 63 lim ( xy, ) ( 10, ) x cos y+ y x + 5 Convém observar que a função considerada é a soma de funções contínuas e, portanto, é contínua. Logo 3.54 Exemplo 11: Calcular lim ( xy, ) ( 10, ) x cos y+ y x + = = 5 11 lim 10xy. e 11 ( xy, ) (,) x y Novamente o limite é imediato, pois a função dada é um produto de funções contínuas e, portanto, é contínua. Logo x y lim 10xy. e = 10e 11 ( xy, ) (,) 3.57 Exemplo 1: Calcular Esse limite também é imediato e temos lim ( xy, ) ( 010, ) xy + y+ x ln( x + y ) 3.58 Exemplo 13: Encontrar o lim ( xy, ) ( 010, ) xy + y+ x ln( x + y ) = 10 ln Temos imediatamente que lim ( xyz,, ) ( 000,, ) Ae x y z 3.60 lim ( xyz,, ) ( 000,, ) x y z 0 Ae = Ae = A 3.61