Capítulo 10. Técnicas de Resposta de Freqüência

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1 Capítulo 10 Técnicas de Resposta de Freqüência

2 Fig.10.1 O Analisador Dinâmico de Sinal HP 35670A obtém dados de resposta de freqüência de um sistema físico. Os dados exibidos podem ser usados para analisar, projetar ou determinar um modelo matemático para o sistema. Cortesia da Hewlett-Packard. 2

3 Fig.10.2 Resposta de freqüência senoidal: a. sistema; b. função de transferência; c. formas de onda de entrada e de saída. Entrada Mola Amortecimento viscoso Massa Saída 3

4 Fig.10.3 Sistema com entrada senoidal 4

5 Fig.10.4 Gráficos de resposta de freqüência de G(s) = 1/(s + 2) : magnitude e fase separados Fase (graus) 0,1 0,1 Freqüência (rad/s) Freqüência (rad/s) 5

6 Fig.10.5 Gráficos de resposta de freqüência para: G(s) = 1/(s + 2): gráfico polar. 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0, 5 0, 1 0,05 0,10 0,15 0,20 0, 6 0, 7 0, 8 0, 9 0, 5 0, 2 0, 3 0, 4 0,25 Nota: 6

7 Fig.10.6 Gráficos de Bode para (s + a): a. gráfico de magnitude; b. gráfico de fase 0,01 0,11 Freqüência (rad/s) Inclinação = + 6 db/oitava = +20 db/década Fase (graus) Inclinação = 45 /década 0,01 0, 1 Freqüência (rad/s) 7

8 Tabela 10.1 Dados da resposta de freqüência assintótica e real normalizada e em escala para (s + a) Freqüência a rad/s Assintótica Real Assintótica 0,01 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 15,56 26,02 32,04 35,56 38,06 0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,17 0,64 1,34 2,15 3,01 6,99 12,30 15,68 18,13 20,04 26,03 32,04 35,56 38,06 40,00 Fase (graus) Real 0,00 0,57 0,00 1,15 0,00 2,29 0,00 3,43 0,00 4,57 0,00 5,71 13,55 11,31 27,09 35,02 40,64 45,00 58,55 72,09 80,02 85,64 90,00 90,00 90,00 90,00 90,00 90,00 21,80 30,96 38,66 45,00 63,43 75,96 80,54 82,87 84,29 87,14 88,57 89,05 89,28 89,43 8

9 Fig.10.7 Resposta assintótica e real normalizada de magnitude em escala para (s + a) Capítulo 10: Técnicas de Resposta de Freqüência Real Aproximação assintótica 0,1 Freqüência a 9

10 Fig.10.8 Resposta assintótica e real normalizada de fase em escala para (s + a). Capítulo 10: Técnicas de Resposta de Freqüência Fase (graus) Aproximação assintótica Real 0,1 Freqüência (rad/s) a 10

11 Fig.10.9 Gráficos de Bode normalizados e em escala para a. G(s) = s; b. G(s) = 1/s; c. G(s) = (s + a); d. G(s) = 1/(s + a) Fase (graus) 0,01 0,1 0,01 0,1 40 0,01 0,1 Freqüência Freqüência Freqüência a /oitava /década /oitava /década Fase (graus) 0,01 0,1 Freqüência 0,01 0,1 Freqüência 0,01 0,1 Freqüência a /oitava /década /oitava /década Fase (graus) /década Fase (graus) década 0,01 0,1 Freqüência a 0,01 0,1 Freqüência a 11

12 Fig Sistema de controle com retroação unitária a malha fechada 12

13 Fig Gráfico logarítmico de magnitude de Bode para o Exemplo 10.2: a. componentes; b. composição 0,1-20 db/déc (-6 db/oit) 20 db/déc (6 db/oit) -20 db/déc (-6 db/oit) Freqüência (rad/s) -40 db/déc (-12 db/oit) -60 db/déc (-18dB/oit) -40 db/déc (-12 db/oit) 0,1 Freqüência (rad/s) 13

14 Tabela 10.2 Gráfico de magnitude de Bode: contribuição na inclinação de cada pólo e de cada zero do Exemplo 10.2 Início: Pólo em 0 Início: Pólo em -1 Início: Pólo em -2 Início: Zero em -3 Freqüência (rad/s) 0,1 Pólo em 0 Pólo em -1 Pólo em -2 Zero em -3 Inclinação total (db/década) 14

15 Tabela 10.3 Gráfico de fase de Bode: contribuição na inclinação de cada pólo e de cada zero do Exemplo 10.2 Início: Pólo em -1 Início: Pólo em -2 Início: Zero em -3 Término: Pólo em -1 Término: Pólo em -2 Término: Zero em -3 Freqüência (rad/s) Pólo em -1 Pólo em -2 Zero em -3 0,1 0,2 0,3 Inclinação total (graus/década) 15

16 Fig Gráfico de fase de Bode para o Exemplo 10.2: a. componente; b. composição Fase(graus) Fase(graus) Freqüência (rad/s) Freqüência (rad/s) 16

17 Fig Assíntotas de Bode normalizadas e em escala para G(s) = a. magnitude; b. fase Fase (graus) 0,01 0,1 Inclinação = 90 /década Inclinação = 12dB/oitava = 40 db/década 0,01 0,1 17

18 Fig Resposta logarítmica de magnitude normalizada e em escala para 1,5 1,0 Assíntota de alta freqüência 0,7 Assíntota de baixa freqüência 0,5 0,3 0,2 0,1 0,1 18

19 Fig Resposta de fase em escala para Fase (graus) Assíntota 0,1 0,2 0,3 0,5 0,7 1,0 1,5 0,1 19

20 Fig Resposta logarítmica de magnitude normalizada e em escala para Assíntota de baixa freqüência 0,1 0,2 0,3 0,5 Assíntota de alta freqüência 0,7 1,0 1,5 0,1 20

21 Fig Resposta de fase em escala para Fase (graus) 0,1 0,2 0,3 0,5 0,7 1,0 1,5 Assíntota 0,1 21

22 Fig Gráfico de magnitude de Bode para G(s) = (s + 3)/[(s + 2) (s 2 + 2s + 25)]: a. componentes; b. composição 0,01 0,1 0,01 0,1 db/déc db/déc Freqüência (rad/s) db/déc Freqüência (rad/s) db/déc Correção db/déc 22

23 Tabela 10.6 Gráfico de assíntotas de magnitude do Exemplo 10.3 Início: Pólo em 2 Início: Zero em -3 Início: ω n = 5 Freqüência (rad/s) Pólo em -2 Zero em -3 0,01 Inclinação total (db/década) 23

24 Tabela 10.7 Gráfico de assíntotas de fase para o Exemplo 10.3 Início: Pólo em -2 Início: Zero em -2 Início: = 5 Término: pólo em 2 Término: zero em Término: Freqüência (rad/s) Pólo em Zero em 0,2 0,3 0,5 Inclinação total (graus/déc) 24

25 Fig Gráfico de fase de Bode para G(s) = (s + 3)/[(s +2) (s 2 + 2s + 25)]: a. componentes; b. composição Fase (graus) Fase (graus) 0,01 0,1 déc déc déc déc Freqüência (rad/s) déc déc déc 0,01 0,1 Freqüência (rad/s) 25

26 Fig Sistema de controle a malha fechada 26

27 Fig Mapeando o contorno A através da função F(s) no contorno B plano s Contorno A plano F Contorno B 27

28 Fig Exemplos de mapeamento de contornos plano s plano s Contorno Contorno plano F plano F Contorno Contorno plano s Contorno plano F Contorno plano s Contorno plano F Contorno plano s Contorno plano F Contorno 28

29 Fig Representação de mapeamento por vetor plano s plano 1 + GH Contorno A Contorno B 29

30 Fig Contorno envolvendo o semiplano da direita para determinar estabilidade plano s 30

31 Fig Exemplos de mapeamento: a. o contorno não envolve os pólos a malha fechada; b. o contorno envolve os pólos a malha fechada plano s plano s plano GH plano GH Raio de teste zeros de 1 + G(s)H(s) pólos do sistema a malha fechada Localização não conhecida pólos de 1 + G(s)H(s) pólos de G(s)H(s) Localização não conhecida 31

32 Fig a. Turbina e gerador; b. diagrama de blocos do sistema de controle de velocidade para o Exemplo 10.4 Pressão do vapor Velocidade desejada Vapor Atuador de válvula Turbina Amplificador, atuador de válvula e válvula de vapor Pressão de vapor Controlador Gerador Medidas de freqüência ou de velocidade Velocidade (ou freqüência) desejada Turbina Gerador Velocidade real 32

33 Fig Cálculo com vetor para elaboração do diagrama de Nyquist para o Exemplo 10.4: a. vetores no contorno em baixas freqüências; b. vetores no contorno em torno do infinito; c. diagrama de Nyquist plano s 0,874 8,36 plano s plano GH 33

34 Fig Contornando pólos a malha aberta: a. pólos no contorno; b. desvio pela direita; c. desvio pela esquerda Capítulo 10: Técnicas de Resposta de Freqüência plano s plano s plano s 34

35 Fig a. Contorno para o Exemplo 10.5; b. diagrama de Nyquist para o Exemplo 10.5 Raio de teste plano GH plano s Dois pólos 35

36 Fig Demonstrando a estabilidade de Nyquist: a. sistema; b. contorno; c. diagrama de Nyquist Capítulo 10: Técnicas de Resposta de Freqüência Plano s Plano GH 1,33 36

37 Fig a. Contorno para o Exemplo 10.6; b. diagrama de Nyquist Capítulo 10: Técnicas de Resposta de Freqüência plano s plano GH 0,

38 Fig a. Contorno e lugar das raízes do sistema que é estável para valor pequeno de ganho e instável para valor grande de ganho; b. diagrama de Nyquist Plano s Lugar das raízes Contorno Plano GH 38

39 Fig a. Contorno e lugar das raízes do sistema que é instável para valores pequenos de ganho e estável para valores grandes de ganho; b. diagrama de Nyquist Plano s Lugar das raízes Contorno Plano GH 39

40 Fig a. Porção do contorno a ser mapeada para o Exemplo 10.7; b. diagrama de Nyquist do mapeamento do eixo imaginário positivo Plano s Contorno Plano GH 40

41 Fig Diagrama de Nyquist mostrando as margens de ganho e de fase plano GH Diagrama de Nyquist Círculo unitário Diferença de ganho antes da instabilidade Margem de ganho Diferença de fase antes da instabilidade Margem de fase 41

42 Fig Diagramas logarítmicos de magnitude e de fase de Bode para o sistema do Exemplo 10.9 Fase (graus) 0,01 0,1 /déc db/déc db/déc Freqüência (rad/s) /déc /déc db/déc /déc /déc 0,01 0,1 Freqüência (rad/s) 42

43 Fig Margens de ganho e de fase nos diagramas de Bode Gráfico de ganho Gráfico de fase Fase (graus) 43

44 Fig Sistema de segunda ordem a malha fechada 44

45 Fig Gráfico logarítmico de magnitude representativo da Eq.(10.51) Freqüência em escala logarítmica (rad/s) 45

46 Fig Pico de resposta de freqüência a malha fechada em função da ultrapassagem percentual para um sistema de dois pólos Ultrapassagem percentual 46

47 Fig Banda passante normalizada em função da relação de amortecimento para: a. tempo de assentamento; b. instante de pico; c. tempo de subida Relação de amortecimento Relação de amortecimento Relação de amortecimento 47

48 Fig Círculos M constantes Plano G 48

49 Fig Círculos N constantes Plano G 49

50 Fig Diagrama de Nyquist para o Exemplo e círculos M e N constantes Plano G 50

51 Fig Resposta de freqüência a malha fechada para o Exemplo ,0 0,8 3,5 4,2 0,6 0,4 0,2 0,2 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 0,8 0,9 1,3 1,5 1,7 1,2 1,4 2 2,5 1,6 1,8 51

52 Fig Gráfico de Nichols Capítulo 10: Técnicas de Resposta de Freqüência Magnitude (db) Fase (graus) 52

53 Fig Gráfico de Nichols com resposta de freqüência para G(s) = K/[s(s + 1)(s + 2)] superposta. São mostrados valores para K = 1 e K = 3,16 Magnitude (db) Fase (graus) 53

54 Fig Margem de fase em função da relação de amortecimento Capítulo 10: Técnicas de Resposta de Freqüência Margem de fase (graus) 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 Relação de amortecimento 54

55 Fig Ganho a malha aberta em função do ângulo de fase a malha aberta para ganho a malha fechada de 3 db. Magnitude a malha aberta (db) Magnitude a malha fechada = -3 db Fase a malha aberta (graus) 55

56 Fig a. Diagrama de blocos; b. diagrama de Bode para o sistema do Exemplo