Falso. Sendo i a elasticidade-renda do bem i e $ i a participação deste bem na renda do indivíduo, sabemos, pela agregação de Engel que: i $ i = 1

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1 Mestrado em Finanças e Economia Empresarial Microeconomia - a Lista de Exercícios Prof.: Carlos Eugênio Monitor:Amanda Schultze (schultze@fgvmail.br) 1 a Questão Responda Verdadeiro, Falso ou Depende, justi cando sua resposta: a. Para um pobre todos os bens são necessidades, ou seja, suas elasticidades renda da demanda são sempre menores que 1. Dica: responda com base na agregação de Engel, obtida a partir da restrição orçamentária do consumidor. R. Falso. Sendo i a elasticidade-renda do bem i e $ i a participação deste bem na renda do indivíduo, sabemos, pela agregação de Engel que: nx i $ i = 1 i=1 Portanto, se para um determinado bem j i < 1; então tem que haver pelo menos um bem k tal que k > 1. b. Um bem inferior é um bem de Gi en, mas um bem de Gi en pode não ser um bem inferior. (adicionalmente, entenda o processo de derivação da equação de Slutsky). R. Falso. Se o efeito renda superar o efeito substituição, o bem inferior será um bem de Gi en. c. Se a oferta de trabalho (que equivale à demanda por lazer) cai com o aumento do salário é porque o lazer é um bem de Gi en. R. Falso. Via equação de Slutsky temos j u=u (L Se o lazer for um bem de Gi en o efeito da elevação do salário sobre a oferta de trabalho deveria ser positivo. a Questão (Oferta de trabalho com comparação social) Considere um indivíduo com preferências sobre consumo e trabalho. A característica particular deste problema é que a utilidade do bem de consumo c depende de um nível de referência S que pode ser interpretado como o consumo médio da sociedade. A função utilidade é dada por: u(c; l; S) = (c S)l 1

2 onde S > 0 e l é a quantidade de lazer. O preço do bem de consumo é p. Pede-se: (a) Considere o problema da escolha ótima da oferta de trabalho por um dia. O indivíduo possui uma dotação de 4 horas que pode ser alocada em trabalho (4 l) e lazer (l). O salário hora (w) é a única fonte de renda do indivíduo. Escreva a restrição orçamentária do indivíduo como função de c e l. Explique o motivo pelo qual, neste caso, podemos supor que a restrição vale com igualdade. (b) Escreva o problema de maximização da utilidade do trabalhador com relação a c e l. Suponha que a restrição é válida com igualdade, monte o lagrangeano e resolva o problema do trabalhador. R. a) Entenda como se o indivíduo comprasse bens (c) e lazer (l), ou seja, sua restrição será: b) O lagrangeano será: cujas C.P.O serão: pc (4 l)w ) pc wl 4w L(c; l; ) = (c S)l (4w pc wl) Resolvendo teremos = 0 ) l = p = 0 ) (c S) = = 0 ) pc wl = c = 1w p S l ps = 1 w 3 a Questão (Utilidade Stone-Geary) Suponha que um determinado indivíduo ordena suas escolhas de acordo com a seguinte função utilidade: ny u(x) = (x i a i ) bi i=1

3 onde b i 0 e P b i = 1: a i 0 pode ser interpretado como o nível de subsistência para os respectivos bens (x 0 i s). De nindo p i como o preço de cada bem "i", resolva o problema deste consumidor. R. Das C.P.O do problema teremos: logo b (x i a i ) i ny 1 b i (x i a i ) bi = p i 8i = 1; :::; n: (x i a i ) j=1(j6=i) aplicando somatório em "i", teremos: b i p i (x i a i ) = b k p k (x k a k ) x k = a k b k p k " y nx pi a i 4 a Questão Suponha que um indivíduo viva por dois períodos. Há um único bem na economia, x o qual é vendido por preço unitário nos dois períodos. O indivíduo possui dotações w 1 e w, respectivamente. Há um mercado de crédito, através do qual é possível transferir ativos de um período para outro. A taxa de juros é r > 0. O consumidor deseja maximizar i=1 # u(x 1 ) u(x ); 0 < < 1 A função utilidade é estritamente crescente. (obs: bem lembrado, poderemos nesta questão utilizar o teorema do envelope). a. Suponha que os indivíduos tenham restrição ao crédito, de modo que sua poupança no primeiro período não possa ser negativa. Encontre o impacto marginal sobre a utilidade de um aumento na taxa de juros? O que você poderá a rmar sobre seu sinal? b. Responda o item anterior supondo agora que os indivíduos não sofram restrição ao crédito e sejam devedores. R. a) Observe que o Kuhn-Tucker do problema é dado por: 1. L = u(x 1 ) u(x ) [w 1 (1 r) w x 1 (1 r) x ] [w 1 x 1 ] Pelo Teorema do envelope: 3

4 b) Nesse caso, nota-se = [w 1 x 1 ] R 0, [w 1 x 1 ] R 0 Isto é, os devedores piorarão e os credores melhorarão. 5 a Questão (Escolha Intertemporal) Um indivíduo tem preferências entre consumo presente e consumo futuro representáveis pela função: U(x 1 ; x ) log(x 1 ) log(x ) onde x 1 é o consumo presente e x é o consumo futuro. Supondo que o agente tenha renda em cada um dos períodos dada por x 1 e x e que a taxa de juros seja r pede-se: (note que é um problema de períodos) a. Escreva a restrição orçamentária do agente; b. Encontre x 1 e x e a poupança ótima como função de x 1 ; x e r. c. Suponha que x = 0. Qual o efeito de uma elevação dos juros sobre x 1 ; x e sobre a poupança (s)? R. Solução: Restrição Orçamentária: Em t = 1: Em t = : x 1 s = x 1 Daí teremos que: x = (1 r)s x x 1 x 1 r = x 1 x 1 r b) Para resolver o problema, pode ser mais simples se zermos via escolha da poupança ótima: x 1 = x 1 s x = (1 r)s x 4

5 De forma que o indivíduo resolve: MaxU(s) log(x 1 s) log((1 r)s x ) s Das condições de 1 a ordem teremos: x 1 1 s = 1 r (1 r)s x ) (1 r)s x = (1 r)(x 1 s) ) (1 r)s x = (1 r)x 1 ) s = x 1 x (1 r) Daí é simples encontrar x 1 e x.; x 1 = x 1 x1 x (1 r) ) x 1 = x 1 x (1 r) c)se x = 0 x1 x = (1 r) ) x = (1 r)x 1 x x (1 r) x x 1 = x 1 x = (1 r)x 1 s = x 1 Logo, se o indivíduo não recebe renda no segundo período, uma elevação dos juros afetará positivamente o consumo em t =, não tendo qualquer efeito sobre a poupança ou sobre o consumo no primeiro período. 6 a Questão (Minimização de Gastos) Considere um consumidor com a seguinte função utilidade: u (x 1 ; x ) = x 1 x ; > 0 Supondo que os preços dos bens são p 1 e p, resolva o problema de minimização de gastos deste consumidor, encontrando a respectiva função despesa. R. O problema do consumidor é: 5

6 Min x 1;x p 1 x 1 p x s:a: x 1 x u O lagrangeano do problema é: L = p 1 x 1 p x [u x 1 x ] As condições de Primeira ordem 1 = 0 ) x 1 1 x = p = 0 ) x 1 x 1 = p = p1 p ) x x 1 = p1 p ) x 1 = px p 1 Substituindo o resultado na função utilidade teremos: ) x 1 1 x x 1 x 1 x h 1 = u 1 p p 1 x h = u 1 p1 p e(p; u) = p 1 x h 1 p x h 7 a Questão Derive a função utilidade direta do consumidor se sua função utilidade indireta possui a forma: v(p; y) = yp 1 p para e negativos. Solução: O Problema é dado por: U(x) = minv (p; 1) p 1;p s:a: p 1 x 1 p x = 1 C:P:O : De onde temos: p 1 1 p p 1 p 1 = x 1 x U(x) = x1 x ( ) ( ) 6