Determine o percentual de crianças dessa escola que receberam as duas vacinas.

Transcrição

1 3 O ANO EM Matemática II RAPHAEL LIMA Lista. (Uerj 07) Crianças de uma escola participaram de uma campanha de vacinação contra a paralisia infantil e o sarampo. Após a campanha, verificou-se que 80% das crianças receberam a vacina contra a paralisia, 90% receberam a vacina contra o sarampo, e 5% não receberam nem uma, nem outra. Determine o percentual de crianças dessa escola que receberam as duas vacinas.. (Uerj 07) Considere a matriz seguir. An9 de nove colunas com números inteiros consecutivos, escrita a An Se o número 8.09 é um elemento da última linha, linha de ordem n, é: a).0 b).0 c).03 d).04 o número de linhas dessa matriz 3. (Uerj 07) Um fisioterapeuta elaborou o seguinte plano de treinos diários para o condicionamento de um maratonista que se recupera de uma contusão: - primeiro dia corrida de 6 km; - dias subsequentes - acréscimo de km à corrida de cada dia imediatamente anterior. O último dia de treino será aquele em que o atleta correr 4 km. O total percorrido pelo atleta nesse treinamento, do primeiro ao último dia, em quilômetros, corresponde a: a) 44 b) 438 c) 456 d) (Uerj 07) Para construir uma caixa com a forma de um paralelepípedo retângulo, foi usado um MATEMÁTICA I RAPHAEL LIMA 07

2 quadrado de cartolina de cm de lado. Nessa cartolina, recortou-se um dodecágono com quatro lados medindo x cm e oito lados medindo de lado x. Observe as ilustrações: x y c m. A caixa tem altura y e sua base é um quadrado Sabe-se que o gráfico a seguir representa uma função polinomial de variável real definida por 3 P(x) x ax, sendo um número real positivo. Para x 0, P(x) assume valor máximo em a x. 3 a Com base nessas informações, calcule o maior volume que essa caixa pode assumir. 5. (Uerj 07) No plano cartesiano a seguir, estão representados o gráfico da função definida por f(x) x, com x, e os vértices dos quadrados adjacentes ABCD e DMNP. Observe que B coordenados. e P são pontos do gráfico da função f e que A, B, D e M são pontos dos eixos Desse modo, a área do polígono ABCPNM, formado pela união dos dois quadrados, é: a) 0 b) 8 c) 36 d) (Uerj 07) Observe o plano cartesiano a seguir, no qual estão representados os gráficos das MATEMÁTICA I RAPHAEL LIMA - 07

3 funções definidas por x f(x), g(x) 8 e h(x) k, sendo x e k uma constante real. No retângulo ABCD, destacado no plano, os vértices A f g, respectivamente. e C são as interseções dos gráficos f h e Determine a área desse retângulo. 7. (Uerj 07) Um capital de C reais foi investido a juros compostos de 0% meses, um montante de R$ 53.40,00. ao mês e gerou, em três Calcule o valor, em reais, do capital inicial C. 8. (Uerj 07) Uma criança possui um cofre com 45 moedas: 5 de dez centavos, 5 de cinquenta centavos e 5 de um real. Ela vai retirar do cofre um grupo de moedas ao acaso. Há vários modos de ocorrer essa retirada. Admita que as retiradas são diferenciadas apenas pela quantidade de moedas de cada valor. Determine quantas retiradas distintas, desse grupo de moedas, a criança poderá realizar. 9. (Uerj 07) Uma urna contém uma bola branca, quatro bolas pretas e bolas vermelhas, sendo x. Uma bola é retirada ao acaso dessa urna, é observada e recolocada na urna. Em seguida, retirase novamente, ao acaso, uma bola dessa urna. x Se é a probabilidade de que as duas bolas retiradas sejam da mesma cor, o valor de x é: a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 0. (Uerj 07) Considere o gráfico a seguir, em que a área S é limitada pelos eixos coordenados, MATEMÁTICA I RAPHAEL LIMA - 07

4 pela reta sendo r, 0 x. que passa por A(0, 4) e B(, 0), e pela reta perpendicular ao eixo o x no ponto P(x o,0), Para que a área S seja a metade da área do triângulo de vértices C(0, 0), A e B, ser igual a: a) b) 3 c) 4 d) 5 o valor de x o deve. (Uerj 07) Uma calculadora tem duas teclas especiais, A e B. Quando a tecla A é digitada, o número que está no visor é substituído pelo logaritmo decimal desse número. Quando a tecla B é digitada, o número do visor é multiplicado por 5. Considere que uma pessoa digitou as teclas BAB, nesta ordem, e obteve no visor o número 0. Nesse caso, o visor da calculadora mostrava inicialmente o seguinte número: a) 0 b) 30 c) 40 d) 50. (Uerj 07) Observe a matriz: 3 t 4 3 t 4 Para que o determinante dessa matriz seja nulo, o maior valor real de a) b) c) 3 d) 4 t deve ser igual a: 3. (Uerj 07) O treinador de um time de futebol desconhece a média das idades de seus jogadores. Porém, ele possui as seguintes informações: - o capitão tem 30 anos; - o goleiro tem 3 anos; - a média de idade do time sem esses dois jogadores é um ano menor do que a média de idade do time completo. Calcule a média de idade do time completo. 4. (Uerj 07) Um anel contém 5 gramas de ouro 6 quilates. Isso significa que o anel contém 0 g MATEMÁTICA I RAPHAEL LIMA - 07

5 de ouro puro e 5g de uma liga metálica. Sabe-se que o ouro é considerado 8 quilates se há a proporção de 3g de ouro puro para g de liga metálica. Para transformar esse anel de ouro 6 quilates em outro de 8 quilates, é preciso acrescentar a seguinte quantidade, em gramas, de ouro puro: a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 5. (Uerj 07) Para combater a subnutrição infantil, foi desenvolvida uma mistura alimentícia composta por três tipos de suplementos alimentares: I, II e III. Esses suplementos, por sua vez, contêm diferentes concentrações de três nutrientes: A, B e C. Observe as tabelas a seguir, que indicam a concentração de nutrientes nos suplementos e a porcentagem de suplementos na mistura, respectivamente. Nutriente A B C Concentração dos Suplementos Alimentares (g kg) I II III 0, 0,3 0, 0,5 0,4 0,4 0,4 0, 0,5 Suplemento Alimentar A quantidade do nutriente C, em g kg, encontrada na mistura alimentícia é igual a: a) 0,35 b) 0,65 c) 0,75 d) 0,95 I II III Quantidade na Mistura (%) 6. (Uerj 07) Um comerciante, para aumentar as vendas de seu estabelecimento, fez a seguinte promoção para determinado produto: COMPRE 4 UNIDADES E LEVE Essa promoção representa um desconto de x% na venda de 5 unidades. O valor de x a) 0 b) 5 c) 0 d) 5 é igual a: 7. (Uerj 07) Ao coletar os dados para um estudo topográfico da margem de um lago a partir dos pontos A, e um técnico determinou as medidas AT 3 m; BT 3 m e ATB 0, representadas no esquema abaixo. B T, Calcule a distância, em metros, entre os pontos A e B, definidos pelo técnico nas margens desse lago. MATEMÁTICA I RAPHAEL LIMA - 07

6 8. (Uerj 07) Em uma atividade com sua turma, um professor utilizou 64 cartões, cada um com dois algarismos x e y, iguais ou distintos, pertencentes ao conjunto {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. A imagem abaixo representa um tipo desse cartão. Um aluno escolheu um único cartão e efetuou as seguintes operações em sequência: I. multiplicou um dos algarismos do cartão escolhido por 5; II. acrescentou 3 unidades ao produto obtido em I; III. multiplicou o total obtido em II por ; IV. somou o consecutivo do outro algarismo do cartão ao resultado obtido em III. Ao final dessas operações, obteve-se no sistema decimal o número 73. O cartão que o aluno pegou contém os algarismos cuja soma x y a) 5 b) 4 c) 3 d) é: 9. (Uerj 06) Admita a seguinte sequência numérica para o número natural n: a 3 a a 3 e n n 8 Sendo n 0, os dez elementos dessa sequência, em que a e a 0, são: ,,,,, a 6, a 7, a 8, a 9, A média aritmética dos quatro últimos elementos da sequência é igual a: a) b) c) 9 4 d) (Uerj 06) Em um triângulo equilátero de perímetro igual a 6 cm, inscreve-se um retângulo de modo que um de seus lados fique sobre um dos lados do triângulo. Observe a figura: Admitindo que o retângulo possui a maior área possível, determine, em centímetros, as medidas x e y de seus lados. MATEMÁTICA I RAPHAEL LIMA - 07

7 . (Uerj 06) Um painel de iluminação possui nove seções distintas, e cada uma delas acende uma luz de cor vermelha ou azul. A cada segundo, são acesas, ao acaso, duas seções de uma mesma cor e uma terceira de outra cor, enquanto as seis demais permanecem apagadas. Observe quatro diferentes possibilidades de iluminação do painel: O tempo mínimo necessário para a ocorrência de todas as possibilidades distintas de iluminação do painel, após seu acionamento, é igual a x minutos e y segundos, sendo y 60. Os valores respectivos de x e y são: a) 4 e b) 8 e 4 c) 5 e d) 50 e 4. (Uerj 06) Com o objetivo de melhorar o tráfego de veículos, a prefeitura de uma grande cidade propôs a construção de quatro terminais de ônibus. Para estabelecer conexão entre os terminais, foram estipuladas as seguintes quantidades de linhas de ônibus: - do terminal A para o B, 4 linhas distintas; - do terminal B para o C, 3 linhas distintas; - do terminal A para o D, 5 linhas distintas; - do terminal D para o C, linhas distintas. Não há linhas diretas entre os terminais A e C. Supondo que um passageiro utilize exatamente duas linhas de ônibus para ir do terminal terminal C, calcule a quantidade possível de trajetos distintos que ele poderá fazer. A para o 3. (Uerj 06) Os consumidores de uma loja podem concorrer a brindes ao fazerem compras acima de R$ 00,00. Para isso, recebem um cartão de raspar no qual estão registradas 3 letras do alfabeto em cinco linhas. Ao consumidor é informado que cada linha dispõe as seguintes letras, em qualquer ordem: - linha {A, B, C, D, E}; - linha {F, G, H, I, J}; - linha 3 {L, M, N, O, P}; - linha 4 {Q, R, S, T, U}; - linha 5 {V, X, Z}. Observe um exemplo desses cartões, com as letras ainda visíveis: Para que um consumidor ganhasse um secador, teria de raspar o cartão exatamente nas letras dessa palavra, como indicado abaixo: MATEMÁTICA I RAPHAEL LIMA - 07

8 Considere um consumidor que receba um cartão para concorrer a um ventilador. Se ele raspar as letras corretas em cada linha para formar a palavra VENTILADOR, a probabilidade de que ele seja premiado corresponde a: a) 5000 b) c) d) (Uerj 06) Admita que a ordem de grandeza de uma medida x n n é uma potência de base 0, expoente n inteiro, para 0 x 0. Considere que um terremoto tenha liberado uma energia E, em joules, cujo valor numérico é tal que log0 E 5,3. A ordem de grandeza de E, em joules, equivale a: a) b) c) d) (Uerj 06) Um fabricante produz embalagens de volume igual a 8 litros no formato de um prisma reto com base quadrada de aresta a e altura h. Visando à redução de custos, a área superficial da embalagem é a menor possível. Nesse caso, o valor de a corresponde, em decímetros, à raiz real da seguinte equação: 3 4a 0 a As medidas da embalagem, em decímetros, são: a) a ; h b) a ; h 4 c) a ; h 4 d) a ; h 6. (Uerj 06) Em um sistema de codificação, AB representa os algarismos do dia do nascimento de uma pessoa e CD os algarismos de seu mês de nascimento. Nesse sistema, a data trinta de julho, por exemplo, corresponderia a: A 3 B 0 C 0 D 7 Admita uma pessoa cuja data de nascimento obedeça à seguinte condição: A B C D 0 O mês de nascimento dessa pessoa é: a) agosto b) setembro c) outubro d) novembro MATEMÁTICA I RAPHAEL LIMA - 07 com

9 Gabarito: Resposta da questão : Seja p o percentual pedido. Tem-se que (80% p) p (90% p) 5% 00% p 75%. Resposta da questão : [C] Tem-se que os elementos de uma mesma coluna estão em progressão aritmética de razão 9. Logo, sendo , podemos concluir que tal número está situado na primeira coluna e na linha n 03. Resposta da questão 3: [C] Sendo a quilometragem percorrida uma PA, pode-se escrever: a 6 an 4 n número de dias r 4 6 (n ) 8 n n 9 (6 4) S S 456 km Resposta da questão 4: Tem-se que x y x y 6 x, com 0 x 6. Logo, o volume, V, da caixa é dado por 3 V x x y x 6x P(x). 6 Portanto, segue que a 6 e, assim, vem x A resposta é P(4) cm. Resposta da questão 5: [D] Sendo f(0), vem B (0, ). Ademais, como ABCD é um quadrado, temos D (, 0). Finalmente, como f() 6, vem P (6, ) e, portanto, o resultado é Resposta da questão 6: A abscissa do ponto C, x x C, é tal que f(x) g(x) 8 x. C Logo, a ordenada do ponto C, yc f(x C), é y C 8. Ademais, a ordenada do ponto A, ya f(x A), é igual a f(0), ou seja, ya. Portanto, como xb xc e yb y A, segue que a resposta é dada por (ABCD) (x x ) (y y ) 6 B A C B u.a. MATEMÁTICA I RAPHAEL LIMA - 07

10 Resposta da questão 7: Sendo i 0% 0, e n 3, vem C( 0,) C,33 C R$ ,00. Resposta da questão 8: Sejam x, y e z, respectivamente, o número de moedas de dez centavos, o número de moedas de cinquenta centavos e o número de moedas de um real, de tal sorte que x y z. Queremos calcular o número de soluções inteiras não negativas dessa equação. Tal resultado corresponde ao número de combinações completas de 3 objetos tomados a, isto é, 3 4! CR 3 9.!! Resposta da questão 9: [A] x 6 Sendo, e respectivamente, a probabilidade de retirar duas bolas vermelhas, duas (x 5) (x 5) bolas pretas e duas bola brancas, temos, (x 5) x 6 x 34 x 0x 5 (x 5) (x 5) (x 5) x 0x 9 0 x 9. Resposta da questão 0: [A] 4 S 4 Metade de S será 0 4 Re ta r a y x 4 0 Ponto D x 0, y y x0 4 com x0 4 x0 4 x0 Strapézio x0 8x0 4 0 x0 4x x0 (não convém) x0 x0 Resposta da questão : [A] Número inicial no visor x Tecla B 5x Tecla A log0 5x 00 Tecla B 5 log0 5x 0 log0 5x 5x 0 x 0 5 Resposta da questão : [A] MATEMÁTICA I RAPHAEL LIMA - 07

11 Tem-se que 3 t 4 3 t 4 0 (t 3)(t 4) 0 t(t ) 0 t 0 ou t. Portanto, como 0, segue que a resposta é. Resposta da questão 3: Sejam x, x,, x 9 as idades desconhecidas. Logo, temos 9 9 x x 3 30 i i 9 9 i i i i 9 i i 9 x 9 x i x 89. Por conseguinte, a resposta é Resposta da questão 4: [B] i Seja x a quantidade de ouro puro desejada. Tem-se que 0 x 3 4x x x 5 g. 5 x 4 Resposta da questão 5: [D] Calculando, conforme dados das tabelas: C 0, 0,45 0,4 0,5 0,5 0,30 C 0,95 g / kg Resposta da questão 6: [C] Considerando um valor qualquer para o produto, por exemplo R$00,00, o custo de 4 unidades seria R$400,00 e o de 5 unidades seria R$500,00. Com a promoção o valor de 5 unidades passa a ser de R$400,00, ou seja, houve um desconto de R$00,00 que corresponde a um quinto de R$500,00. Logo, um desconto de 0%. Ou ainda, sendo x o valor do produto e d o desconto, pode-se escrever: 4 x 5 x ( d) 4x d d 0,8 d 0,8 d 0, 0% 5x Resposta da questão 7: Tem-se, pela Lei dos Cossenos, que a resposta é AB AT BT AT BT cos ATB AB AB 609 AB 40 m. MATEMÁTICA I RAPHAEL LIMA - 07

12 Resposta da questão 8: [D] Tomando arbitrariamente o algarismo x, vem (5x 3) (y ) 73 y 66 0x. Logo, como y 8, só pode ser x 6 A resposta é x y. e, assim, temos y 6. Resposta da questão 9: [B] a a a Portanto, a média aritmética dos 4 últimos termos será dada por: M 4 6 Resposta da questão 0: A medida do lado do triângulo equilátero é igual a 6 cm. 3 Logo, sua altura é 3 3 cm. Além disso, o retângulo de base xcm determina um triângulo equilátero de lado igual a x cm, com 0 x. Por conseguinte, da semelhança dos triângulos equiláteros, vem x 3 y ( 3 y) x. 3 3 A área, A, do retângulo é dada por A x y ( 3 y) y y. 3 Desde que a área é máxima, temos 3 y e x. Resposta da questão : [B] Duas vermelhas e uma azul: C9, Duas azuis e uma vermelha: C9, Portanto, o tempo total será de segundos. Como, , temos: x 8 e u 4. MATEMÁTICA I RAPHAEL LIMA - 07

13 Resposta da questão : Pelo Princípio Multiplicativo, existem 4 3 maneiras de ir de A para C, passando por B, e 5 0 maneiras de ir de A para C, passando por D. Em consequência, pelo Princípio Aditivo, segue que a resposta é 0. Resposta da questão 3: [A] Calculando as probabilidades linha a linha: 3 6 Linha letras {E, A, D} Linha letra {I} Linha 3 letras {N, L, O} Linha 4 letras {T, R} Linha 5 letra {V} 3 Assim, a probabilidade de que o consumidor acerte todas as letras e seja premiado é de: Resposta da questão 4: [B] 5,3 loge 5,3 E 0 Como, 4,5 5,3 5, , a ordem de grandeza será Resposta da questão 5: [D] 5 0. Resolvendo a equação dada para a: a 0 4a 3 0 4a 3 a 8 a dm a Logo, sabendo que litro decímetro cúbico, e que o volume da embalagem é igual a 8 escrever: 3 V 8 dm V S h a h base 8 h h dm litros, pode-se Resposta da questão 6: [B] C D 0 (A B) O maior valor possível para a soma dos algarismos do dia de nascimento é A B 9 Portanto, C D é maior ou igual a 9, ou seja: Se C D 9, temos A B (possível). Se C D (outubro), temos A B 9 (impossível). MATEMÁTICA I RAPHAEL LIMA - 07

14 Se C D (novembro), temos A B 8 (possível). MATEMÁTICA I RAPHAEL LIMA - 07

15 MATEMÁTICA I RAPHAEL LIMA - 07