Prof. Márcio Nascimento. 26 de agosto de 2014

Transcrição

1 Introdução Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Matemática Básica II de agosto de / 24

2 Enquanto não estivermos compromissados, haverá hesitação a possibilidade de recuarmos e, sempre a ineficácia. Em relação a todos os atos de iniciativa e criação, existe uma verdade elementar, cuja ignorância mata inúmeros planos e ideias esplêndidas: a de que, no momento em que definitivamente nos comprometemos, a Providência Divina tambem se põe em movimento. Todos os tipos de coisas ocorrem para nos ajudar; as quais, em outras circunstâncias, nunca teriam ocorrido. Todo um fluir de acontecimentos surge a nosso favor como resultado da decisão, toda as formas imprevistas de coincidências, encontros e ajuda material, que nenhum homem jamais poderia ter sonhado encontrar em seu caminho... Qualquer coisa que você possa fazer ou sonhar, você pode começar. A coragem contém em si mesma a força e a magia. Johann Wolfgang Von Goethe, Fausto 2 / 24

3 Sumário 1 Etimologia / 24

4 Sumário 1 Etimologia / 24

5 A palavra trigonometria tem origem na Grécia: τ ριγϖνoµετ ρια 5 / 24

6 A palavra trigonometria tem origem na Grécia: τ ριγϖνoµετ ρια τ ριγϖνo (Triângulo) + µετ ρηση (medida); 5 / 24

7 A palavra trigonometria tem origem na Grécia: τ ριγϖνoµετ ρια τ ριγϖνo (Triângulo) + µετ ρηση (medida); A Ciência dos Triângulos ; 5 / 24

8 A palavra trigonometria tem origem na Grécia: τ ριγϖνoµετ ρια τ ριγϖνo (Triângulo) + µετ ρηση (medida); A Ciência dos Triângulos ; Ramo da Matemática que estuda a aplicação da aritmética na geometria; 5 / 24

9 A palavra trigonometria tem origem na Grécia: τ ριγϖνoµετ ρια τ ριγϖνo (Triângulo) + µετ ρηση (medida); A Ciência dos Triângulos ; Ramo da Matemática que estuda a aplicação da aritmética na geometria; Vocábulo criado em 1595 pelo matemático alemão Bartholomaus Pitiscus ( ). 5 / 24

10 Sumário 1 Etimologia / 24

11 7 / 24

12 Criação da Matemática Grega; 7 / 24

13 Criação da Matemática Grega; Surgiu devido às necessidades da Astronomia, Navegação e Cartografia; 7 / 24

14 Criação da Matemática Grega; Surgiu devido às necessidades da Astronomia, Navegação e Cartografia; Inicialmente desenvolveu-se a Trigonometria Esférica, mas a Trigonometria Plana fez-se necessária; 7 / 24

15 Criação da Matemática Grega; Surgiu devido às necessidades da Astronomia, Navegação e Cartografia; Inicialmente desenvolveu-se a Trigonometria Esférica, mas a Trigonometria Plana fez-se necessária; Os estudos dos triângulos esféricos vinham sendo feitos desde os últimos pitagóricos (300 a.c.); 7 / 24

16 Criação da Matemática Grega; Surgiu devido às necessidades da Astronomia, Navegação e Cartografia; Inicialmente desenvolveu-se a Trigonometria Esférica, mas a Trigonometria Plana fez-se necessária; Os estudos dos triângulos esféricos vinham sendo feitos desde os últimos pitagóricos (300 a.c.); Euclides (300 a.c.): estudos sobre Geometria Esférica; 7 / 24

17 Criação da Matemática Grega; Surgiu devido às necessidades da Astronomia, Navegação e Cartografia; Inicialmente desenvolveu-se a Trigonometria Esférica, mas a Trigonometria Plana fez-se necessária; Os estudos dos triângulos esféricos vinham sendo feitos desde os últimos pitagóricos (300 a.c.); Euclides (300 a.c.): estudos sobre Geometria Esférica; Aristarco de Samos (300 a.c.): estimou uma razão entre as distâncias da terra ao sol e da terra a lua e também uma razão entre o diâmetro do sol e a da terra. 7 / 24

18 8 / 24

19 Eratóstenes (250 a.c.): calculou o raio da terra ( = 6360Km). Raio polar: 6357Km; Raio Equatorial: 6378Km; Raio médio: 6371km; 8 / 24

20 Eratóstenes (250 a.c.): calculou o raio da terra ( = 6360Km). Raio polar: 6357Km; Raio Equatorial: 6378Km; Raio médio: 6371km; Apolônio de Perga (200 a.c.): achou a aproximação de 3,1416 para o número π; (π = 3, ) 8 / 24

21 Eratóstenes (250 a.c.): calculou o raio da terra ( = 6360Km). Raio polar: 6357Km; Raio Equatorial: 6378Km; Raio médio: 6371km; Apolônio de Perga (200 a.c.): achou a aproximação de 3,1416 para o número π; (π = 3, ) Menelao de Alexandria (100 a.c.): vários teoremas sobre trigonometria esférica. 8 / 24

22 Eratóstenes (250 a.c.): calculou o raio da terra ( = 6360Km). Raio polar: 6357Km; Raio Equatorial: 6378Km; Raio médio: 6371km; Apolônio de Perga (200 a.c.): achou a aproximação de 3,1416 para o número π; (π = 3, ) Menelao de Alexandria (100 a.c.): vários teoremas sobre trigonometria esférica. Teodósio (20 a.c.): compilou o que os gregos sabiam sobre o assunto em seu livro Sobre a Esfera; 8 / 24

23 Eratóstenes (250 a.c.): calculou o raio da terra ( = 6360Km). Raio polar: 6357Km; Raio Equatorial: 6378Km; Raio médio: 6371km; Apolônio de Perga (200 a.c.): achou a aproximação de 3,1416 para o número π; (π = 3, ) Menelao de Alexandria (100 a.c.): vários teoremas sobre trigonometria esférica. Teodósio (20 a.c.): compilou o que os gregos sabiam sobre o assunto em seu livro Sobre a Esfera; Ptolomeu (150 d.c.): ápice da trigonometria grega com a obra Almagesto. 8 / 24

24 Sumário 1 Etimologia / 24

25 10 / 24

26 Considerado o Pai da Trigonometria, viveu em torno de 120 a.c. 10 / 24

27 Considerado o Pai da Trigonometria, viveu em torno de 120 a.c. Construiu tabelas de cordas (predecessoras das tabelas de senos). 10 / 24

28 Considerado o Pai da Trigonometria, viveu em torno de 120 a.c. Construiu tabelas de cordas (predecessoras das tabelas de senos). Organizou a confecção de um catálogo de estrelas e um calendário de equinócios. 10 / 24

29 O que se sabe sobre Hiparco é devido a Ptolomeu, que cita vários de seus resultados sobre Trigonometria e Astronomia. 11 / 24

30 O que se sabe sobre Hiparco é devido a Ptolomeu, que cita vários de seus resultados sobre Trigonometria e Astronomia. Fez um tratado de 12 livros que se ocupa da construção de uma tabela trigonométrica para usar em sua astronomia; 11 / 24

31 O que se sabe sobre Hiparco é devido a Ptolomeu, que cita vários de seus resultados sobre Trigonometria e Astronomia. Fez um tratado de 12 livros que se ocupa da construção de uma tabela trigonométrica para usar em sua astronomia; Usou a divisão do círculo em 360 partes como os babilônios; 11 / 24

32 O que se sabe sobre Hiparco é devido a Ptolomeu, que cita vários de seus resultados sobre Trigonometria e Astronomia. Fez um tratado de 12 livros que se ocupa da construção de uma tabela trigonométrica para usar em sua astronomia; Usou a divisão do círculo em 360 partes como os babilônios; Usou a trigonometria para prever eclipses, fazer calendários e navegação. 11 / 24

33 O que se sabe sobre Hiparco é devido a Ptolomeu, que cita vários de seus resultados sobre Trigonometria e Astronomia. Fez um tratado de 12 livros que se ocupa da construção de uma tabela trigonométrica para usar em sua astronomia; Usou a divisão do círculo em 360 partes como os babilônios; Usou a trigonometria para prever eclipses, fazer calendários e navegação. Criou o primeiro astrolábio, equipamento destinado a medir a distância (angular) de qualquer astro em relação ao horizonte; 11 / 24

34 Tabela de Cordas 12 / 24

35 Tabela de Cordas Os matemáticos gregos não usavam seno de um ângulo. Trabalhavam com a corda do arco duplo. 12 / 24

36 Tabela de Cordas Os matemáticos gregos não usavam seno de um ângulo. Trabalhavam com a corda do arco duplo. Por influência babilônia, os gregos usavam o raio com comprimento 60 e dividiam o círculo em 360 fatias. 12 / 24

37 Tabela de Cordas Os matemáticos gregos não usavam seno de um ângulo. Trabalhavam com a corda do arco duplo. Por influência babilônia, os gregos usavam o raio com comprimento 60 e dividiam o círculo em 360 fatias. senα = AC OA = 1 corda AD 2 OA = 1 corda AD / 24

38 Tabela de Cordas Os matemáticos gregos não usavam seno de um ângulo. Trabalhavam com a corda do arco duplo. Por influência babilônia, os gregos usavam o raio com comprimento 60 e dividiam o círculo em 360 fatias. 1 senα = AC corda AD OA = 2 = 1 corda AD OA 120 Os matemáticos gregos usavam as frações sexagemais babilônias, daí a razão de adotarem o raio igual a / 24

39 Sumário 1 Etimologia / 24

40 14 / 24

41 Na obra Almagesto, Ptolomeu descreve o sistema solar no modelo geocêntrico; 14 / 24

42 Na obra Almagesto, Ptolomeu descreve o sistema solar no modelo geocêntrico; Com as técnicas expostas no livro, Ptolomeu é capaz de resolver qualquer triângulo, decompondo-o convenientemente em triângulos retângulos; 14 / 24

43 Na obra Almagesto, Ptolomeu descreve o sistema solar no modelo geocêntrico; Com as técnicas expostas no livro, Ptolomeu é capaz de resolver qualquer triângulo, decompondo-o convenientemente em triângulos retângulos; Deduziu expressões que mais tarde, em notação moderna, seriam a expressão para seno da soma e da diferença e a identidade fundamental: 14 / 24

44 Na obra Almagesto, Ptolomeu descreve o sistema solar no modelo geocêntrico; Com as técnicas expostas no livro, Ptolomeu é capaz de resolver qualquer triângulo, decompondo-o convenientemente em triângulos retângulos; Deduziu expressões que mais tarde, em notação moderna, seriam a expressão para seno da soma e da diferença e a identidade fundamental: sen 2 x + cos 2 x = 1 14 / 24

45 Sumário 1 Etimologia / 24

46 Hindus 16 / 24

47 Hindus Continuou sendo aplicada à astronomia; 16 / 24

48 Hindus Continuou sendo aplicada à astronomia; No século V, abandonaram a tabela de cordas e adotaram a tabela de senos; 16 / 24

49 Hindus Continuou sendo aplicada à astronomia; No século V, abandonaram a tabela de cordas e adotaram a tabela de senos; A trigonometria hindu era essencialmente aritmética, enquanto a grega era mais geométrica; 16 / 24

50 Árabes 17 / 24

51 Árabes Adotaram o ponto de vista aritmético dos hindus; 17 / 24

52 Árabes Adotaram o ponto de vista aritmético dos hindus; Introduziram os conceitos de tangente, cotangente, secante e cossecante; 17 / 24

53 Árabes Adotaram o ponto de vista aritmético dos hindus; Introduziram os conceitos de tangente, cotangente, secante e cossecante; Já conheciam a lei dos senos para triângulos (al-biruni, 1408); 17 / 24

54 Árabes Adotaram o ponto de vista aritmético dos hindus; Introduziram os conceitos de tangente, cotangente, secante e cossecante; Já conheciam a lei dos senos para triângulos (al-biruni, 1408); Nasir-Eddin sistematizou os conhecimentos até então existentes sobre trigonometria em seu Tratado sobre o Quadrilátero. 17 / 24

55 Chega a Índia por volta de 400 d.c. (astronomia); 18 / 24

56 Chega a Índia por volta de 400 d.c. (astronomia); Por volta de 800 d.c. chega ao mundo islâmico (astronomia e cartografia); 18 / 24

57 Chega a Índia por volta de 400 d.c. (astronomia); Por volta de 800 d.c. chega ao mundo islâmico (astronomia e cartografia); Entre 850 e 929, ocorre a introdução do círculo unitário pelo matemático árabe Al-Battani; 18 / 24

58 Chega a Índia por volta de 400 d.c. (astronomia); Por volta de 800 d.c. chega ao mundo islâmico (astronomia e cartografia); Entre 850 e 929, ocorre a introdução do círculo unitário pelo matemático árabe Al-Battani; A partir do renascimento, época da expansão marítima européia, a trigonometria passou a ser usada na cartografia e na topografia (Fibonacci); 18 / 24

59 Chega a Índia por volta de 400 d.c. (astronomia); Por volta de 800 d.c. chega ao mundo islâmico (astronomia e cartografia); Entre 850 e 929, ocorre a introdução do círculo unitário pelo matemático árabe Al-Battani; A partir do renascimento, época da expansão marítima européia, a trigonometria passou a ser usada na cartografia e na topografia (Fibonacci); Necessidade de se refazer os cálculos da astronomia posicional, devido a adoção do sistema heliocêntrico de Copérnico ( ); 18 / 24

60 Chega a Índia por volta de 400 d.c. (astronomia); Por volta de 800 d.c. chega ao mundo islâmico (astronomia e cartografia); Entre 850 e 929, ocorre a introdução do círculo unitário pelo matemático árabe Al-Battani; A partir do renascimento, época da expansão marítima européia, a trigonometria passou a ser usada na cartografia e na topografia (Fibonacci); Necessidade de se refazer os cálculos da astronomia posicional, devido a adoção do sistema heliocêntrico de Copérnico ( ); Desenvolvimento da navegação exigia mapas mais precisos e cálculos mais exatos da efemérides astronômicas. 18 / 24

61 Os alemães contribuíram fortemente para o desenvolvimento da trigonometria. 19 / 24

62 Os alemães contribuíram fortemente para o desenvolvimento da trigonometria. George Peurbach ( ): Traduziu o Almagesto diretamente do grego e calculou tabelas de senos mais precisas; 19 / 24

63 Os alemães contribuíram fortemente para o desenvolvimento da trigonometria. George Peurbach ( ): Traduziu o Almagesto diretamente do grego e calculou tabelas de senos mais precisas; Regiomontanus ( ): organizou a trigonometria como parte da matemática independente da astronomia. 19 / 24

64 Os alemães contribuíram fortemente para o desenvolvimento da trigonometria. George Peurbach ( ): Traduziu o Almagesto diretamente do grego e calculou tabelas de senos mais precisas; Regiomontanus ( ): organizou a trigonometria como parte da matemática independente da astronomia. Bartholomaus Pitiscus ( ): introduziu o termo Trigonometria (medida dos ângulos de um triângulo). 19 / 24

65 Sumário 1 Etimologia / 24

66 Segundo os PCN, ensino médio, o objetivo do ensino da trigonometria é: 21 / 24

67 Segundo os PCN, ensino médio, o objetivo do ensino da trigonometria é: Utilizar e interpretar modelos para resolução de situações-problema que envolvam medições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis, e para construir modelos que correspondem a fenômenos periódicos. 21 / 24

68 Segundo os PCN, ensino médio, o objetivo do ensino da trigonometria é: Utilizar e interpretar modelos para resolução de situações-problema que envolvam medições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis, e para construir modelos que correspondem a fenômenos periódicos. Compreender o conhecimento científico e tecnológico como resultado de uma construção humana em um processo histórico e social, reconhecendo o uso de relações trigonométricas em diferentes épocas e contextos sociais. 21 / 24

69 EXEMPLO 22 / 24

70 EXEMPLO Um atleta lançou um dardo e o estudante na cabine (B) observou os seguintes dados: B = e P = Até então, o recorde mundial era de 55 pés. Esse atleta quebraria essa marca? 22 / 24

71 Sumário 1 Etimologia / 24

72 Unidades de medida de ângulos; 24 / 24

73 Unidades de medida de ângulos; Trigonometria no triângulo retângulo; 24 / 24

74 Unidades de medida de ângulos; Trigonometria no triângulo retângulo; Trigonometria na circunferência; 24 / 24

75 Unidades de medida de ângulos; Trigonometria no triângulo retângulo; Trigonometria na circunferência; Funções Trigonométricas; 24 / 24

76 Unidades de medida de ângulos; Trigonometria no triângulo retângulo; Trigonometria na circunferência; Funções Trigonométricas; Lei dos Senos e Lei dos Cossenos; 24 / 24

77 Unidades de medida de ângulos; Trigonometria no triângulo retângulo; Trigonometria na circunferência; Funções Trigonométricas; Lei dos Senos e Lei dos Cossenos; Equações Trigonométricas. 24 / 24

78 Para ter sucesso na disciplina... Assista todas as aulas: 25 / 24

79 Para ter sucesso na disciplina... Assista todas as aulas: Leia! 25 / 24

80 Para ter sucesso na disciplina... Assista todas as aulas: Leia! Resolva problemas, sempre. 25 / 24

81 Para ter sucesso na disciplina... Assista todas as aulas: Leia! Resolva problemas, sempre. Faça você mesmo! 25 / 24

82 Para ter sucesso na disciplina... Assista todas as aulas: Leia! Resolva problemas, sempre. Faça você mesmo! Revise. 25 / 24

83 Para ter sucesso na disciplina... Assista todas as aulas: Leia! Resolva problemas, sempre. Faça você mesmo! Revise. Não espere entender tudo da primeira vez. 25 / 24

84 Para ter sucesso na disciplina... Assista todas as aulas: Leia! Resolva problemas, sempre. Faça você mesmo! Revise. Não espere entender tudo da primeira vez. Relaxe. Talvez seja mais fácil do que o que você pensa. 25 / 24