EAE Microeconomia 1 (2018) Provinha 2 Prof. José R. N. Chiappin

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1 EAE Microeconomia (208) Provinha 2 Prof. José R. N. Chiappin Monitores: Lucas Freddo (turma 2) e Victor Dornelas (turma ) 0/04/208. Considere a função utilidade: u(x, x 2 ) = x /2 + x 2, com (x, x 2 ) R 2 +. (a) Verifique se as preferências subjacentes à função são (estritamente?) monótonas. Qual a intuição econômica desta característica? Como u é diferenciável, para verificarmos se representa preferências monótonas basta analisar suas derivadas: u(x, x 2 ) x = 2 > 0 u(x, x 2 ) x 2 = 2 x 2 > 0 A utilidade marginal dos dois bens é positiva, implicando que a utilidade é estritamente crescente no consumo de ambos. Sendo isso verdade, as preferências devem ser estritamente monótonas, indicando que, para o indivíduo, quanto mais, melhor. (b) Agora verifique se elas são (estritamente?) convexas. Qual a intuição econômica desta característica? Novamente, graças à diferenciabilidade de u, podemos verificar convexidade através da TMS: T MS,2 (x, x 2 ) = u(x, x 2 )/ x u(x, x 2 )/ x 2 = x 2 Se as preferências forem estritamente convexas, devemos ter a TMS crescente em x 2 : T MS,2 (x, x 2 ) x 2 = 2 x 2 > 0 Portanto, são estritamente convexas: quanto mais unidades do bem 2 o indivíduo tem, mais valiosa se torna uma do bem em termos de 2, e vice-versa. Ou seja, ele prefere diversificação em sua cesta de consumo. (c) Imagine que uma pessoa com estas preferências esteja num mercado em que os preços unitários sejam p = 4 e p 2 = 2. Dado que a renda dela é de $8, encontre a cesta de consumo ótima nessas condições (não deixe de argumentar se há soluções de canto!). O problema da pessoa é: 2 { Max (x,x ) R 2 u(x, x 2 ) = x /2 + x 2 s.a 4x + 2x 2 8; x 0, x 2 0. de 8

2 Com o lagrangeano, temos: Obtemos as CPO: Max L(x, x 2, λ) = x /2 + x 2 λ(4x + 2x 2 8) (x,x 2 ) R 2 + L(x, x 2, λ ) x = 2 4λ 0 (= 0 se x > 0) L(x, x 2, λ ) = x 2 2 2λ 0 (= 0 se x x 2 > 0) 2 Além disso, candidatos à solução devem satisfazer: λ (4x + 2x 2 8) = 0 λ 0; 4x + 2x 2 8 Note que, da primeira CPO, nós já temos que a restrição orçamentária deve ser ativa na solução, pois: 2 4λ 0 = λ 8 > 0 Alternativamente, podíamos ter deduzido isso do fato de as preferências serem monótonas (i. e., o consumidor tenta comprar o máximo possível, esgotando assim sua renda). Resolvido isso, passamos a testar a possibilidade de soluções de canto. suponha x 2 = 0. Na segunda CPO, teríamos: 2 0 2λ 0 = λ + Sob esta hipótese, não existe valor definido para λ. Logo, não pode existir solução com x 2 = 0. Segue que x 2 > 0. suponha x = 0. Como a restrição orçamentária deve ser ativa, isto implica que: 4x + 2x 2 = x 2 = 8 x 2 = 9 Com isso, conseguimos calcular λ através da segunda CPO: Todavia, pela primeira CPO deveria valer: 2 9 2λ = 0 = λ = 4 9 = 2 2 4λ 0 = λ 8 Encontramos assim uma contradição. Não pode existir solução com x = 0. Segue que x > 0. 2 de 8

3 A solução do problema é, portanto, interior e está sobre a restrição orçamentária. Segue que as duas CPO valem com igualdade. Na primeira delas, temos: Substituindo na segunda: E, finalmente, pela restrição orçamentária: 2 4λ = 0 = λ = 8 2 2λ = 0 x x 2 8 = 0 x 2 = 2 x 2 = 4 4x + 2x 2 = 8 4x = 8 x = 5 2 A cesta encontrada é única: (x, x 2) = (5/2, 4). Note que ela atende à condição de soluções interiores: T MS,2 (5/2, 4) = 4 = 2 = p p 2 T MS,2 (5/2, 4) = p p 2 Ademais, sabemos que esta é a solução devido ao fato de u ser uma função globalmente côncava (portanto, quase-côncava), implicando que as CPO são necessárias e suficientes para (x, x 2) ser o máximo restrito. (d) Suponha que esta pessoa, além dos $8 iniciais, receba mais $4. Qual a nova solução do problema? Alterando o lagrangeano, temos: Max L(x, x 2, λ) = x /2 + x 2 λ(4x + 2x 2 32) (x,x 2 ) R 2 + As conclusões do item anterior que obtivemos sem fazer referência à renda da pessoa permanecem as mesmas: a restrição orçamentária deve ser ativa e não pode existir solução com x 2 = 0. Sendo assim, resta verificar se x = 0. Da restrição orçamentária: Substituindo na segunda CPO: 4x + 2x 2 = x 2 = 32 x 2 = λ = 0 = λ = 4 6 = 6 3 de 8

4 Novamente, há contradição com a primeira CPO, que exige λ /8. Portanto, a solução deve ser tal que x > 0. Como no item anterior, isto implica que λ = /8 e, pela segunda CPO: 2 2λ = 0 x x 2 8 = 0 x 2 = 2 Finalmente, pela restrição orçamentária: A nova cesta ótima (x, x 2) = (6, 4). x 2 = 4 4x + 2x 2 = 32 4x = 32 x = 6 (e) Compare esta nova cesta com a do item c: o consumo dos dois bens variou na mesma proporção? Que característica (ou ausência dela) nestas preferências explica sua resposta? Elabore (use gráficos se julgar necessário). Evidentemente, a renda maior levou ao aumento do consumo apenas do bem. Isto decorre do fato de estas preferências não serem homotéticas. A expansão da renda pressiona o indivíduo a consumir mais; todavia, como sua TMS depende apenas de x 2, elevar o consumo deste bem faria com que ela ficasse maior que a razão dos preços. Isto implicaria que ele valoriza mais o bem em termos do bem 2 que o mercado e teria, portanto, ganhos de utilidade ao comprar menos bem 2 para gastar mais com o. Assim, x 2 não se altera e ele gasta toda a renda adicional em x. Ou seja, uma cesta não proporcional à original é a que possibilita ao consumidor manter a TMS (inclinação de suas curvas de indiferença) constante, justamente o contrário do que exige a homoteticidade. x 2 Se as preferências fossem homotéticas, a segunda curva de indiferença estaria tangenciando a nova restrição orçamentária na interseccção com o raio da origem (em destaque no círculo azul). 4 x 2. Donald, um indivíduo bon-vivant, gosta de apreciar charutos (c) e taças de conhaque (t) todas as noites. A utilidade que ele deriva do consumo destes bens é dada por: u(c, t) = 20c c 2 + 8t 3t 2 /2, com (c, t) R 2 +. Para ele, que de alguma forma se fez dono de imensa fortuna, dinheiro não é nenhuma restrição. 4 de 8

5 (a) Expresse formalmente o problema de Donald enquanto consumidor. Ele difere em algo dos problemas habituais de maximização de utilidade? O problema de Donald é: Max u(c, t) = 20c c 2 + 8t 3t 2 /2 (c,t) R 2 s.a c 0, t 0. A diferença deste em relação aos problemas habituais é que não há restrição orçamentária. (b) Há alguma característica nessas preferências que garante a existência de solução, apesar do que você notou no item anterior? Justifique. As preferências são localmente saciadas; i. e., existe um ponto em que o indivíduo se dá por satisfeito e deixa de consumir. Matematicamente, isto significa que a função utilidade tem um máximo global, de forma que, mesmo sem restrição orçamentária, o consumo ótimo tem uma solução definida (não tende a infinito). Podemos ver isso através das derivadas de u: u(c, t) = 20 2c { 0 para c 0; < 0 para c > 0. u(c, t) = 8 3t { 0 para t 6; < 0 para t > 6. Se tivéssemos monotonicidade, as derivadas deveriam ser 0 para qualquer (c, t) R 2 +. Ademais, analisando o hessiano: [ ] { 2 0 MP L = 2 H(c, t) = = 0 3 MP L 2 = 6 temos que ele é negativo definido para qualquer (c, t). É uma função globalmente côncava: seu ponto crítico é máximo global, como dito. (c) Se você acredita que há solução para o problema, apresente-a agora: qual a combinação ótima de charutos e taças de conhaque que Donald consome em uma noite? As CPO são: u(c, t ) u(c, t ) = 20 2c 0 (= 0 se c > 0) = 8 3t 0 (= 0 se t > 0) Claramente, as CPO são desrespeitadas se c ou t forem iguais a zero. Portanto, a solução deve ser interior, o que implica que as CPO valem com igualdade: u(c, t ) = 20 2c = 0 = c = 0 u(c, t ) = 8 3t = 0 = t = 6 5 de 8

6 A solução é (c, t ) = (0, 6). Pelo item acima, sabemos se tratar de máximo global. Os médicos de Donald o informaram que, após décadas abusando da saúde, o número de taças de conhaque somado com o de charutos que ele consome por noite não pode passar de 6. (d) Expresse formalmente o problema de Donald sob estas novas circunstâncias. Escreva o lagrangeano e encontre a escolha ótima, deixando claro seu raciocínio (não deixe de argumentar se há soluções de canto!). Há necessidade de verificar as condições de segunda ordem para afirmar que a cesta encontrada é de fato a solução? O problema de Donald agora é: Com o lagrangeano, temos: Obtemos as CPO: 2 2 Max (c,t) R 2 u(c, t) = 20c c + 8t 3t /2 { s.a c + t 6; c 0, t 0. Max L(c, t, λ) = 20c c 2 + 8t 3t 2 /2 λ(c + t 6) (c,t) R 2 + = 20 2c λ 0 (= 0 se c > 0) = 8 3t λ 0 (= 0 se t > 0) Além disso, candidatos à solução devem satisfazer: λ (c + t 6) = 0 λ 0; c + t 6 Comecemos a testar as restrições. suponha c = 0. Na primeira CPO: λ 0 = λ 20 > 0 Como λ > 0, a restrição deve ser ativa. Assim: Substituindo na segunda CPO: c + t = 6 = t = 6 8 3t λ = = λ λ = 0 o que contradiz λ 20. Assim, não pode existir solução com c = 0. Segue que c > 0. 6 de 8

7 suponha t = 0. Na segunda CPO: λ 0 = λ 8 > 0 Como λ > 0, a restrição deve ser ativa. Assim: Substituindo na primeira CPO: c + t = 6 = c = c λ = = λ λ = 8 o que contradiz λ 8. Assim, não pode existir solução com t = 0. Segue que t > 0. suponha que c + t < 6 = λ = 0 (i. e., a restrição não é ativa). Nas CPO, que concluímos acima valerem com igualdade: = 20 2c 0 = 0 = c = 0 = 8 3t 0 = 0 = t = 6 Mas esta cesta viola a restrição c + t 6: Logo, a restrição deve ser ativa na solução. c + t = = 6 > 6 Descobrimos então que a solução deve ser interior e estar sobre a reta c + t = 6. Das CPO: = 20 2c = λ = 8 3t = λ Segue que: 20 2c = λ = 8 3t c = + 3t /2 Substituindo na restrição: c + t = 6 ( + 3t /2) + t = 6 5t /2 = 5 t = 2 = c = 4 A cesta ótima é, portanto, (c, t ) = (4, 2). Não é necessário verificar as CSO porque u é quase-côncava. Se você argumentou no item b que ela é côncava (consequentemente, quase-côncava), não precisa falar mais nada. 7 de 8

8 (e) Você consegue imaginar alguma interpretação economicamente intuitiva para o multiplicador de Lagrange? Nos problemas habituais de maximização de utilidade, o multiplicador de Lagrange admite ser interpretado como a utilidade marginal da renda: i. e., quanto de utilidade o consumidor "ganha"ao receber um aumento marginal em sua renda (que é o que limita suas possibilidades de escolha). No caso de Donald, seu recurso escasso não é dinheiro, mas sim saúde (conforme medida pela quantidade de conhaque e charutos que ele pode ingerir). Sendo assim, podemos interpretar λ como a utilidade marginal da saúde : o quanto uma melhora marginal no quadro clínico de Donald elevaria sua utilidade no consumo de (c, t). 8 de 8