Aula 21 Máximos e mínimos relativos.

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1 Máimos e mínimos relativos. MÓDULO - AULA Aula Máimos e mínimos relativos. Objetivo Utilizar o conceito de derivada para determinar pontos de máimo e mínimo relativos de funções. Quando olhamos uma montanha, identificamos facilmente os picos da montanha e os fundos dos vales. Uma maneira ingênua de descrever esses pontos seria: um pico é um ponto da montanha tal que a partir dele, em qualquer direção que se caminhe, estaremos ou na mesma altitude ou descendo a montanha. Por outro lado, para o fundo de um vale acontece eatamente o contrário: a partir dele, em qualquer direção que se caminhe, estaremos ou na mesma altitude ou subindo a montanha. Referências: Aulas 9, 6, 7, 8 e 9. Por eemplo, o Pão de Açúcar possui três picos e dois fundos de vale, o mesmo ocorrendo com o Dedo de Deus, montanha situada na Serra dos Órgãos (ver a Figura.). Figura. Poderíamos abstrair um pouco e representar essas duas montanhas pelas duas figuras a seguir, que suporemos representar o gráfico de duas funções (ver a Figura.). Figura..3. Nada impede, também, que picos e fundos de vale sejam como na Figura 55 CEDERJ

2 Máimos e mínimos relativos. Recorra à aula 7 caso você não lembre a definição de função não crescente ou função não decrescente. Figura.3 Podemos observar que, em quaisquer das situações consideradas, tais pontos se caracterizam intuitivamente pelas seguintes propriedades: Um pico é um ponto (a, f(a)) que separa o gráfico de f em dois pedaços: um, à esquerda, onde para algum número c R, com c < a, f é não decrescente em (c, a) e outro, à direita, onde para algum número d R, com d > a, f é não crescente em (a, d). O fundo de um vale é um ponto (b, f(b)) que separa o gráfico de f em dois pedaços: um, à esquerda, onde para algum número c R, com c < b, f é não crescente em (c, b) e outro, à direita, onde para algum número d R, com d > b, f é não decrescente em (b, d). Os picos e fundos de vale correspondem, no conteto da Matemática, aos pontos de máimo e mínimo relativos do gráfico de uma função e serão, a partir de agora, nosso objeto de estudo. Definição. Uma função f possui um máimo relativo (ou máimo local) em um ponto c se eiste um intervalo aberto I contendo c tal que f esteja definida em I e f(c) f() para todo I. Neste caso, dizemos que o ponto (c, f(c)) é um ponto de máimo relativo do gráfico de f. Definição. Uma função f possui um mínimo relativo (ou mínimo local) em um ponto c se eiste um intervalo aberto I contendo c tal que f esteja definida em I e f(c) f() para todo I.Neste caso, dizemos que o ponto (c, f(c)) é um ponto de mínimo relativo do gráfico de f. Quando uma função f possui um máimo ou um mínimo relativo em um ponto c, dizemos que ela possui um etremo relativo em c. Vejamos alguns eemplos. Eemplo. Considere a função f() =. Você pode ver facilmente que f(0) = > f() para todo 0. Assim, f possui um máimo relativo em = 0. Por CEDERJ 56

3 Máimos e mínimos relativos. MÓDULO - AULA outro lado, a função g() = possui um mínimo relativo em = 0, já que g(0) = < g() para todo 0. Note que, em ambos os casos, as funções são deriváveis em = 0 com f (0) = 0 = g (0), ou seja, o gráfico de f admite reta tangente em (0, f(0)) = (0, ) paralela ao eio das abscissas, o mesmo ocorrendo com o gráfico de g no ponto (0, g(0)) = (0, ). Eemplo. Considere a função f() = { + se < 0, se 0. Vemos, claramente, que f possui um máimo relativo em = 0. Entretanto, f não é derivável em = 0 e seu gráfico não possui reta tangente no ponto (0, f(0)) = (0, ). O gráfico de f é como na Figura.4. 0 Figura.4 Agora, a função g() = possui um mínimo relativo em = 0. Assim como f, g não é derivável em = 0 e seu gráfico não possui reta tangente no ponto (0, g(0)) = (0, 0). Eemplo.3 Considere a função f() = { se 0, se < 0. O gráfico de f é como na Figura CEDERJ

4 Máimos e mínimos relativos. 0 Figura.5 Como f() f(0) ( ) ( ) = = = = ( ) e f() f(0) () = = = +, 0 + f() f(0) concluímos que f não é derivável em = 0. Entretanto, sendo 0 0 = +, o gráfico de f possui reta tangente no ponto (0, f(0)) = (0, 0) (lembrar a aula 9). Considere, agora, a função g() = f(). Vemos que g possui um máimo relativo em = 0, seu gráfico possui reta tangente em (0, 0) e g não é derivável em = 0. Definição.3 Sejam I um intervalo não trivial de R e f uma função definida em I. Um ponto c I é chamado um ponto crítico de f se ocorre um dos dois casos seguintes: ou (a) f não é derivável em = c (b) f (c) = 0. Note que, em cada um dos Eemplos.,. e.3, o ponto = c onde a função posssui um etremo relativo é um ponto crítico da função. A proposição a seguir mostra que este fato não é uma mera coincidência. Proposição. Se = c é um etremo relativo de f, então c é um ponto crítico de f. Demonstração: Vamos fazer o caso em que c é um mínimo relativo. O caso em que c é máimo relativo é análogo. Se f não é derivável em = c, segue, da Definição.3, que c é um ponto crítico de f, e nada há a provar. Suponha, CEDERJ 58

5 Máimos e mínimos relativos. MÓDULO - AULA então, que f seja derivável em = c. Logo, eiste e f() f(c) f (c) =. c c Precisamos provar que f (c) = 0. Considere os ites laterais f() f(c) c c f() f(c). c + c Por definição de mínimo relativo, eiste um intervalo (a, b) contendo c tal que f() f(c) para todo (a, b). Como para (a, c), f() f(c) c 0, obtemos que 0. Por outro lado, como para (c, b), c c f() f(c) f() f(c) c 0, obtemos que c + f() f(c) c 0. Visto que f (c) eiste, os ites laterais têm que ser iguais a f (c). Portanto, f (c) 0 e f (c) 0, o que implica f (c) = 0, como queríamos demonstrar. Veremos, agora, dois eemplos que mostram que a recíproca da Proposição. é falsa, isto é, há funções cujos pontos críticos não são etremos relativos. Eemplo.4 Seja f : R R definida por f() = { se <, se. Vemos, claramente, que f () eiste e é diferente de zero para todo f() f() f() f(). Por outro lado, = =, enquanto = + + =. Assim, = é o único ponto crítico de f. Como f() < se < e f() > se >, vemos que f não possui etremo relativo em =. Note que, neste eemplo, = é um ponto crítico, pois satisfaz a condição (a), da Definição.3. Vejamos agora um eemplo em que o ponto crítico satisfaz a condição (b), da Definição.3. Eemplo.5 Considere a função f() = 3. Sabemos que f é derivável em todo ponto. O único ponto crítico de f é = 0, visto que f () = 3 = 0 se, e somente 59 CEDERJ

6 Máimos e mínimos relativos. se, = 0. Entretanto, f() < f(0) = 0 se < 0 e f() > f(0) = 0 se > 0, mostrando que f não possui etremo relativo em = 0. Até agora, vimos que os etremos relativos de uma função f fazem parte do conjunto dos pontos críticos de f. Entretanto, até o momento, a única maneira de que dispomos para determinar se um ponto crítico de f é um etremo relativo é comparar f() com f(c) para em um intervalo aberto (a, b) contendo c o que, em muitos casos, pode não ser muito simples. A proposição a seguir mostra como a derivada f da função f pode ser útil para determinar se um ponto crítico é ou não um etremo relativo de f. Na verdade, o significado da proposição é bastante claro: ela diz que se f é crescente no intervalo (a, c) e decrescente em (c, b), então f possui um máimo relativo em c. Por outro lado, se f é decrescente no intervalo (a, c) e crescente em (c, b), então f possui um mínimo relativo em c. Mais precisamente, temos: Proposição. (Teste da derivada primeira) Seja f uma função contínua em um intervalo aberto (a, b). Seja c (a, b) e suponha que f seja derivável em (a, b), eceto possivelmente em c. (a) Se f () > 0 para todo (a, c) e f () < 0 para todo (c, b), então f possui um máimo relativo em c. (b) Se f () < 0 para todo (a, c) e f () > 0 para todo (c, b), então f possui um mínimo relativo em c. Demonstração: Faremos somente o caso (a); o caso (b) é demonstrado de maneira análoga. Com efeito, como f () > 0 para todo (a, c), f é crescente em (a, c). Assim, f() < f(c) para todo (a, c). Agora, como f () < 0 para todo (c, b), f é decrescente em (c, b) e, portanto, f() < f(c) para todo (c, b). Obtemos assim que f() f(c) para todo (a, b), ou seja, f possui um máimo relativo em = c. Nos dois eemplos que se seguem vamos aplicar a Proposição. para determinar os etremos relativos de uma função dada. Eemplo.6 Considere a função f() = ( + ) 3 ( ) 3 do Eemplo 9.. Como vimos, f só não é derivável em = e = e sua derivada para valores de e é f () = ( ) 3 (+) 3. Como f () = 0 se, e somente se, CEDERJ 60

7 Máimos e mínimos relativos. MÓDULO - AULA =, concluímos que os pontos críticos de f são =, = e =. Vimos, também, que f é crescente em (, ) (, + ) e decrescente em (, ). Assim, visto que f () > 0 se < e f () < 0 se (, ), pela Proposição. f possui um máimo relativo em =. Note que f não possui etremo relativo em =, pois f () > 0 para (, ) e f () > 0 se >. Finalmente, como f () < 0 se (, ) e f () > 0 se (, + ), concluímos que f possui um mínimo relativo em =. Confira as informações que acabamos de obter com o esboço do gráfico de f (ver a Figura 7.6). Eemplo.7 Seja f : R R definida por f() = { + se <, se. Então f () = se < e f () = se >. Para determinar se f é ou não derivável em =, devemos determinar os ites f() f() f() f() laterais e. + Ora, Por outro lado, f() f() f() f() + = ( + ) 3 =. = + ( ) =. + Fatorando o polinômio p() = , obtemos p() = ( )( 0 + 5). = Assim, f() f() + = + ( )( 0 + 5) = = +( 0 + 5) = 9. Concluímos, portanto, que f não é derivável em = ; logo, = é um ponto crítico de f. Como f () = 0 se, e somente se, = 3 ou = 5, os 6 CEDERJ

8 Máimos e mínimos relativos. pontos críticos de f são, 3, e 5. Utilizando a tabela de sinais para o estudo do sinal de f (ver a Figura.6), 3 5 f () Figura.6 obtemos que f possui um máimo relativo em = 3 e um mínimo relativo em = 5. Resumo Nesta aula você foi apresentado ao conceito de etremo relativo de uma função, e estudou um critério, a Proposição., que permite determinar tais etremos relativos. A referida proposição reforça, mais uma vez, a importância da derivada como ferramenta para a compreensão do comportamento de uma função. Eercícios. Para cada uma das funções f abaio determine, se eistirem, todos os pontos onde a função possui um etremo relativo. (a) f() = 4 (b) f() = ( ) + 3 { se (c) f() = se < (d) f() = 4 4 (e) f() = + +4 (f) f() = Para cada uma das funções f abaio, determine, se eistirem: (i) os pontos de descontinuidade de f, (ii) as assíntotas verticais e horizontais ao gráfico de f, (iii) os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente, (iv) os intervalos nos quais o gráfico de f possui concavidade voltada para cima ou para baio, (v) todos os pontos onde ocorrem os etremos relativos de f e (vi) os pontos de infleão do gráfico de f. CEDERJ 6

9 Máimos e mínimos relativos. MÓDULO - AULA Finalmente, esboce o gráfico de f. { ( ) 3 se 5 (a) f() = ( + 7) se > 5 { 4 ( + 5) se < 4 (b) f() = ( + ) se 4 (c) f() = 5 (d) f() = ( ) 8 3 +( ) (e) f() = 5 +7 { + se 0 (f) f() = 0 se = 0 (g) f() = (h) f() = Auto-avaliação Todos os eercícios eigem de você a compreensão do conceito de etremo relativo e da Proposição., vistos nesta aula. Você também deve demonstrar domínio do conteúdo estudado desde a aula 7. Caso tenha dúvidas, faça uma releitura cuidadosa da aula relativa ao conceito ou resultado ainda não bem entendido. Se as dúvidas persistirem, procure o tutor no pólo. 63 CEDERJ

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11 O teste da derivada segunda para etremos relativos. MÓDULO - AULA Aula O teste da derivada segunda para etremos relativos. Objetivo: Utilizar a derivada segunda para determinar pontos de máimo e mínimo relativos de funções. Referências: Aulas 9, 6, 7, 8, 9 e. Você viu nas aulas 8 e 9 que a derivada segunda é uma ferramenta bastante importante para a compreensão do comportamento do gráfico de uma função. Nesta aula, veremos que a derivada segunda de uma função nos permite, também, determinar os pontos onde a função possui etremos relativos. Considere uma função f, derivável em um intervalo aberto I e c I com f (c) = 0 (portanto, c é um ponto crítico de f). Você já sabe que o fato de f (c) ser zero implica que a reta tangente ao gráfico de f no ponto (c, f(c)) é paralela ao eio das abscissas. Suponha, além disso, que o gráfico de f tenha concavidade para baio em um intervalo aberto (a, b) I contendo c. De posse desses dados, podemos esboçar o gráfico de f no intervalo (a, b) e constatar que o ponto (c, f(c)) é um ponto de máimo relativo do gráfico de f. A Figura. representa a situação. É claro que se o gráfico de f tivesse concavidade para cima em (a, b), o ponto (c, f(c)) seria um ponto de mínimo relativo do gráfico de f. f(c) a c b Figura. Essa observação de caráter puramente geométrico é de fato simples, mas pressupõe o conhecimento das propriedades de crescimento ou decrescimento de f em (a, b), pois são elas que determinam a concavidade do gráfico de f. 65 CEDERJ

12 O teste da derivada segunda para etremos relativos. No caso de f ser duas vezes derivável em (a, b), já vimos na aula 8 que o sinal de f em (a, b) determina a concavidade do gráfico de f em (a, b). O teorema que veremos a seguir nos mostra que em vez de estudar essas propriedades da função f em (a, b), basta conhecermos o sinal de f em = c para garantir que f possui um etremo relativo em = c. Teorema. (Teste da derivada segunda) Seja f uma função derivável em um intervalo aberto I e c I com f (c) = 0 e tal que f (c) eista. Então: (a) Se f (c) < 0, f possui um máimo relativo em = c. (b) Se f (c) > 0, f possui um mínimo relativo em = c. Demonstração: Vamos demonstrar somente o caso (a), pois (b) é análogo e será deiado para você como eercício (ver o Eercício 3). Por hipótese, f f (c) = () f (c) < 0 e, como f (c) = 0, temos que f f (c) = () < 0. c c c c Assim, para valores de próimos de c, f () c < 0, ou seja, eistem a, b R com a < c < b e (a, b) I tais que f () c < 0 para todo (a, b), c. Como c < 0 para todo (a, c), obtemos que f () > 0 para todo (a, c). Por outro lado, como c > 0 para todo (c, b), obtemos que f () < 0 para todo (c, b). Pelo teste da derivada primeira concluímos que f possui um máimo relativo em = c, como queríamos demonstrar. Você pode observar que o teste da derivada segunda não diz nada no caso em que f (c) = 0. De fato, neste caso nada se pode concluir a respeito do ponto crítico = c, como veremos a seguir. Eemplo. Considere a função f() = 4. Temos f () = 4 3 e f () = ; assim, f (0) = f (0) = 0. Como f() = 4 0 = f(0) para todo R, segue que f possui um mínimo absoluto em = 0. Eemplo. Para a função g() = 4, temos g () = 4 3, g () = e, portanto, g (0) = g (0) = 0. Como g() = 4 0 = g(0) para todo R, segue que g possui um máimo absoluto em = 0. CEDERJ 66

13 O teste da derivada segunda para etremos relativos. MÓDULO - AULA Eemplo.3 A função h() = 3 é tal que h () = 3 e h () = 6. Assim, h (0) = h (0) = 0; entretanto, = 0 não é um etremo relativo de f, visto que h() < h(0) para < 0 e h() > h(0) para > 0. Nos três eemplos a derivada segunda da função se anula no ponto crítico = 0. Entretanto, no primeiro, o ponto crítico é um mínimo relativo, no segundo, um máimo relativo e, no terceiro, o ponto crítico não é nem máimo nem mínimo relativo da função. Vamos, agora, usar o teste da derivada segunda para determinar os máimos e mínimos relativos de algumas funções. É importante ressaltar que esse teste só vale para pontos críticos nos quais a derivada primeira se anula. Eemplo.4 Considere a função f() = { se 0, se > 0. Vimos, na aula, que os pontos críticos de f são os candidatos a etremos relativos. Temos que f é derivável para todo < 0 e f () = +4 se < 0. Analogamente, f é derivável para todo > 0 e f () = 4 se > 0. Agora, como f() f(0) 0 0 = 0 ( ) 3 = = 0 ( + 4) = e f() f(0) = 0 ( + 4) = 4. = 0 + ( 4 + 3) 3 = 0 + ( 4) = = = 0 +( 4) = 4, concluímos que f não é derivável em = 0. Os pontos críticos de f são =, = 0 e =. Sendo f ( ) = f () = 0, f duas vezes derivável em = e = e f ( ) = f () = > 0, podemos aplicar o teste da 67 CEDERJ

14 O teste da derivada segunda para etremos relativos. derivada segunda e concluir que f possui um mínimo relativo em = e outro em =. Quanto ao ponto crítico = 0, podemos aplicar o teste da derivada primeira. Realmente, para (, 0), f () > 0 e, para (0, ), f () < 0. Assim, concluímos que f possui um máimo relativo em = 0. O gráfico de f é indicado na Figura Figura. Eemplo.5 Considere a função f() = Como f é derivável em todo R e f () = nunca se anula, concluímos que f não possui etremos relativos (ver a Figura.3). 0 Figura.3 Eemplo.6 Considere a função f() =, definida em R {, 0}. Como f é derivável + em todo ponto do seu domínio e f () =, o único ponto crítico de f ( +) CEDERJ 68

15 O teste da derivada segunda para etremos relativos. MÓDULO - AULA é =. Derivando f, obtemos f () = ( + ) ( ) ( )(( + )( + )) ( + ) 4 = = ( + )[ ( + ) + ( + ) ] ( + ) 4 = = ( + ) + ( + ) ( + ) 3. Assim, f ( ) = 3 e, pelo teste da derivada segunda, f possui um máimo relativo em = (ver Figura.4). / 4 Figura.4 Resumo Nesta aula, você aprendeu a identificar máimos e mínimos relativos de funções usando a derivada segunda. Você deve ter notado que o teste da derivada segunda é mais fácil de ser usado do que o teste da derivada primeira. Eercícios. Para cada uma das funções abaio, use o teste da derivada segunda para determinar, se eistirem, os pontos de máimo e mínimo relativos da função. (a) f() = (b) f() = ( ) ( + ) 3 (c) f() = +3 (d) f() = ( ) ( ) (e) f() = (f) f() = 5. (+) CEDERJ

16 O teste da derivada segunda para etremos relativos.. Para cada uma das funções dadas, determine, caso eistam: (i) as assíntotas verticais e horizontais ao gráfico de f, (ii) os intervalos onde f é crescente ou decrescente, (iii) os intervalos onde o gráfico de f tem concavidade para cima ou concavidade para baio, (iv) os etremos relativos de f, (v) os pontos de infleão. Finalmente, esboce o gráfico de f. (a) f() = (b) f() = (c) f() = + (d) f() = { ( ) 3 se < 0 (e) f() = ( ) 4 se 0 + (f) f() = ( + ). 3. Sejam f uma função derivável em um intervalo aberto I e c I com f (c) = 0. Mostre que se f (c) eiste e f (c) > 0, então f possui um mínimo relativo em = c. 4. Se f() = a 3 + b + c + d, determine a, b, c e d tais que o gráfico de f tenha um etremo relativo em (0, 3) e um ponto de infleão em (, ). Auto-avaliação O eercício de número depende apenas do teste da derivada segunda. Os demais, eigem de você o domínio de todos os conceitos e resultados vistos até agora visando a compreensão do comportamento de funções. Se você tiver qualquer dúvida relativa a um desses conceitos ou resultados, retorne à aula correspondente e faça uma releitura detalhada. Caso persista a dúvida, procure o tutor no pólo. CEDERJ 70

17 Eercícios resolvidos. MÓDULO - AULA 3 Aula 3 Eercícios resolvidos. Objetivo Fiar o conteúdo visto desde a aula 6. Eercício : Verifique se cada uma das funções abaio, definidas no intervalo [a, b], satisfaz ou não as hipóteses do Teorema do valor médio. Em caso afirmativo, determine um número c (a, b) tal que f (c) = f(b) f(a) b a. Referências: Aulas 9, 6, 7, 8, 9, e. (a) f() = ( 4), [a, b] = [, 4]. 4 se <, (b) f() = 6 se., [a, b] = [ 3, 3]. Solução: (a) Considere f () = 4 para [, 4] e f () = para 0. É claro que f = f f. Como f é contínua em [, 4] e f é contínua em [0, + ), então f é contínua em [, 4]. Além disso, sendo f () > 0 para todo (, 4], f derivável em (, 4] e f derivável em (0, + ), então pela regra da cadeia f = f f é derivável em (, 4] e f () = (f f ) () = f (f ())f () = 4 para todo (, 4]. Em particular, f é derivável em (, 4). Assim, as hipóteses do teorema do valor médio são todas satisfeitas. A reta que passa por A = (, f()) = (, 0) e B = (4, f(4)) = (4, ) tem coeficiente angular igual a = 3. Queremos, portanto, determinar c c (, 4) tal que = c 3, isto é, = 3, isto é, c 4 c = 6. Como (c 4) c (, 4), o número c procurado é c = 6. (b) A função f é claramente contínua em (, ) (, + ). Resta-nos, 7 CEDERJ

18 Eercícios resolvidos. portanto, estudar a continuidade em = [ 3, 3]. Como e 4 f() = = = ( )( + ) = ( + ) = 4 f() = + +(6 ) = 4 obtemos que eiste f() = f(), mostrando que f é contínua em. Logo, f é contínua em R e, em particular, no intervalo [ 3, 3]. A função f é derivável para <, pois ela é um quociente de funções deriváveis cujo denominador não se anula em (, ) (lembrar a aula 0). Sendo f um polinômio para >, ela é derivável em (, + ). Resta-nos, portanto, estudar a derivabilidade de f em =. Determinando os ites laterais temos: = f() f() = 4 4 = = ( )( + ) 4 = = ( + ) 4 = e f() f() = + (6 ) 4 = = ( )( + ) 4 = = + =. Concluímos, assim, que f não é derivável em = não satisfazendo, portanto, a hipótese de derivabilidade no intervalo aberto ( 3, 3). CEDERJ 7

19 Eercícios resolvidos. MÓDULO - AULA 3 Eercício (Desafio, da aula 6): Use o Teorema de Rolle para demonstrar que a equação = 0 possui eatamente uma raiz no intervalo (0, ). Solução: A função f() = é contínua em [0, ]. Como f(0) = 3 < 0 e f() = > 0, pelo teorema do valor intermediário (aula 7) eiste a (0, ) tal que f(a) = 0. Isso mostra que a equação = 0 possui uma raiz no intervalo (0, ). Vamos mostrar que ela é única. Com efeito, suponha que b (0, ) seja uma outra raiz da equação com, digamos, a < b. Então temos que f(a) = f(b) e, pelo teorema de Rolle, eiste c (a, b) tal que f (c) = 0. Mas f () = > 0 para todo (0, ); portanto, tal b não pode eistir. Eercício 3: Para cada uma das funções a seguir determine, se eistirem: (i) os pontos de descontinuidade de f, (ii) as assíntotas horizontais e verticais ao gráfico de f, (iii) os intervalos onde f é crescente ou decrescente, (iv) os etremos relativos de f, (v) os intervalos onde o gráfico de f tem concavidade para cima ou para baio, (vi) os pontos de infleão do gráfico de f. Finalmente, esboce o gráfico de f. (a) f() = ( Eercício (k), da aula 8); (b) f() = Solução: (a) (i) A função f é contínua em R, pois é uma soma de funções contínuas em R. (ii) Como a f() = f(a) para todo a R, o gráfico de f não possui assíntotas verticais. Ele também não possui assíntotas horizontais, pois f() = ± 4 ± 3 ( + ) = CEDERJ

20 Eercícios resolvidos. (iii) A função f só não é derivável em = 0, visto que 3 só não é derivável neste ponto e 43 é derivável em todos os pontos. Para 0, f () = = ( ) Assim, f () = 0 se, e somente se, =. 8 Os pontos críticos de f são, portanto, = e = 0. Usando a tabela de 8 sinais (conforme a Figura 3.) para o estudo do sinal de f 3 () = ( ), obtemos 8 0 f () Figura 3. que f é decrescente em (, 8) e crescente em ( 8, + ). (iv) Pelo teste da derivada primeira, vemos que f possui um mínimo relativo em =. O ponto crítico = 0 não é nem máimo nem mínimo 8 relativo, pois pelo sinal da derivada vemos que f é crescente em um pequeno intervalo aberto contendo o ponto = 0. (v) A função f só não é derivável em = 0, sendo f () = 3 ( + ) para 0; logo, f () = 0 se, e somente se, =. Assim, 4 os pontos = 0 e = determinam os intervalos onde devemos estudar o 4 sinal de f. obtemos Utilizando a tabela de sinais para f, como indicado na Figura 3., 0 f () Figura 3. que o gráfico de f tem concavidade para cima em (, 0) ( 4, + ) e concavidade para baio em ( 0, 4). Você pode observar, neste momento, que f eiste em = 8 e ( f 8) > 0. Pelo teste da derivada segunda, f possui um mínimo relativo em =, como já havíamos visto. 8 CEDERJ 74

21 Eercícios resolvidos. MÓDULO - AULA 3 (vi) Os candidatos a pontos de infleão são aqueles onde ocorrem mudanças de concavidade, ou seja, (0, f(0)) = (0, 0) e (, f( ( 4 4)) =, 3 4 ( ) 3. 4 Como f é derivável em =, o gráfico de f possui reta tangente em ( 4, f( )) 4 4. Tendo f sinais contrários nos intervalos ( ( 0, 4) e, + ), (, f( )) é um ponto de infleão do gráfico de f. Quanto ao ponto = 0, devemos determinar se o gráfico de f possui reta tangente em (0, f(0)) = (0, 0). Como f() f(0) 0 0 ( = 0 3 ) + 3 = +, o gráfico de f possui reta tangente vertical em (0, 0), mostrando que (0, 0) também é um ponto de infleão do gráfico de f. Podemos, agora, esboçar o gráfico de f, como indicado na Figura 3.3. ) f(/4) / /8 /4 3/8 Solução: (b) (i) A função f() = Figura está definida e é contínua em todo R, pois é um quociente de polinômios cujo denominador nunca se anula. (ii) Como, para todo a R, a f() = f(a), o gráfico de f não possui assíntotas verticais. Agora, como f() = ± ± = 5 ( + 7 ) = ± ± temos que a reta y = 0 é uma assíntota horizontal ao gráfico de f = 0, (iii) A função f é derivável em todo R, f () = ( +7) e, portanto, f () = 0 se, e somente se, = ± 7. O sinal de f é determinado pelo sinal do numerador. Assim, vemos facilmente ( tem como gráfico uma parábola com concavidade para baio interceptando o eio das abscissas em = ± 7) que f () < 0 em (, 7) ( 7, + ) e f () > 0 75 CEDERJ

22 Eercícios resolvidos. em ( 7, 7). Concluímos, então, que f é decrescente em (, 7) ( 7, + ) e crescente em ( 7, 7). (iv) Pelo item (iii), os pontos críticos de f são = ± 7. De posse dos sinais de f () temos, pelo teste da derivada primeira, que f possui um mínimo relativo em = 7 e um máimo relativo em = 7. Poderíamos usar o teste da derivada segunda para chegar a mesma conclusão. Com efeito, f () = 03 0 ( +7) 3 para todo R. Como f ( 7) = f ( 7) = 0, f ( 7) > 0 e f ( 7) < 0, segue do teste da derivada segunda que f possui um mínimo relativo em = 7 e um máimo relativo em = 7. (v) Como f é derivável para todo R e f () = 03 0 = 0 se, ( +7) 3 e somente se, = 0 ou = ±, para determinar os intervalos onde o gráfico de f tem concavidade para cima ou para baio, devemos estudar o sinal de f em (, ) (, 0) (0, ) (, + ). Sendo o denominador ( + 7) 3 > 0 para todo R, o sinal de f fica determinado pelo sinal do numerador. Como = (0 0), o sinal de f é o produto dos sinais das funções g() = e h() = 0 0. Dispondo esses dados na tabela de sinais, conforme a Figura 3.4, 0 f () Figura 3.4 obtemos que o gráfico de f tem concavidade para cima em (, 0) (, + ) e concavidade para baio em (, ) (0, ). (vi) Pelo item (v), os únicos pontos de mudança de concavidade do gráfico de f são (, f( )), (0, f(0)) = (0, 0) e (, f( )). Como o gráfico de f possui reta tangente em cada um deles (f é derivável em 0, e ), eles são os únicos pontos de infleão do gráfico de f. Reunindo todas as informações podemos, agora, esboçar o gráfico de f (ver a Figura 3.5). CEDERJ 76

23 Eercícios resolvidos. MÓDULO - AULA Figura 3.5 Eercício 4: Se f() = a 3 + b + c + d, determine a, b, c, e d tais que o gráfico de f possua um ponto de infleão em (, ) e tais que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f neste ponto seja. Solução: Primeiramente, como (, ) deve ser um ponto do gráfico de f, temos que f() =, ou seja, a + b + c + d =. Em segundo lugar, como o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico no ponto (, ) é dado por f (), obtemos de f () = 3a + b + c e f () = que 3a + b + c =. Finalmente, como queremos que (, ) seja ponto de infleão e como f () eiste, pela Proposição 9. devemos ter f () = 0, ou seja, 6a + b = 0. Obtemos, assim, o sistema a + b + c + d =, 3a + b + c =, 6a + b = 0. Resolvendo o sistema, obtemos b = 3a, c = + 3a e d = 4 a. Assim, para qualquer valor de a, obtemos b, c, e d tais que a respectiva função f satisfaz as propriedades desejadas. Por eemplo, se tomarmos a =, obtemos b = 3, c = e d = 3, ou seja, a função f() = satisfaz as propriedades desejadas. Forneça outros eemplos de funções satisfazendo as propriedades desejadas. Resumo Esses eercícios avaliam todo o conteúdo visto até aqui nesse módulo. A partir dessas resoluções você pode, inclusive, tirar dúvidas de eercícios de aulas anteriores nos quais tenha tido dúvida ou não tenha conseguido resolver. Nesses casos, retorne à(s) aula(s) em questão e refaça-os. Se persistir a dúvida, procure o tutor no pólo. 77 CEDERJ

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25 Etremos absolutos. MÓDULO - AULA 4 Aula 4 Etremos absolutos. Objetivo Aplicar o Teorema de Weierstrass, visto na aula 7, para resolver problemas de máimos e mínimos absolutos. Referências: Aulas 7, e. Na aula você foi apresentado aos conceitos de máimo e mínimo relativo de funções. Uma pergunta natural a se fazer é: qual a justificativa para a utilização do termo relativo quando se fala de máimos e mínimos? Para responder a essa pergunta, vejamos dois eemplos. Eemplo 4. Considere a função f() = Sendo f duas vezes derivável em R, podemos aplicar o teste da derivada segunda para determinar os pontos de máimo e mínimo relativos de f. Como f () = , temos que f () = 0 se, e somente se, = ou = 3. Sendo f () = 6+4, f ( ) = 8 < 0 e f ( 3) = 8 > 0, segue que f possui um máimo relativo em = e um mínimo relativo em =. Por outro lado, como f() = e 3 f() = +, eistem valores de para os quais f() > f( ) e eistem + valores de para os quais f() < f ( 3). É por esse motivo que falamos em máimo relativo e em mínimo relativo. No nosso eemplo, f( ) não é o valor máimo assumido por f se considerarmos todos os valores de no domínio de f assim como f ( 3) não é o valor mínimo assumido por f se considerarmos todos os valores de no domínio de f. Um esboço do gráfico de f é apresentado na Figura /7 /3 Figura 4. Por outro lado, temos: 79 CEDERJ

26 Etremos absolutos. Eemplo 4. Considere a função f : [ 3, ] R definida por f() = , isto é, restringimos a função do Eemplo 4. ao intervalo [ 3, ]. É fácil ver que os valores f( ) e f ( 3) são, respectivamente, os valores máimo e mínimo assumidos por f dentre todos os valores de [ 3, ], isto é, f ( 3) f() f( ) para todo [ 3, ]. Isso justifica a definição a seguir: Definição 4. Dizemos que uma função f possui um máimo absoluto em um ponto, se f( ) f() para todo no domínio de f. Analogamente, f possui um mínimo absoluto em um ponto, se f( ) f() para todo no domínio de f. No primeiro caso, dizemos que f( ) é o valor máimo absoluto de f e, no segundo caso, dizemos que f( ) é o valor mínimo absoluto de f. Um ponto onde f possui um máimo ou mínimo absoluto é chamado de etremo absoluto de f. O Eemplo 4. mostra que uma função pode admitir máimo e mínimo relativo sem, entretanto, admitir máimo ou mínimo absoluto. Por outro lado, na aula 7, você foi apresentado ao Teorema de Weierstrass que dá uma condição para a eistência de etremos absolutos. Ele pode ser enunciado como se segue: Teorema 4. Se f : [a, b] R é uma função contínua, então f possui um máimo e um mínimo absoluto em [a, b]. Agora, note que um etremo absoluto de uma função contínua f : [a, b] R ou é um etremo relativo de f ou um etremo do intervalo. Para que uma função tenha um etremo relativo em um número c é condição necessária que c seja um ponto crítico. Assim, para determinar os etremos absolutos de f, você deve proceder da seguinte maneira: (a) determine os pontos críticos de f em (a, b); (b) determine f(a) e f(b). Compare, então, os valores assumidos por f nos pontos críticos, com f(a) e f(b); o maior dentre eles será o valor máimo absoluto assumido por f em [a, b]; o menor dentre eles será o valor mínimo absoluto assumido por f em [a, b]. CEDERJ 80 Vejamos um eemplo.

27 Etremos absolutos. MÓDULO - AULA 4 Eemplo 4.3 Considere a função f : [ 4, ] R definida por f() = , isto é, restringimos, agora, a função do Eemplo 4. ao intervalo [ 4, ]. Vimos que f possui um máimo relativo em = e um mínimo relativo em =. Além disso, f( 4) = 5, f( ) = 9, f( ) 3 3 = 3 e f() = 0. 7 Assim, f possui um máimo absoluto em = e um mínimo absoluto em = 4. Vamos, a partir de agora e até o fim desta aula, aplicar o teorema de Weierstrass para resolver alguns problemas interessantes. Eemplo 4.4 Um campo retangular, beirando um rio, vai ser cercado. O proprietário do terreno eigiu que o lado do campo que beira o rio não seja cercado. o material da cerca custa R$,00 por metro para os etremos do campo e R$3,00 por metro para o lado paralelo ao rio, qual a dimensão do campo de maior área possível que pode ser cercado com um custo de R$.00,00? Se y Figura 4. Queremos maimizar a área do campo a ser cercado levando-se em conta o custo ite de R$.00,00. Sejam = o número de metros de comprimento de um etremo do campo; y = o número de metros de comprimento do lado paralelo ao rio; A = o número de metros quadrados da área do campo. Então, A = y. Como o custo do material de cada etremo é de R$,00 por metro e o comprimento de um etremo é de metros, o custo total para cercar um etremo é de R$. Analogamente, o custo total para cercar o lado paralelo 8 CEDERJ

28 Etremos absolutos. ao rio é de R$3y. Temos, assim, + + 3y =.00. Queremos, agora, epressar a área A em termos de uma única variável. Tirando y como função de na equação acima e substituindo na equação da área, obtemos A() = ( ). Devemos, agora, determinar o intervalo de definição dessa função. Ora, como e y não podem ser negativos, devemos ter 0 e y = , donde 300. Desde que A é contínua no intervalo fechado [0, 300], concluímos pelo teorema de Weierstrass que A possui um máimo absoluto neste intervalo. Vamos determinar os pontos críticos de A() = Temos A () = ; assim, os pontos críticos de f são os valores 3 de para os quais A () = 0, ou seja, = 50, que pertence ao intervalo (0, 300). Portanto, o máimo absoluto de A é assumido em 0, 50 ou 300. Como A(0) = 0, A(50) = e A(300) = 0, concluímos que A assume seu máimo absoluto em = 50 metros. Assim, a maior área que pode ser cercada com R$.00 é de metros quadrados e isto é obtido quando o lado paralelo ao rio possuir 00 metros de comprimento e cada um dos etremos possuir 50 metros de comprimento. Eemplo 4.5 Duas cidades, A e B, ambas com energia elétrica, se situam em pontos opostos um ao outro nas margens de um rio reto de 30 km de largura. Uma terceira cidade C se situa a 60km rio abaio da cidade B e não tem energia elétrica. Uma companhia de energia elétrica decidiu fornecer-lhe energia. Visto que a energia seria fornecida pela usina situada na cidade A e sendo o custo por km de cabeamento por água 5% mais caro que o custo por km do cabeamento por terra, qual deveria ser o cabeamento feito pela companhia para que o custo final fosse o mais barato? Queremos determinar um ponto P entre as cidades B e C de maneira que o cabeamento por água mais o cabeamento por terra de P a C tenha o menor custo final. CEDERJ 8

29 Etremos absolutos. MÓDULO - AULA 4 C B A Figura 4.3 Sejam = a distância (em quilômetros) de B a P; c = o custo por quilômetro do cabeamento por água. Como a distância de A a B é de 30km, temos que a distância de A a P é a hipotenusa do triângulo retângulo ABP, isto é, Sendo o cabeamento de A a P feito por água, o custo para a ligação é de c O custo do cabeamento de P a C é de 00 c(60 ), visto que o custo por 5 terra T mais 5 T é igual ao custo por água c e a distância de P a C é Assim, o custo total é de C() = c c(60 ) (ver a Figura 5 4.4). Como varia de 0 a 60, queremos encontrar o mínimo absoluto da função contínua C() no intervalo [0, 60]. P Figura 4.4 Temos que C () = c c 5 valores de para os quais C () = 0, ou seja,. Assim, os pontos críticos são os 900+ = 00 5, ou seja, = 600. Obtemos, portanto, = 40km. Como C(0) = 78c, C(40) = 66c e C(60) = c 4.500, concluímos que o cabeamento mais barato para a companhia é ligar, por água, a cidade A a um ponto P distante de B 40km rio abaio e, em seguida, por terra, ligar P a C. 83 CEDERJ

30 Etremos absolutos. Eemplo 4.6 Um monopolista determina que o custo total de produção de unidades de certa mercadoria é C() = A equação de demanda é + 50p = 5.000, onde são solicitadas unidades por semana a um preço de p reais por unidade. Se o lucro semanal deve ser maimizado, determine: (a) o número de unidades que se deve produzir a cada semana; (b) o preço de cada unidade; (c) o lucro semanal. A função preço por unidade ao se demandar unidades por semana da mercadoria é P () = , onde [0, 5.000], pois e P () devem ser não negativos. Assim, a receita ao se vender unidades por semana é R() = P () = Sendo o lucro igual a receita menos despesa, 50 obtemos que o lucro é dado pela função L() = , 50 definida para [0, 5.000]. Determinemos qual a produção para que se obtenha lucro máimo. Um máimo relativo de L em (0, 5.000) é um ponto tal que L () = 0 e L () < 0. Temos L () = 00 5 = 0 se, e somente se, = Como L () = < 0 para todo (0, 5.000), L possui um máimo 50 relativo em =.875. Agora, sendo L(0) = 0.000, L(.875) = 50.3, 5 e L(5.000) = , temos que L possui um máimo absoluto em =.875. Assim, o lucro máimo é obtido ao se produzir.875 unidades da mercadoria por semana. O preço de cada unidade será P (875) = = 6, 5 reais e o lucro semanal será de L(875) = 50.3, 5 reais. Eemplo 4.7 O navio A está 60km a leste do navio B viajando para o sul a 0km por hora, enquanto o navio B está indo para o leste a uma velocidade de 5km por hora. Se os navios continuam seus respectivos cursos, determine a menor distância entre eles e quando isto ocorrerá. B A 0 CEDERJ 84 Figura 4.5

31 Etremos absolutos. MÓDULO - AULA 4 Q B P 5 t km 0 km t A t Figura 4.6 Na Figura 4.5, P representa a posição original do navio A e Q a posição original do navio B. Após t horas, o navio A terá se deslocado 0t km enquanto o navio B terá se deslocado 5t km. Pelo Teorema de Pitágoras, a distância entre os dois neste momento será de y = y(t) = (0t) + (60 5t) = 65t 800t km. É claro que y(t) será mínima quando 65t 800t for mínima. Seja então f(t) = 65t 800t , definida para t [0. + ). Como f (t) = 50t 800, o único ponto crítico de f é t = 80. Além disso, f (t) < 5 0 para t ( ) 0, 80 5 e f (t) > 0 para t > 80; logo, f é decrescente em ( ) 0, e crescente em ( 80, + ). Vemos, assim, que t = 80 é o ponto de mínimo 5 5 absoluto de f. Portanto, a distância mínima entre os dois navios ocorre após ter passado 80 5 =, 44 horas e é dada por y(, 44) = (8, 8) + (, 6) = 96 = 36km. Resumo Nesta aula você aprendeu a determinar os etremos absolutos de uma função definida em um intervalo fechado e itado, percebendo, através das aplicações que fizemos, a importância do teorema de Weierstrass na resolução de problemas concretos. 85 CEDERJ

32 Etremos absolutos. Eercícios. Determine os etremos absolutos das funções dadas nos intervalos indicados. (a) f() = ( + ) em [, ] (b) f() = sen(π π 3π) em [ 3, 3] { + se <, (c) f() = em [ 6, 5] se (d) f() = ( + ) 3 em [ 4, 3] (e) f() = em [, 3] (f) f() = 4 + em [0, 6] (g) 4 em [, ].. Uma área retangular é cercada por 500m de grade. Determine as dimensões do retângulo de área máima. 3. Encontre dois números reais positivos cuja soma seja 6 e o produto seja máimo. 4. Uma folha de papel dispõe de 8 centímetros quadrados para impressão de um teto informativo. As margens superior e inferior estão a centímetros da etremidade correspondente do papel. Cada margem lateral deve ser de centímetro. Quais as dimensões da folha de papel para que sua área total seja mínima? 5. Determine as dimensões do cilindro de maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio igual a 6 centímetros. 6. Uma lâmpada L de vapor de sódio será colocada no topo de um poste de altura metros para iluminar um jardim J situado em um espaço público bastante visitado (Figura 4.7). O pé P do poste precisa estar localizado a 40 metros de J. Se r = LJ é a distância da lâmpada ao jardim J e α é o ângulo PJL, então a intensidade de iluminação I em J é proporcional ao seno de α e inversamente proporcional a r ; assim, I = csenα, onde c é uma constante. Ache o valor máimo de que r maimiza I. CEDERJ 86

33 Etremos absolutos. MÓDULO - AULA 4 L r = LJ P 40 m Figura Uma empresa de porte médio observou que uma secretária trabalha efetivamente 30 horas por semana. Entretanto, se outras secretárias forem empregadas, o resultado de sua conversa provocará uma redução no número efetivo de horas trabalhadas por semana e por secretária de 30( ) 33 horas, onde é o número total de secretárias empregadas. Quantas secretárias devem ser empregadas para produzir o máimo de trabalho efetivo por semana? 8. A equação de demanda de uma certa mercadoria é 0 6 p = , onde é o número de unidades produzidas semanalmente, p reais é o preço de cada unidade e 00. O custo de produção da cada unidade é dado por c() = Encontre o número de unidades que devem ser produzidas semanalmente e o preço de cada unidade para que o lucro semanal seja máimo. 9. Dada a circunferência +y = 9, encontre a menor distância do ponto (4, 5) a um ponto da circunferência. Auto-avaliação Nesta aula, você deve demonstrar domínio dos conteúdos vistos nas aulas e. Entretanto para que você tenha êito na resolução dos eercícios você deve demonstrar, também, conhecimento de geometria plana e espacial ( área e perímetro de polígonos, volume e área da superfície de sólidos), geometria analítica (equações de cônicas, distância entre dois pontos, no plano e no espaço) e dominar alguns conceitos básicos de contabilidade, tais como, receita, despesa, lucro, etc... Caso persista alguma dúvida, procure o tutor no seu pólo. 87 CEDERJ

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35 Eercícios resolvidos. MÓDULO - AULA 5 Aula 5 Eercícios resolvidos. Objetivo aplicados. Fiar o conteúdo da aula 4 dando ênfase à resolução de problemas Referência: Aula 4. Eercício : Determine o volume da maior caia, sem tampa, que pode ser feita com um pedaço quadrado de papelão de 8cm de lado através do corte de quadrados iguais nos quatro cantos do papelão e dobrando-se os lados. Solução: Sejam o lado dos quadrados do papelão a serem recortados e V o volume (em centímetros cúbicos) da caia. As dimensões em centímetros da caia são, (8 ) e (8 ). A Figura 5.a representa o pedaço de papelão e a Figuta 5.b representa a caia. 8 cm (a) Figura 5. (b) O volume da caia é, portanto, V = V () = (8 ). Se = 0 ou = 4, V () = 0. Assim, o valor de procurado está no intervalo [0, 4]. Um máimo relativo de V () em (0, 4) é um ponto (0, 4) tal que V () = 0 e V () < 0. Como V () = , V () = 0 se, e somente se, = 4 ou = 4 3 ; o único ponto crítico de V () em (0, 4) é, portanto, = 4 3. ( Além disso, V () = 6 6, donde V 4 3) < 0, mostrando que = 4 é o 3 ponto de máimo relativo em (0, 4). Como V (0) = V (4) = 0 e V ( ) 4 3 = 04, 7 concluímos que o volume máimo que pode ser obtido é de 04 centímetros 7 cúbicos e isto ocorre quando os lados dos quadrados recortados medem 4 3 centímetros. 89 CEDERJ

36 Eercícios resolvidos. Eercício : Encontre as dimensões do cone circular de volume máimo que pode ser inscrito em uma esfera de 4 centímetros de raio. Solução: O volume do cone é dado por V = 3 πr h, onde h é a altura do cone e r o raio da base do cone. Na Figura 5., O é o centro da esfera e A o centro da base circular do cone. C O A B Figura 5. Denotamos por OA o comprimento do segmento ligando os pontos O e A. Assim, h = AC = 4 + OA e r = AB. Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo OAB, obtemos r = 6 OA. Por outro lado, OA = (h 4), ou seja, r = 6 (h 4). Portanto, o volume do cone é dado por V = V (h) = 3 π(6 (h 4) )h = 8 3 πh 3 πh3, h [0, 8]. Como V (h) = 6πh 3 πh, segue que o ponto crítico de V (h) em (0, 8) é h = 6. Como V (0) = V (8) = 0 e V ( ) = 048π, o volume máimo é atin- 8 gido quando h = 6 3 centímetros e r = 6 ( 6 3 4) = 8 3 centímetros. Ercício 3: Um arremessador de peso lança sua bola de ferro de tal forma que a altura em metros atingida pela bola é epressa por y() = m (m + ) 800, onde m é o coeficiente angular da trajetória no momento do arremesso e é a distância do ponto de lançamento até a projeção, no nível horizontal, da posição da bola em um instante dado (ver a Figura 5.3). Determine o valor de m para o qual o arremesso é o melhor possível. CEDERJ 90

37 Eercícios resolvidos. MÓDULO - AULA 5 X Figura 5.3 Solução: Estamos procurando o valor de m para o qual, ao tocar o chão, a distância percorrida pela bola seja máima. Para qualquer valor de m, a bola toca o chão quando y = 0, isto é, quando m = (m + ) 800. Determinando, obtemos = (m) = 800m m +. Nosso problema é, portanto, encontrar o valor de m que maimize a função (m), m (0, + ). Derivando (m), temos (m) = 800 m (m +) ; m = é, portanto, o único ponto crítico. A solução m = indicaria que para se obter o melhor arremesso a bola deveria partir com uma inclinação de 45 e, neste caso, a distância atingida seria de 400 metros. Não é difícil acreditar que, de fato, o coeficiente angular m = maimiza (m). Por via das dúvidas, comprovemos nossa crença. O sinal de (m) é determinado pelos sinal do numerador m. Como (m) > 0 em (0, ) e (m) < 0 em (, + ), segue que (m) possui um máimo absoluto em m =. Uma outra pergunta que poderíamos fazer é: fiado um coeficiente angular m, a que distância do lançamento a altura y da bola seria máima? Neste caso, o valor m é uma constante e procuramos o valor de (0, + ) para o qual y() = m (m + ) é máimo. 800 Visto que dy = m (m +) = 0 se, e somente se, = 400m e d y = d 400 m + d m + < 0 para todo > 0, concluímos que y() possui um máimo relativo 400 em = 400m. Pelo sinal da derivada, vemos que y é crescente em ( 0, 400m m + m +) e decrescente em ( 400m, + ). Concluimos, portanto, que y possui um máimo m + absoluto em = 400m. m + Comparemos, agora, com a resposta da primeira pergunta: ao tomarmos m = vemos que a altura máima é obtida quando = 00 metros, isto é, a meio caminho entre o lançamento e o ponto onde a bola toca o chão. Bastante razoável você não acha? 9 CEDERJ

38 Eercícios resolvidos. Eercício 4: Um hotel de um andar com área retangular de metros quadrados será construído. Segundo a legislação vigente, constatou-se que a construção deve ser feita de maneira que se tenha uma área livre de metros na frente, metros nos fundos e 5 metros de cada lado. Encontre as dimensões do lote de área mínima no qual pode ser construído este hotel. Solução: A Figura 5.4 representa o lote e o hotel vistos de cima, respeitadas as eigências da legislação. m 5 m m Figura 5.4 Sendo as dimensões do lote dadas por l e h, segue que os lados do hotel são l 30 e h 44. Assim, = (l 30)(h 44), donde l = h h 44. Sendo a área do lote dada por A = lh, substituindo a epressão de l, obtemos A = A(h) =.880h + 30h h 44 Note que, pelos dados do problema, h > 44. Como A (h) = 3h 64h (h 44) os pontos críticos de A(h) são os valores de h (44, + ) que satisfazem 3h 64h = 0. Logo, o único ponto crítico é h = 44( + 0). Note que, pelo sinal da derivada, A(h) é decrescente em (44, 44( + 0)) e crescente em (44( + 0), + ). Concluímos, assim, que A(h) possui um mínimo absoluto em h = 44( + 0) e as dimensões do lote de área mínima são dadas por h = 44( + 0) metros e l = 30( + 0) metros. CEDERJ 9

39 Eercícios resolvidos. MÓDULO - AULA 5 Eercício 5: Para produzir uma determinada peça do sistema de freios de um automóvel, uma fábrica de autopeças tem C() reais de custo para produzir semanalmente unidades da referida peça, onde C() = Se a demanda por unidades semanais é de + 5p = 950, onde p reais é o preço por unidade, determine o número de peças que devem ser produzidas para se obter o lucro máimo. Solução: Como o preço por unidade é p = reais, [0, 950] ( e p são não negativos), a receita por unidades da peça é R() = Sendo o lucro L() igual a receita menos a despesa, temos L() = Um ponto de máimo relativo de L em (0, 950) é um ponto tal que L () = 0 e L () < 0. Sendo L () = +00 e L () = para todo (0, 950), concluímos que = 00 é o único ponto de máimo relativo em (0, 950). 5 5 Finalmente, como L(0) = 300, L(00) =.00 3 e L(950) < 0, para obter o lucro máimo a fábrica deve produzir 00 peças por semana e vender cada peça por R$56,66. Eercício 6: No Eercício 5, suponha, também, que o governo eija 80 centavos de imposto por unidade produzida. Quantas unidades devem ser produzidas semanalmente para se obter o lucro máimo? Solução: Com o imposto acrescentado, o custo total passa a ser C() = , 80; portanto, a função lucro passa a ser L() = , 8 300, [0, 950]. Como L () = +88 e L () = < 0 para 5 5 todo (0, 950), concluímos, como no Eercício 6, que = 94 é o ponto de máimo absoluto, ou seja, para obter lucro máimo a fábrica deve produzir 94 peças por semana e vender cada peça por R$57,06. É interessante notar que, ao compararmos os resultados dos Eercícios 5 e 6, o aumento total de 80 centavos não deve ser repassado integralmente para o consumidor para que o lucro semanal máimo seja atingido. O fabricante deve repassar somente 40 centavos para o consumidor. O que esse resultado está nos dizendo é que o consumidor resiste a grandes variações de preço. 93 CEDERJ

40 Eercícios resolvidos. Eercício 7: Uma empresa de seguro de saúde fez um acordo com a Associação de Docentes de uma universidade no qual, a partir do professor, cada novo professor segurado teria um desconto de por cento no valor do plano individual. Adimitindo-se que no acordo não se pode incluir dependentes, qual o número de professores necessários para que a empresa tenha receita máima? Solução: Sejam o número de professores segurados e R$a o valor do seguro sem desconto por professor. Se, a receita da empresa é dada por a reais. Por outro lado, se >, o número de professores que receberão o desconto de por cento é igual a ( ), ou seja, devemos diminuir de a o valor de ( )a reais. Assim, a receita total da empresa é dada por 00 a se [ 0, ] R() = a ( ) a se >. 00 Temos que R é contínua em [0, + ), não é derivável em = e a se 0 <, R () = 4 00 a 4 a se >. 00 Portanto, os pontos críticos de R são = e = 3. Como R () > 0 em (0, ) e também em (, 3), temos que R é crescente em [0, 3]. Mas R () < 0 para > 3; logo, = 3 é o ponto de máimo absoluto de R. Assim, com 3 professores a empresa terá receita máima. Resumo Esses eercícios comentados devem ter contribuído para sua compreensão da aula 4. Além disso, você deve ter sanado algumas dúvidas em eercícios nos quais teve dificuldade ou não conseguiu resolver. Se esse for o caso, retorne a eles e refaça-os. CEDERJ 94

41 A regra de L Hôpital. MÓDULO - AULA 6 Aula 6 A regra de L Hôpital. Objetivo Usar a derivada para determinar certos ites onde as propriedades básicas de ites, vistas nas aulas 3, 4, e 5, não se aplicam. Referência: Aulas 3, 4, 5 e 0. Você se lembra de que, na aula 3, do módulo, vimos como conseqüência das Proposições 3. e 3.3 que, se a f() = l e a g() = l, f() com l 0, então a f() = a g() l = g() l. a No caso em que g() = 0 esta regra não pode ser aplicada. É o a caso, por eemplo, do que, como vimos, não eiste. É o caso, também, 0 do. Para determinar este ite lançamos mão da fatoração de polinômios. Obtemos que este ite é igual a O sen 0 ( )( ) ( )( 3) = 3 =., visto na aula 4, é um outro eemplo dessa situação. Mostramos que este ite é igual a usando outras técnicas. Uma pergunta natural a se fazer é: eiste uma maneira mais simples de determinar ites de funções quando as propriedades elementares por nós conhecidas não se aplicam? Daremos a resposta a esta pergunta em alguns casos. O que veremos agora é que, sob certas hipóteses, podemos usar a derivada para determinar no caso em que f() = 0 e g() = 0. f() a g() a a Iniciemos pela forma indeterminada 0. 0 Definição 6. Quando f() = 0 e g() = 0, dizemos que a função a a f() tem a forma indeterminada 0 em a g() 0 Veremos, agora, um método geral para encontrar o ite de uma função que tem a forma indeterminanda 0 em um número a. Este método é atribuído 0 ao matemático amador francês Guillaume François de L Hôpital (66-707), que escreveu o primeiro livro de Cálculo, publicado em 696. Este método é conhecido como regra de L Hôpital. 95 CEDERJ

42 A regra de L Hôpital. Teorema 6. (regra de L Hôpital) f () a Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo aberto I, eceto possivelmente em um ponto a I. Suponha que para todo a em I, g () 0. Suponha, além disso, que f() = 0 e g() = 0. Então, se = L, a a g () f() segue que = L. a g() O que o teorema nos diz é que se f() tem a forma indeterminada 0 em g() 0 a e se a derivada do numerador f () e do denominador g () são tais que f () a g () = L, então = L. g() a f() O teorema também é válido se todos os ites forem ites à direita ou se todos os ites forem ites à esquerda. É o caso, por eemplo, quando o ponto a for o etremo inferior de I ou o etremo superior de I. eemplos. Antes de demonstrar o teorema, vamos ilustrar seu uso em alguns Eemplo 6. Usando fatoração de polinômios, vimos que 3+ =. Como 5+6 ( 3 + ) = 0 e ( 5 + 6) = 0, podemos aplicar a regra de L Hôpital para obter Eemplo = 3 5 =. sen Já sabemos que =. Como sen = 0 e = 0, podemos aplicar a regra de L Hôpital para obter Eemplo 6.3 sen 0 cos = =. 0 cos Vamos determinar o. 0 sen Temos (cos ) = 0 e sen = 0; aplicando a regra de 0 0 L Hôpital, temos cos 0 sen 4(cos)( sen) cos = = 0 (sen)(cos) 0 cos =. O eemplo a seguir mostra que a regra de L Hôpital pode ser aplicada repetidas vezes desde que em cada etapa as condições do Teorema 6. sejam satisfeitas. CEDERJ 96

43 A regra de L Hôpital. MÓDULO - AULA 6 Eemplo 6.4 Determinemos o 0 cos(). em a = 0, pode- Como a função tem a forma indeterminada 0 cos() 0 mos aplicar a regra de l Hôpital para obter 0 cos() = 0 sen() = 0 sen(). Como = 0 e sen() = 0, podemos, de novo, aplicar a regra 0 0 de l Hôpital para obter 0 cos() = 0 sen() = 0 cos() =. Na aula 6 você foi apresentado ao teorema do valor médio. Agora, para demonstrar o Teorema 6., necessitamos do teorema conhecido como o teorema do valor médio de Cauchy que é uma etensão do teorema do valor médio. Este teorema é atribuído ao matemático francês Augustin Louis Cauchy ( ). Teorema 6. (Teorema do valor médio de Cauchy) Sejam f e g duas funções tais que: (a) f e g são contínuas no intervalo fechado [a, b]; (b) f e g são deriváveis no intervalo aberto (a, b); (c) g () 0 para todo (a, b). Então eiste pelo menos um número c (a, b) tal que f(b) f(a) g(b) g(a) = f (c) g (c). Demonstração: Observe que, se g(a) = g(b), então pelo teorema de Rolle (visto na aula 6) eiste (a, b) tal que g () = 0, o que contraria a hipótese do teorema. Portanto, g(a) g(b), isto é, g(b) g(a) 0. Considere a função h definida por h() = [f(b) f(a)]g() [g(b) g(a)]f() para [a, b]. Evidentemente, h é contínua em [a, b], pois f e g são contínuas em [a, b]. Analogamente, como f e g são deriváveis em (a, b), segue que h é derivável em (a, b) e h () = [f(b) f(a)]g () [g(b) g(a)]f () para (a, b). 97 CEDERJ

44 A regra de L Hôpital. Agora, h(b) = [f(b) f(a)]g(b) [g(b) g(a)]f(b) = f(b)g(a) f(a)g(b) e h(a) = [f(b) f(a)]g(a) [g(b) g(a)]f(a) = f(b)g(a) f(a)g(b). ou seja, h(a) = h(b). Podemos, portanto, aplicar o teorema de Rolle à função h e concluir que eiste um número c (a, b) tal que h (c) = 0, isto é, 0 = [f(b) f(a)]g (c) [g(b) g(a)]f (c). Como g(b) g(a) 0 e, por hipótese, g (c) 0, concluímos da última igualdade que provando assim o teorema. f(b) f(a) g(b) g(a) = f (c) g (c), Você pode observar que se a função g é dada por g() =, então g () = e a conclusão do teorema se reduz à conclusão do teorema do valor médio. Agora, estamos prontos para demonstrar o Teorema 6.. Note que, se provarmos a regra de l Hôpital para o caso em que se aproima de a pela direita e o caso em que se aproima de a pela esquerda, o teorema estará provado, pois a igualdade dos ites laterais garante a conclusão do teorema. Faremos a demonstração para o ite à direita; o outro caso é análogo. Demonstração do Teorema 6.: Vamos mostrar que se f() = 0, + g() = 0 e a + f () a + g () f() = L, então = L. a + g() Considere as funções F e G definidas por F () = { f() se a, 0 se = a; Seja b I tal que b > a. e G() = { a g() se a, 0 se = a. Como f e g são deriváveis em I, eceto possivelmente em = a, temos que F e G são deriváveis em (a, ] para todo (a, b) e, portanto, contínuas em (a, ] para todo (a, b). Note também que, como F () = f() = 0 = F (a) e G() = g() = a + a + a + a + 0 = G(a), concluímos que F e G são contínuas em cada intervalo [a, ], para todo (a, b). Vemos, assim, que F e G satisfazem as hipóteses do teorema CEDERJ 98

45 A regra de L Hôpital. MÓDULO - AULA 6 do valor médio de Cauchy em cada intervalo [a, ], para (a, b). Segue, então, que para cada (a, b) eiste c (a, ) tal que F () F (a) G() G(a) = F (c ) G (c ), ou seja, f() g() = f (c ) g (c ). É importante observar que o número c depende de visto que, para cada (a, b), o intervalo (a, ) ao qual c pertence, varia. Por outro lado, quando a +, também c a + ; conseqüentemente, f() a + g() = f (c ) a + g (c ) = f (c ) c a + g (c ) = f () a + g () = L, o que prova o teorema. Veremos, agora, que a regra de l Hôpital também é válida no caso em que + e no caso em que. Enunciaremos e demonstraremos somente o primeiro caso; o segundo, deiaremos como eercício (ver o Eercício 3). Teorema 6.3 Sejam f e g duas funções deriváveis em um intervalo aberto (a, + ), sendo a uma constante positiva e g () 0 para todo (a, + ). Suponha que f() = 0 e g() = 0. Então, se + + segue que f () + g () = L, f() + g() = L. Demonstração: Fazendo t = para > a, segue que = t com 0 < t < a e t 0+ quando +. Considere as funções F e G definidas por ( ) ( ) ( F (t) = f e G(t) = g para t 0, ). t t a Note que t 0 +F (t) = ) t 0 +G(t) = t 0 +g( t = + ) t 0 +f( t = f() = 0. Analogamente, + g() = CEDERJ

46 A regra de L Hôpital. Pela regra da cadeia, F e G são deriváveis em ( 0, a) e F (t) = ( ) t f e G (t) = ( ) t t g para t t ( 0, ). a obtemos logo, Aplicando o Teorema 6. às funções F e G no intervalo ( 0, a), F (t) t 0 + G(t) = F (t) t 0 + G (t) ; f() + g() = f( ) t t 0 + g( ) = F (t) t 0 t + G(t) = F (t) t 0 + G (t) = f t 0 + = ( ) t g ( ) = t o que completa a prova do teorema. Vejamos um eemplo. Eemplo 6.5 ( ) sen O ( + sen f () + g () = L, ) é tal que + sen( ) = 0 e + sen( ) = 0. Podemos, assim, aplicar o Teorema 6.3 para obter sen ( ) cos ( ) ) = + + sen ( cos ( ) = + cos ( ) cos ( ) =. Agora, passaremos ao estudo de outras formas indeterminadas. Vejamos a forma indeterminada Se você quiser determinar o π sec, você não pode aplicar a propri- sec (3) edade do quociente, pois sec = + e sec (3) = +. Veremos, π π agora, que a regra de l Hôpital também se aplica a uma forma indeterminada deste tipo. Definição 6. Quando f() = + e g() = +, dizemos que a a a função f() tem a forma indeterminada em a. g() Você deve observar na definição que as formas, e + são, todas + elas, indeterminações do tipo. O teorema que veremos a seguir é a regra de l Hôpital para a forma indeterminada do tipo. Sua demonstração será omitida, pois está além dos objetivos deste curso. CEDERJ 00

47 A regra de L Hôpital. MÓDULO - AULA 6 Teorema 6.4 Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo aberto I, eceto possivelmente em um ponto a I. Suponha que g () 0 para todo a em I. Suponha, além disso, que a f() = + e a g() = +. Então, se segue que f () a g () = L, f() a g() = L. O Teorema 6.4 também vale no caso em que ainda válido se considerarmos ites laterais. Eemplo 6.6 7tg Determinemos o π sec. Como π + Teorema 6.4 para obter Eemplo 6.7 Determinemos o Como f () a g () = ±, sendo 7tg = e + sec) =, podemos aplicar o π +(5 π + + 7tg 5 + sec = π + cos ( + = + e regra de l Hôpital para obter + cos ( ). 7sec (sec)(tg) = 7sec = π + tg = = π + 7 cos sen cos = 7 = π + sen = 7. ( cos ) ) + ( =, podemos aplicar a ) = + ( )( ( sen )) = = ( + )( ( sen = +. )) 0 CEDERJ

48 A regra de L Hôpital. Veremos, agora, mais dois casos de formas indeterminadas. São elas as formas indeterminadas.0 e. Definição 6.3 Se f() = + e g() = 0, dizemos que o produto a a f().g() tem a forma indeterminada.0. g() /f() Para determinar f().g(), escrevemos f().g() como ou a como f(). No primeiro caso, obtemos a forma indeterminada 0 e, no segundo caso, obtemos a forma indeterminada. A escolha de uma das duas /g() 0 formas dependerá de qual delas é a mais conveniente, em cada caso. Eemplo 6.8 Calculemos o Como π π ( π ) sec(5). ( π ) = 0 e sec(5) = +, temos uma forma π ( ) ) sec(5) como indeterminada do tipo.0. Escrevendo ( π, obtemos sec(5) uma indeterminação da forma 0. Aplicando a regra de l Hôpital, obtemos 0 ( π ) ( ) π sec(5) = = π π sec(5) π = π 5sec(5).tg(5) sec (5) = = π = π 5tg(5) sec(5) 5tg(5) sec (5) = = /cos(5) = π 5sen(5)/cos(5) = = π 5sen(5) = 5. Você deve estar se perguntando porque não foi feita a escolha de se escrever ( ) π sec(5) como sec(5) ( ). O motivo é que ao derivar o numerador π e o denominador deste quociente, obtemos 5sec(5)tg(5) ( ) o que, convenhamos, π CEDERJ 0

49 A regra de L Hôpital. MÓDULO - AULA 6 não ajuda em nada. Por isso, a escolha entre as duas formas de escrita do produto f().g() como um quociente deve ser feita levando-se em conta qual dentre elas facilita a aplicação da regra de l Hôpital. É claro, também, que poderíamos ter determinado este ite muito mais facilmente escrevendo ( ( ) ) π sec(5) como π, obtendo a forma cos(5) indeterminada 0 que, neste caso, tem solução bem mais simples. A opção 0 pela solução apresentada teve como objetivo ilustrar a técnica no caso de uma indeterminação da forma.0. Definição 6.4 Se f() = + e g() = +, dizemos que a diferença a a f() g() tem a forma indeterminada. Para resolver este tipo de indeterminação escreva f() g() como /g() /f() /f()g(), observando que esse último quociente tem a forma indeterminada 0 0. Eemplo 6.9 Calculemos o 0 + sen ( sen ). Claramente sen como sen sen, obtemos ( 0 + sen ) sen = 0 + sen tem a forma indeterminada. Escrevendo = cos 0 + sen + cos, que, de novo, tem a forma indeterminada 0. Aplicando novamente a regra 0 de l Hôpital, obtemos ( 0 + sen ) = 0 + sen sen = cos = 0 + sen + cos = sen = 0 + cos sen = 0 = 0. A regra de l Hôpital se aplica a outras formas de indeterminação, a saber, 0 0, 0 e. Entretanto, para tratá-las, necessitaremos das funções logarítmica e eponencial, que serão estudadas nas aulas 36, 37, 38 e CEDERJ

50 A regra de L Hôpital. Resumo Nesta aula você constatou, mais uma vez, a importância da derivada que, neste caso, através da regra de L Hôpital, se mostrou etremamente eficaz para o cálculo de certos ites. Eercícios. Encontre todos os valores de c, no intervalo [a, b] dado, que satisfaçam a conclusão do teorema do valor médio de Cauchy para o par de funções dadas. (a) f() = 3, g() = ; [a, b] = [0, ]. (b) f() = cos, g() = sen; [a, b] = [0, π ]. (c) f() = +, g() = + ; [a, b] = [0, ]. (d) f() = tg, g() = 4 π ; [a, b] = [ π 4, π 4 ]. (e) f() = ( ), g() = ; [a, b] = [, ].. Use a regra de l Hôpital para calcular cada um dos ites abaio: (a) sen(π) (b) 0 tg sen(/) (c) + / sen (d) 0 sen( ) (e) 0 + cos cos(3) sen( 3 ) (f) 0 cos(/) tg(3/) (g) + sen(7/). 5/ 3. Enuncie e demonstre o Teorema 6.3 no caso em que. 4. Use a regra de l Hôpital para calcular cada um dos ites abaio: + sec π tg (d) tg tg() (e) π + ( ) (f) + (h) π ( sen cos sec(3π) (b) + tg(3π) ). ( ) (c) sen(π + ) + (g) 0 5. Mostre que n n+ (n + ) n + ( ) = n(n + ). CEDERJ 04

51 A regra de L Hôpital. MÓDULO - AULA 6 Auto-avaliação Nesta aula você aprendeu uma nova técnica para calcular ites. Os eercícios propostos eigem o domínio das regras de derivação e a identificação, em cada caso, da forma de indeterminação da regra de l Hôpital a ser aplicada. Caso persista alguma dúvida, releia a aula com atenção ou procure o tutor no seu pólo. 05 CEDERJ

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53 O Teorema da função inversa. MÓDULO - AULA 7 Aula 7 O Teorema da função inversa. Objetivos Relembrar a noção de inversa de uma função e estudar a derivabilidade da inversa de uma função derivável. Referência: Aulas, 9,0 e. Inicialmente, relembremos o conceito de inversa de uma função, já estudado na disciplina de Pré-Cálculo (aulas 36 e 39, do módulo 4). Por questões de objetividade, nos restringiremos às funções contínuas definidas em intervalos. Eemplo 7. Considere a função f : R R definida por f() =. Note que a imagem de f é o conjunto f(r) = [, + ). A pergunta que queremos responder é: dado qualquer R e y = f() [, + ], é possível encontrar uma função g : [, + ) R tal que g(f()) = g(y) =? Responder a essa pergunta equivale a determinar se a solução da equação y = nos dá a variável como uma função da variável y, concorda? Ora, resolvendo a equação, obtemos = ± y +, ou seja, para cada y (, + ) há dois valores de para os quais f() = y. Assim, não pode ser obtido como uma função de y, pois para que pudéssemos definir uma tal função, o valor de, para um y dado, deveria ser único. Isso mostra que uma tal função g não eiste. Eemplo 7. Considere, agora, a função f : [0, + ) [, + ) definida por f() =, como no Eemplo. A pergunta do Eemplo passa a ser, neste caso, a seguinte: dado qualquer [0, + ) e y = f() [, + ), eiste uma função g : [, + ) [0, + ) tal que g(f()) = g(y) =? Analogamente, resolvendo a equação y = para valores de [0, + ), obtemos como solução = y +. Assim, a função g procurada é g(y) = y +. Note que g(f()) = f() + = ( ) + =, como queríamos, e que f(g(y)) = (g(y)) = ( y + ) = (y + ) = y. Você pode observar que da igualdade g(f()) = pode-se dizer, de maneira ingênua, que o que a função f faz com um ponto [0, + ) a função g desfaz. Da mesma maneira, da igualdade f(g(y)) = y pode-se dizer que o que a função g faz com um ponto y [, + ) a função f desfaz. 07 CEDERJ

54 O Teorema da função inversa. Neste sentido dizemos que g é a inversa da função f e f é a inversa da função g. Uma definição precisa da inversa de uma função, no caso particular em que estaremos interessados, é a seguinte: Definição 7. Sejam I um intervalo não trivial e f : I R uma função contínua em I. Dizemos que f é inversível, se eiste uma função g : f(i) R tal que g(f()) = para todo I. Uma tal função g é necessariamente única, é denominada a inversa da função f e é denotada por f. Antes de continuar, façamos algumas observações relevantes a respeito da definição acima. (a) f é injetora: realmente, sejam, I tais que f( ) = f( ); então f (f( )) = f (f( )), ou seja, =. Assim, f é injetora. (b) f : I f(i) é bijetora: isto é claro em vista de (a), já que f(i) = {f(); I}. (c) f(f (y)) = y para todo y f(i): realmente, seja y f(i); então y = f(), para I. Logo, f(f (y)) = f(f (f())) = f() = y. (d) f : f(i) I é bijetora: realmente, o fato de f ser sobrejetora segue da própria definição e o fato de f ser injetora segue de (c). (e) f(i) é um intervalo não trivial: realmente, o fato de que f(i) é um intervalo foi provado na aula 7 (lembrar que f é contínua) e o fato de que f(i) não é um conjunto unitário decorre de (a). Considere, agora, os dois gráficos de funções, indicados nas Figuras 7.a e 7.b. 0 0 (a) Figura 7. (b) Note que as duas funções são contínuas, a primeira sendo crescente e a segunda decrescente. Intuitivamente pode-se observar que ambos os gráficos têm a seguinte propriedade: ao se traçar qualquer reta horizontal passando por um ponto da imagem da função, esta reta interceptará o gráfico em um CEDERJ 08

55 O Teorema da função inversa. MÓDULO - AULA 7 único ponto. Uma outra maneira de dizer isso é a seguinte: se f denota a função cujo gráfico é esboçado, digamos, na Figura 7.a, então para cada y na imagem de f eiste um único no domínio de f tal que f() = y. Assim, podemos definir uma função g tal que, para cada y na imagem de f, g(y) =, onde é o único ponto que satisfaz f() = y. A função g, assim definida, satisfaz g(f()) = para todo no domínio de f, ou seja, g é a inversa da função f. É importante observar que, na discussão imediatamente acima, a hipótese das funções serem crescentes ou decrescentes é realmente necessária, pois caso contrário não teríamos a unicidade do ponto para um dado y na imagem da função f. A Figura 7. ilustra uma tal situação. y Figura 7. O próimo teorema prova o que acabamos de dizer. Teorema 7. Sejam I um intervalo não trivial e f : I R uma função contínua e crescente(respectivamente decrescente). Então (a) f possui uma inversa f (que é definida em f(i)); (b) f é crescente (respectivamente decrescente) em f(i); O item (c) será demonstrado na disciplina de Análise. (c) f é contínua em f(i). Demonstração: Faremos a demonstração de (a) e (b) no caso em que f é crescente; o caso em que f é decrescente é análogo. (a) Para cada y f(i) eiste pelo menos um valor de I tal que f() = y. Vamos mostrar que é único. Com efeito, se w I e w, então w < ou w >. No primeiro caso, f(w) < f() e, no segundo caso, f(w) > f(), pois estamos supondo f crescente. Assim, f(w) f() = y, mostrando a unicidade de. Defina g : f(i) R da seguinte maneira: para 09 CEDERJ

56 O Teorema da função inversa. cada y f(i), faça g(y) =, onde é o único elemento de I tal que f() = y. Temos, assim, que g(f()) = g(y) = para todo I, mostrando que f é inversível. (b) Sejam y, y f(i), com y < y. Devemos mostrar que f (y ) < f (y ). Ora, se = f (y ) e = f (y ), temos que f( ) = y < f( ) = y. Como f é crescente, conclui-se que <, isto é, f (y ) < f (y ). Eemplo 7.3 Seja f a função definida por f() = 3 em R { }. Como f () = + > 0 para, segue que f é crescente em R { }. Pelo Teorema 5 (+) 7. (a), (b), f é inversível e f é crescente. Para encontrar f, considere a equação y = f(); tirando como função de y, obtemos y = 3 +, y + y = 3, y = y + 3, ( y) = y + 3, donde = y + 3 y. Assim, f (y) = y+3 y, sendo f definida em R {}. O gráfico de f é indicado na Figura Figura 7.3 CEDERJ 0

57 O Teorema da função inversa. MÓDULO - AULA 7 Veremos, agora, um teorema que estabelece, no caso de funções inversíveis, uma relação entre a derivada de uma função e a derivada de sua inversa. Teorema 7. (Teorema da função inversa) Seja f : I R uma função derivável e crescente ou decrescente em um intervalo não trivial I. Se f () 0 para todo I, então f é derivável em f(i) e para todo I, tem-se (f ) (f()) = f (). O Teorema 7. nos diz que para determinar a derivada da inversa f em um ponto f() f(i) do seu domínio, basta determinar a derivada f () de f em I, ou seja, não é necessário conhecer f para conhecer sua derivada. Antes de demonstrar o Teorema 7., vejamos dois eemplos. Eemplo 7.4 Constatemos a validade do Teorema 7. para a função f() = 3, do + Eemplo 7.3, cuja inversa é f (y) = y+3. Como f () = 5 > 0 para y (+) todo R { }, segue do Teorema 7. que f é derivável em R {} e (f ) (f()) = (+) 5 para todo R { }. Vamos comprovar este fato diretamente. Derivando f em um ponto y = f(), temos (f ) (y) = 5 (y ). Substituindo y = 3 + na igualdade acima, obtemos (f ) (f()) = Eemplo 7.5 ( 3 5 ( ) = 5 ) = 5 ( 5 ) = + ( + ) 5 = f (). Seja f() = 3 + 5, cuja derivada é f () = 3 +. Portanto, f () > 0 para todo número real; assim, podemos aplicar os Teoremas 7. e 7. para concluir que f possui uma inversa f e para todo R. (f ) (f()) = 3 + Demonstração do Teorema 7.: Seja I e mostremos que f é derivável em y = f() f(i). De fato, sendo f crescente ou decrescente, para w 0 CEDERJ

58 O Teorema da função inversa. tal que y + w f(i), eiste h 0 tal que + h I e f( + h) = y + w. Como = f (y) e + h = f (y + w), segue que h = f (y + w) f (y). Portanto, f (y + w) f (y) w = h w = h f( + h) y = = h f( + h) f() =. f( + h) f() h Além disso, como f é contínua em y pelo Teorema 7.(c), segue que h = (f (y + w) f (y)) = 0. Por outro lado, como f é contínua w 0 w 0 em (pois é derivável em ), segue que w = (f( + h) f()) = 0. h 0 h 0 Assim, h 0 se, e somente se, w 0. Aplicando a propriedade do quociente, obtemos f (y + w) f (y) w 0 w = h 0 f(+h) f() h = h 0 f( + h) f() h = f (). Isto prova que f é derivável em y = f() e (f ) (y) = f (). O Teorema da função inversa nos dá a epressão da derivada de f em cada ponto f() de seu domínio f(i). Se quiséssemos, poderíamos reescrever esta epressão da seguinte forma: cada elemento f(i) se escreve de modo único na forma = f(t), onde t I; logo, Eemplo 7.6 (f ) () = (f ) (f(t)) = f (t) = f (f ()). Seja n um inteiro positivo, n.vamos aplicar o Teorema da função inversa para mostrar que a derivada de g() = n é g () = n n para todos os valores de para os quais n está definida, eceto para = 0 (ver a aula ). Inicialmente, lembremos que g estará definida em [0, + ) para n par e em R para n ímpar. A função g é a inversa da função f() = n. Como f () = n n 0 para todo 0, pelo Teorema da função inversa g é derivável e g () = para todo 0. f (f ()) = f ( n ) = n( n = n ) n n = n n CEDERJ

59 O Teorema da função inversa. MÓDULO - AULA 7 Eemplo 7.7 Considere a função f : [ π, π sen ] R definida por f() =. Como cos > 0 e sen < 0 para todo [ π, π], segue que f () = ]. Logo, f é crescente em [ π, π ], cos sen > 0 para todo [ π, π e do Teorema 7.(a) resulta que f é inversível. Pelo Teorema da função inversa, f é derivável e (f ) (f()) = cos sen [ para todo π, π ]. Vamos, agora, determinar a derivada de f no ponto 3. Pelo Teorema 7π da função inversa, basta determinar ) para que valor de f() = sen = 3. 7π ( Ora, como 3 = = sen 7π 6 e visto que 7π [ ] π, π 7π 7π 7π 6, obtemos que 6 6 = 7π é o ponto procurado. Assim, 6 ( ) ( ( 3 (f ) = (f ) f 7π 7π 6 )) = = ( ) 7π 6 7πcos( ) ( ) = 7π 6 6 sen 7π 6 ( ) 7π 6 ( 7π 6 3 ) ( ). Resumo Nesta aula você foi apresentado ao Teorema da função inversa, o qual será estudado mais profundamente na disciplina de Análise. Nas aulas 8 e 9 usaremos este teorema para estudar a derivabilidade das funções trigonométricas inversas. Eercícios. Encontre, se eistir, a inversa da função dada e determine seu domínio. (a) f() = + 4; (b) f() = 3 ; (c) f() = 3 ; (d) f() = + 3 ; (e) f() = 4 4 ; (f) f() = Para cada uma das funções do Eercício, use o Teorema 7. para determinar o maior subconjunto do seu domínio onde f é inversível. 3 CEDERJ

60 O Teorema da função inversa. 3. Mostre que cada uma das funções abaio satisfaz as hipóteses do Teorema da função inversa no conjunto I e aplique-o para determinar a derivada da inversa no ponto a. (a) f() = 4, I = (4, + ), a = 4; (b) f() =, I = (0, + ), a = 0; (c) f() = 3, I = R { 3}, a = 0; (d) f() = 3, I = (0, + ), a = Use as informações dadas e o Teorema da função inversa para calcular (f ) (a) (admita que as hipóteses do teorema sejam satisfeitas). (a) a = 4, f(3) = 4, f (3) = ; (b) a =, f() =, f () = 3; (c) a = 0, f(5) = 0, f (5) = 4; (d) a =, f( ) π 4 =, f ( π ) 4 =. Auto-avaliação Nos eercícios propostos você deve demonstrar a compreensão do conceito de inversa de uma função, do significado dos Teoremas 7. e 7., bem como saber aplicá-los. Caso persista alguma dúvida, releia a aula com atenção ou procure o tutor no pólo. CEDERJ 4

61 Funções trigonométricas inversas. MÓDULO - AULA 8 Aula 8 Funções trigonométricas inversas. Objetivos Recordar as funções trigonométricas inversas e estudá-las no que diz respeito a sua derivabilidade. Referências: Aulas, 9, 0, e 7. Na aula 39, de Pré-Cálculo, você estudou as funções trigonométricas inversas: arco seno, arco cosseno, arco tangente, arco cotangente, arco secante e arco cossecante. O objetivo principal desta aula é estudar a derivabilidade das funções trigonométricas inversas, usando como ferramenta o Teorema da função inversa. Sabemos que as funções trigonométricas são funções periódicas. Assim, dado um ponto y da imagem de uma tal função, eiste uma infinidade de pontos do domínio que tem por imagem o ponto y. Portanto, todas elas são funções não inversíveis. Entretanto, ao restringirmos cada uma delas a intervalos convenientes, obtemos que elas são inversíveis. Aqui, nos concentraremos no estudo da derivabilidade das funções arco seno, arco cosseno e arco tangente. Iniciemos com a função arco seno. A função seno é contínua em R e tem por imagem o intervalo [, ]. Sendo uma função periódica de período π, segue que a função seno não é inversível. Note, entretanto, que no intervalo [ π, π ] a função seno é crescente e { sen ; [ π, π ]} = [, ]. Pelo Teorema 7., a função sen : [ π, π ] [, ] é inversível, sendo sua inversa contínua em [, ]. A inversa em questão é a função arco seno, denotada por arcsen. Assim, arcsen : [, ] [ π, π ] é definida por arcsen = y se, e somente se, = sen y. Pela definição de função inversa, podemos afirmar que sen(arcsen ) = para todo [, ] e [ arcsen(sen ) = para todo π, π ]. 5 CEDERJ

62 Funções trigonométricas inversas. Na Figura 8.a, apresentamos o gráfico da função seno ( restrita ao intervalo [ π, π ]) e, na Figura 8.b, apresentamos o gráfico da função arco seno. pi/ -pi/ pi/ (a) Figura 8. -pi/ (b) Eemplo 8. Vamos calcular arcsen ( ) ( e arcsen 3 ). No primeiro caso, temos que determinar o valor de y [ π, ] π para o qual sen y =. Como y = π [ π, ] π 4 e sen y =, tem-se que arcsen ( ) = π. Analogamente, como y = π [ π, ] π 4 3 e sen y = 3, tem-se que arcsen ( ) 3 = π. 3 Proposição 8. A função arco seno é derivável em (, ) e sua derivada é (arcsen) () = para todo (, ). Demonstração: Para facilitar a compreensão da demonstração, escrevamos f() = sen ; logo, f () = arcsen ( [, ]). Como f () = cos > 0 para todo ( π, π ), segue do Teorema da função inversa que f é derivável em f (( π, π )) = (, ) e para todo (, ). (f ) () = f (f ()) = cos (f ()) Da identidade cos (f ()) = sen (f ()) e visto que cos (f ()) > 0 para todo (, ), segue que cos (f ()) = sen (f ()). Mas, sen (f ()) = (sen (arcsen )) =. Assim, para todo (, ). (f ) () = (arcsen) () = CEDERJ 6

63 Funções trigonométricas inversas. MÓDULO - AULA 8 Eemplo 8. Vamos calcular a derivada da função f() = arcsen( ) para (0, ). Note que, se h() =, então h((0, )) = (, ); logo, f() = (g h)() para todo (0, ), onde g() = arcsen. Sendo g derivável em (, ) e h derivável em R (logo, em (0, )), a regra da cadeia garante que f é derivável em (0, ) e f () = g (h())h () = ( ) = +. Eemplo 8.3 Vamos usar a derivação implícita para calcular dy, onde y é uma função d derivável da variável dada pela equação arcsen y = + y para, y (, ). Derivando implicitamente ambos os lados da equação, obtemos arcsen y + (arcsen) (y) dy d = + dy d, ou seja, dy arcsen y + y d = + dy d. Assim, ( ) dy y d = arcsen y, isto é, dy d = arcsen y. y Estudemos, agora, a função arco cosseno. A função cosseno é contínua em R e tem por imagem o intervalo [, ]. Sendo uma função periódica de período π, segue que a função cosseno não é inversível. Note, entretanto, que no intervalo [0, π] a função cosseno é decrescente e {cos ; [0, π]} = [, ]. Pelo Teorema 7., a função cos: [0, π] [, ] é inversível, sendo sua inversa contínua em [, ]. A inversa em questão é a função arco cosseno, denotada por arccos. Assim, arccos : [, ] [0, π] é definida por arccos = y se, e somente se, = cos y. 7 CEDERJ

64 Funções trigonométricas inversas. Pela definição de função inversa, podemos afirmar que cos(arccos ) = para todo [, ] e arccos(cos ) = para todo [0, π]. Na Figura 8.a, apresentamos o gráfico da função cosseno (restrita ao intervalo [0, π]) e, na Figura 8.b, apresentamos o gráfico da função arco cosseno. (a) Figura 8. (b) Proposição 8. A função arco cosseno é derivável em (, ) e sua derivada é para todo (, ). (arccos) () = Demonstração: Escrevamos f() = cos ; logo, f () = arccos ( [, ]). Como f é derivável em (0, π) e f () = sen < 0 para todo (0, π), segue do Teorema da função inversa que f é derivável em f((0, π)) = (, ) e para todo (, ). (f ) () = f (f ()) = sen (f ()) Sendo sen (f ()) = cos (f ()) e sen (f ()) > 0 para todo (, ), obtemos que sen (f ()) = cos (f ()) =. Assim, para todo (, ). (f ) () = (arccos) () = CEDERJ 8

65 Funções trigonométricas inversas. MÓDULO - AULA 8 Eemplo 8.4 Considere a função f() = arccos. Vamos determinar o domínio de f e estudar sua derivabilidade. Como o domínio da função arco cosseno é o intervalo [, ], para determinar o domínio de f, devemos encontrar os valores de 0 para os quais é indicado na Figura 8.3. [, ]. O gráfico da função h() = Figura 8.3 Os valores de para os quais h() = são + 5 e 5. Por outro lado, os valores de para os quais h() = são + 5 e 5. Sendo h uma função crescente em R {0}, temos que h ([ ]) 5, 5 = [, ] e h ([ + ]) [ 5 = [, ]. Assim, o domínio de f é 5 ], + 5 [ + 5, + 5 ( + 5, + 5 ]. Pela regra da cadeia, f é derivável em ( 5 ) e sua derivada é f () = ( para todo ( ) ( 5, ), + 5. Vejamos, agora, a função arco tangente. ( ) + ), 5, 5 A função tangente é contínua no seu domínio de definição, a saber, R { kπ ; k Z, k ímpar}. Sendo uma função periódica de período π, segue que a tangente não é inversível. Note, entretanto, que no intervalo ( π, ) { π ela é crescente e tg ; ( π, )} ( π = R. Pelo Teorema 7., a função tg : π, ) π R é inversível, sendo sua inversa contínua em R. A inversa em questão é a função arco tangente, denotada por arctg. Assim, arctg : R ( π, π ) é definida por arctg = y se, e somente se, y = tg. ) 9 CEDERJ

66 Funções trigonométricas inversas. Pela definição de função inversa, podemos afirmar que tg(arctg ) = para todo R e ( arctg(tg ) = para todo π, π ). Na Figura 8.4a, apresentamos o gráfico da função tangente (restrita ao intervalo ( π, π ) ) e, na Figura 8.4b, apresentamos o gráfico da função arco tangente. - - (a) Figura 8.4 (b) Proposição 8.3 A função arco tangente é derivável em R e sua derivada é para todo R. (arctg) () = + Demonstração: Escrevamos f() = tg, ( π, ) π ; logo, f () = arctg, R. Como f é derivável em ( π, ) π e f () = sec = > 0 para cos todo ( π, ) π, segue do Teorema da função inversa que f é derivável em R e para todo R. (f ) () = f (f ()) = sec (f ()) Da identidade sec (f ()) = + tg (f ()) = + (tg(arctg ()) = +, segue que para todo R. (arctg) () = + CEDERJ 0

67 Funções trigonométricas inversas. MÓDULO - AULA 8 Eemplo 8.5 Vamos calcular a derivada da função f() = arctg ( ), definida para R {, }. Temos que f() = (g h)(), onde g() = arctg e h() =. Sendo g derivável em R e h derivável em R {, }, a regra da cadeia garante que f é derivável em R {, } e f () = g (h()).h () = = = + ( ) + ( ) = ( ) ( ) ( ) = + ( ) + 4 para todo R {, }. Resumo Nesta aula, você estudou as funções arco seno, arco cosseno e arco tangente no que diz respeito a seus intervalos de definição e a sua derivabilidade. Você pôde constatar a importância do Teorema da função inversa que nos permitiu determinar a derivada de tais funções. Eercícios. Para cada uma das funções abaio, determine: (i) o domínio da função; (ii) os pontos onde ela é derivável; (iii) a derivada da função. (a) f() = arcsen ( ) + (b) f() = arccos(sen) (c) f() = arctg (d) f() = arcsen + (e) f() = arccos ( ) (f) arctg ( ) ( ) (g) f() = arcsen + (h) f() = arccos. + CEDERJ

68 Funções trigonométricas inversas.. Para cada uma das funções abaio, determine: (i) o domínio da função; (ii) os intervalos onde a função é crescente ou decrescente; (iii) as assíntotas verticais e horizontais ao gráfico da função, caso eistam; (iv) os intervalos onde a função tem concavidade para cima e aqueles onde a função tem concavidade para baio; (v) os etremos relativos e os etremos absolutos da função, caso eistam. Finalmente, esboce o gráfico da função. (a) f() = arcsen( ) (b) f() = arctg ( ) + (c) f() = arccos( ) (d) f() = artg(sen ) (e) f() = arcsen(tg ) (f) f() = arccos(sen ). Auto-avaliação Em todos os eercícios, é eigido de você o bom entendimento das funções estudadas nesta aula, e das proposições apresentadas. O Eercício será importante também para você rever e aplicar todo o ferramental visto neste módulo, visando ao esboço de gráfico de funções. Caso tenha alguma dificuldade, releia a aula com atenção ou procure o tutor no seu pólo. CEDERJ

69 Funções trigonométricas inversas. Continuação. MÓDULO - AULA 9 Aula 9 Funções trigonométricas inversas. Continuação. Objetivos Referência: Aulas, 9, 0, e 8. Recordar as funções arco cotangente, arco secante e arco cossecante e estudá-las em relação a sua derivabilidade. Na aula 8, recordamos as funções arco seno, arco cosseno e arco tangente e estudamos cada uma no que diz respeito a sua derivabilidade. Nesta aula, faremos o mesmo com as funções arco tangente, arco secante e arco cossecante. Iniciemos com a função arco cotangente. A função cotangente é contínua em seu domínio R {kπ; k Z} e tem R por imagem. Sendo uma função periódica de período π, segue que a cotangente não é inversível. Note, entretanto, que no intervalo (0, π) a função cotangente é decrescente e {cotg ; (0, π)} = R. Pelo Teorema 7., a função cotg : (0, π) R é inversível, sendo sua inversa contínua em R. A inversa em questão é a função arco cotangente, denotada por arccotg. Assim, arccotg : R (0, π) é definida por arccotg = y se, e somente se, = cotg y. Pela definição de função inversa, podemos afirmar que cotg(arccotg ) = para todo R e arccotg(cotg ) = para todo (0, π). Na Figura 9.a, apresentamos o gráfico da função cotangente (restrita ao intervalo (0, π)) e, na Figura 9.b, apresentamos o gráfico da função arco cotangente. 3 CEDERJ

70 Funções trigonométricas inversas. Continuação. (a) Figura 9. (b) Proposição 9. A função arco cotangente é derivável em R e sua derivada é para todo R. (arccotg) () = + Demonstração: Para facilitar a compreensão da demonstração, escrevamos f() = cotg ( (0, π)); logo, f () = arccotg ( R). Como f () = cossec = < 0 para todo (0, π), segue do Teorema sen da função inversa que f é derivável em f((0, π)) = R e para todo R. Da identidade (f ) () = f (f ()) = cossec (f ()) cossec (f ()) = + cotg (f ()) = + (cotg(arccotg ()) = +, segue que para todo R. (f ) () = (arccotg) () = + Eemplo 9. Considere a função f() = arccotg ( ), definida para R {0}. Sendo a função g() = derivável em R {0}, h() = arccotg derivável em R e f() = (h g)() para todo R {0}, segue da regra da cadeia que f é derivável em R {0} e para todo R {0}. f () = h (g())g () = + ( ( ) + ) CEDERJ 4

71 Funções trigonométricas inversas. Continuação. MÓDULO - AULA 9 Eemplo 9. Um quadro de metros de altura está pendurado em uma parede de maneira que sua borda inferior fique situada a metros acima do nível dos olhos de um observador. A que distância da parede deve ficar o observador para que o ângulo determinado pelas bordas superior e inferior do quadro e os olhos do observador seja o maior possível? Sejam a distância do observador à parede, α o ângulo determinado pela borda superior do quadro e o nível dos olhos do observador e β o ângulo determinado pela borda inferior do quadro e o nível dos olhos do observador (ver a Figura 9.). Figura 9. Note que cotg α = 4 e cotg β =. Assim, α = arccotg( 4) e β = arccotg ( ). O ângulo determinado pelo quadro é, portanto, θ() = arccotg ( 4) arccotg ( ) e queremos determinar o máimo absoluto da função θ em (0, + ). Como θ é derivável em (0, + ) e θ () = , os pontos críticos de θ são os valores de para os quais θ () = 0, ou seja, 4(4 + ) + (6 + ) = 0, donde = 8. Portanto, o único ponto crítico de θ é = 8. Como θ () > 0 para todo (0, 8) e θ () < 0 para todo ( 8, + ), segue do teste da derivada primeira que = 8 é um ponto de máimo absoluto da função θ. Assim, o observador deverá posicionar-se a 8 metros da parede. 5 CEDERJ