2.1 Visualizando - Visualize um gráfico com uma função linear, y = ax + b - Neste caso, a taxa de crescimento é o valor de a, já que sabemos que:

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1 1. O que é uma taxa? Universidade Federal de Alagoas Instituto de Ciências e Biológicas e da Saúde BIOB-003 Biomatemática Prof. Marcos Vinícius Carneiro Vital - Em poucas palavras, podemos descrever uma taxa como a quantidade de mudança em uma variável em função de outra. Ou seja: y x = f(x 2 ) f(x 1 ) = y 2 y 1 x 2 x 1 x 2 x 1 - Podemos calcular taxas em várias situações diferentes: temos taxas de crescimento, taxas de reação, e até o conceito de velocidade em si é uma taxa! Em todas as situações, estamos simplesmente subtraindo um valor da variável dependente por um valor anterior e dividindo o resultado pelo resultado da subtração de um valor correspondente da variável independente pelo valor anterior equivalente. - Se estivermos lidando com qualquer fenômeno que não seja linear, então necessariamente estamos calculando uma taxa média. Isto acontece porque as taxas das funções não lineares variam na medida que avançamos com os valores da variável independente. - Por exemplo, uma população de bactéria em crescimento exponencial cresce cada vez mais rapidamente, então sua taxa de crescimento aumenta com o tempo. O mesmo raciocínio pode ser aplicado, por exemplo, a um carro que está constantemente acelerando, de forma que sua velocidade aumenta com o tempo. 2. Um exemplo: crescimento 2.1 Visualizando - Visualize um gráfico com uma função linear, y = ax + b - Neste caso, a taxa de crescimento é o valor de a, já que sabemos que: a = y x

2 Função linear Agora imagine um gráfico de crescimento exponencial, y = ax n - Se calcularmos o valor de a da mesma maneira, veremos que ele muda ao longo do tempo! - Na prática, em cada instante, a taxa de crescimento é o coeficiente angular de uma tangente (voltaremos a esta idéia mais adiante). Função exponencial

3 2.2 Visualizando os valores y = ax + b y = aq^x a 2 a 10 b 10 q 2 y x taxa y x Taxa Taxa média de variação 3.1 Definição - Seja y = f(x) uma função qualquer, e dado que o intervalo entre x1 e x2 pertence ao domínio desta função. - A variação total de y no intervalo x1 e x2 é Δy = f(x2) f(x1) - Relacionando esta variação ao incremento Δx = x2 x1 - Δy/ Δx = (f(x2) f(x1))/( x2 x1) - Que é a taxa media de variação. - Nenhum mistério aqui, estamos apenas calculando as taxas da mesma maneira que já conhecemos, mas com um pequeno aumento de rigor no que diz respeito à sua descrição matemática. 3.2 Exemplos - Uma variedade enorme de coisas pode ser representada em taxas, aplicadas a vários problemas em áreas diferentes. Alguns exemplos: - Taxa de crescimento populacional (tamanho da população por tempo). - Taxa de reação (quantidade de uma substância por tempo). - Densidade populacional (número de indivíduos por área).

4 3.3 Coeficiente angular -Se nos lembrarmos da função linear, podemos notar que Δy/ Δx = a. - Isto quer dizer que uma taxa é o coeficiente angular de uma reta! - Quando estamos lidando com uma função linear, então, a taxa média é sempre a mesma, e equivale ao valor de a. - Para todas as outras funções, a taxa média muda dependendo do intervalo de x que escolhermos para calculá-la. Dentro deste intervalo, a taxa será igual ao coeficiente angular de uma reta que passa pelos dois pontos da curva que limitam o intervalo de x escolhido. 4. Taxa instantânea de variação - O ponto de partida para passar da matemática que vimos até agora para o cálculo diferencial é passar de uma taxa média de variação para uma taxa instantânea. - Se pensarmos em crescimento populacional, por exemplo, o que faremos é imaginar o que acontece com o tamanho da população em intervalos de tempo cada vez menores, até chegar a um intervalo tão pequeno, que temos uma taxa instantânea de crescimento populacional. - Matematicamente, vamos continuar pensando em Δy/ Δx, mas agora: - x2 x1, o que é mesmo que dizer que Δx 0 - E a reta que passava pelos dois pontos tende para a tangente daquele ponto (ou seja, para a reta que toca apenas o ponto x1). Isto quer dizer que o coeficiente angular da reta tende para o coeficiente angular da tangente: a at

5 - A nossa taxa instantânea, então, pode ser representada como: - E este limite é a nossa derivada! y lim x 2 x 1 x = a t - Rigorosamente: seja y = f(x) uma função definida em um intervalo que contém o ponto x1, e o limite acima descrito existir, então dizemos que a função y = f(x) é diferenciável em x1. 5. Notação Exercício 1 - Existem várias maneiras de representarmos uma derivada. As mais comuns: y lim x 2 x 1 x = y = f (x) = dy dx = df dx = Df(x 1) Aqui temos apenas um exercício resolvido, pois este assunto será mais elaborado na próxima aula, quando veremos mais exemplos. Após invadir um lago, uma população de uma espécie exótica (ou seja, que não é nativa de uma determinada região) de peixe cresce segundo a seguinte função polinomial: N = N t + 3t 2 Onde N é o número de indivíduos na população, e t é o tempo medido em meses Qual o tamanho da população após 12 meses da introdução de 10 indivíduos? Aqui, por mais que a equação seja um pouco mais complicada do que as que estamos acostumados a ver, a situação é bem simples: basta substituir os valores da variável independente (o tempo) e teremos o valor da dependente (o tamanho da população). O valor de N0 é 10, pois representa o número inicial de indivíduos na população. E o valor de t é 12, o número de meses passados após a introdução: N = = Esboce o gráfico do crescimento populacional desta espécie, considerando apenas valores inteiros de tempo e obedecendo ao domínio D = {t 0 t 6} Para traçar o gráfico, devemos obter cada valor de N para o valor de t correspondente. Ou seja, temos que substituir, na fórmula, os valores de t de 0 até 6, considerando apenas os números inteiros. Ficaria mais ou menos assim:

6 1.3. Calcule a taxa média de crescimento populacional deste peixe em dois intervalos de tempo: do momento inicial (ou seja, t = 0) até o terceiro mês (t = 3), e do terceiro mês até o sexto mês (t = 6). Aqui basta calcular as duas taxas médias, usando os mesmos valores de N que você já encontrou ao criar o gráfico. Teremos: e y = x 3 0 = 24 y = x 6 3 = 42