FUNÇÕES AFINS. Prof. Me. Armando Paulo da Silva Coordenação da Matemática

Transcrição

1 FUNÇÕES AFINS 1

2 Função afins As funções afins são as funções reais de uma variável real, isto é, funções que têm como domínio um subconjunto e cujos valores, para todo, são números reais. 2

3 Produto Cartesiano Um par ordenado é formado por um objeto, chamado a primeira coordenada de e um objeto, chamado a segunda coordenada de. 3

4 Produto Cartesiano O produto cartesiano de dois conjuntos e é o conjunto formado cuja primeira coordenada pertence a e cuja segunda coordenada pertence a. Simbolicamente: 4

5 Função Afim Uma função chama-se afim quando existem constantes tais que. A função identidade, definida por para todo, é afim. Também são afins as translações,. São ainda casos particulares de funções afins as funções lineares, e as funções constantes. 5

6 Taxa de Crescimento ou taxa de variação Dados, com, o número chama-se a taxa de crescimento (ou taxa de variação) da função no intervalo de extremos. 6

7 Classificação de uma função afim Uma função, chama-se: - crescente quando - decrescente quando - monótona não-decrescente quando - monótona não-crescente quando 7

8 Taxa de Crescimento ou taxa de variação Em qualquer dos quatro casos, f diz-se monótona. Nos dois primeiros (f crescente ou f decrescente) diz-se que f é estritamente monótona. Recomenda-se: Não fica bem (embora algumas vezes se faça) chamar apenas de não-decrescentes e nãocrescentes as funções dos dois últimos tipos, pois negar (por exemplo) que uma função seja decrescente não implica necessariamente que ela seja monótona. 8

9 Taxa de Crescimento ou taxa de variação Os quatro casos não são mutuamente excludentes. Pelo contrário, os dois primeiros são casos particulares dos dois últimos. Além disso, naturalmente, há funções que não se enquadram em nenhuma dessas quatro categorias. Uma função afim é crescente quando sua taxa de crescimento (o coeficiente a) é positiva, decrescente quando a é negativo e constante quando a=0. 9

10 Aplicação O preço a pagar por uma corrida de taxi é dado por uma função afim, onde x é a distância percorrida (usualmente medida em quilômetros), o valor inicial b é chamada bandeirada e o coeficiente a é o preço de cada quilômetro rodado. O gráfico dessa função é uma linha reta. 10

11 Coeficientes Do ponto de vista geométrico, b é a ordenada do ponto onde a reta, que é o gráfico da função, intersecta o eixo OY. O número m chama-se inclinação, ou coeficiente angular, dessa reta (em relação ao eixo horizontal OX). Observação: Toda reta não-vertical r é o gráfico de uma função afim. 11

12 Função Afim Se, diz-se que é a equação da reta r. O coeficiente angular ou inclinação da reta é dado por: De modo análogo, vemos que a equação da reta que passa pelo ponto e tem a inclinação a é 12

13 Comentário sobre terminologia Se a função afim f é dada por f(x)= ax+b, não é adequado chamar o número a de coeficiente angular da função f. O nome mais apropriado, que devemos usar, é taxa de variação (ou taxa de crescimento). Em primeiro lugar não há, na maioria dos casos, ângulo algum no problema estudado. Em segundo lugar, mesmo considerando o gráfico de f, o ângulo que ele faz com o eixo horizontal depende das unidades escolhidas para medir as grandezas x e f(x). Em resumo: tem-se taxa de variação de uma função e coeficiente angular de uma reta. 13

14 Comentário sobre terminologia A maioria dos nossos testes escolares refere-se à função afim como função do primeiro grau. Essa nomenclatura sugere a pergunta: o que é o grau de uma função? Função não tem grau. O que possui grau é um polinômio. (Quando, a expressão é um polinômio do primeiro grau.) O mesmo defeito de nomenclatura ocorre também com as funções quadráticas, que incorretamente chamamos de funções de segundo grau. 14

15 Trajano dá a seguinte definição: Diz-se que duas grandezas são proporcionais quando elas se correspondem de tal modo que, multiplicandose uma quantidade de uma delas por um número, a quantidade correspondente da outra fica multiplicada ou dividida pelo mesmo número. No primeiro caso, a proporcionalidade se chama direta e, no segundo, inversa; as grandezas se dizem diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. 15

16 Euclides dizia: dois retângulos de mesma altura estão entre si como suas bases. Isto quer dizer que, se a altura de uma retângulo é fixada, a área desse retângulo é proporcional à base. Ou ainda: a área de um retângulo de altura a e base x é uma função linear de x. 16

17 Caracterização da Função Afim Como saber se, numa determinada situação, o modelo matemático a ser adotado é uma função afim? No caso da tarifa de taxi não há problema. Tem-se onde x é a distância percorrida, é o preço a pagar, b é a bandeirada e a é a taxa por quilômetro rodado. Mas nem todo problema é assim tão explícito. 17

18 Caracterização da Função Afim Eduardo Wagner (E.W.) observou, numa sapataria, o vendedor determinava o número do sapato do cliente medindo seu pé com uma escala na qual, em vez de centímetros, estavam marcados os números...,36,37,38,.... O fato mais importante que ele percebeu foi que esses números estavam espaçados, isto é, a distância de cada um deles para o seguinte era constante. Isto queria dizer que os acréscimos eram iguais ao tamanho do pé correspondiam aos acréscimos iguais ao número do sapato. Dito de outro modo: se um certo pé precisar de crescer h centímetros para passar de tamanho 33 para 34, precisará de crescer os mesmos h centímetros para passar de 38 para 39. Isto lhe deu a certeza de que a função que faz corresponder a cada comprimento x de um pé o número f(x) do sapato adequado é uma função afim: f(x)= ax+b. 18

19 Caracterização da Função Afim Utilizando uma régua, E.W., encontrou os seguintes valores: e Utilizando os princípios da função afim, obteve: que dá o número do sapado de uma pessoa em função do comprimento de seu pé em centímetros. 19

20 Caracterização da Função Afim Existe uma conexão interessante entre funções afins e progressões aritméticas, situação análoga acontece entre as funções exponenciais e as progressões geométricas. Se é uma função afim, digamos f(x)=ax+b, e é uma progressão aritmética, então os pontos também estão igualmente espaçados, isto é, formam uma progressão aritmética cuja razão é: 20

21 Funções Poligonais As funções polinomiais surgem naturalmente, tanto na vida cotidiana (imposto de renda como função da renda líquida, preço de uma mercadoria que oferece descontos crescentes quando aumenta quantidade comprada) como em diversas áreas da Matemática (Análise, Cálculo Numérico, Equações Diferenciais,...) Diz-se que é uma função poligonal quando existem tais que, e em cada um dos intervalos, f coincide com uma função afim. 21

22 Funções Poligonais Para evitar descontinuidades, exige-se que Equivalentemente, podemos dizer que uma função é poligonal quando seu gráfico é uma linha poligonal. 22

23 Aplicações 1.A e B são locadores de automóveis. A locadora A cobra 1 real por quilômetro rodado mais uma taxa de 100 reais fixa. A locadora B cobra 80 centavos por quilômetro mais uma taxa fixa de 200 reais. Discuta a vantagem de A sobre B ou de B sobre A em função do número de quilômetros a serem rodados. 23

24 Aplicações 2. Na revelação de um filme, uma óptica calcula utilizando os seguintes critérios: R$ 2,20 por filme revelado (esse valor é cobrado quando o número de fotos for menor ou igual a 10 fotos) e R$ 0,55 por foto. Considerado que P é o preço, em reais, a ser cobrado e n o número de fotos reveladas do filme, auxilie o vendedor desse foto nas seguintes questões: a) Qual a lei de formação para essa situação? b) Quanto pagarei se forem reveladas 10 fotos do meu filme? c) Se paguei a quantia de R$ 18,70 pela revelação, qual o total de fotos reveladas? 24

25 Aplicações 3. A tabela abaixo mostra como deveria ser calculado o imposto de renda (pessoas física) na Declaração de Ajuste Anual do exercício de 2001, ano-calendário de Base de cálculo Alíquota Parcela a deduzir Até R$ Isento - De R$ a R$ % R$ Acima de R$ % R$ Para calcular o imposto devido, basta aplicar a alíquota sobre o total de rendimentos e subtrair o valor da dedução correspondente. a) Quanto seria o imposto devido de uma pessoa que teve, durante o ano, um rendimento de R$ ? b) E de quem teve um rendimento de R$ 8.250? c) Se um cidadão, que só deduz o que está indicado na tabela, faz os cálculos e conclui que seu imposto devido é de 3.490, qual foi o rendimento dele nesse ano? 25

26 Aplicações 4. O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada bandeirada, e uma parcela que depende da distância percorrida. Se a bandeirada custa R$ 3,44 e cada quilômetro rodado custa R$ 0,86: a) Calcule o preço de uma corrida de 11 km. b) Calcule a distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 21,50 pela corrida. c) expresse o valor P a ser pago em função da distância x (em quilômetros) percorrida. 26

27 Aplicações 5. A escala N de temperaturas foi feita com base nas temperaturas máxima e mínima em Cornélio Procópio. A correspondência com a escala Celsius é a seguinte: ºN ºC a)qual é a função que relaciona a temperatura na escala N com a temperatura na escala C? b)em que temperatura ferve a água na escala N? 27

28 Aplicações 6. Uma caixa d água de 1000 litros tem um furo no fundo por onde escoa água a uma vazão constante. Ao meio dia de certo dia ela estava completamente cheia e, às 18 horas desse dia, só tinha 850 litros. Quanto tempo levará para esta caixa ficar com a metade de sua capacidade e que horas será? 28

29 Aplicações As leis da Física, muitas vezes, descrevem relações de proporcionalidade direta ou inversa entre grandezas. Para cada uma das seguintes leis, escreva a expressão matemática correspondente. 29

30 Aplicações Lei da gravitacional universal Matéria atrai matéria na razão direta das massas e na razão inversa do quadrado das distâncias. Dois corpos atraem-se com forças proporcionais às suas massas e inversamente proporcionais ao quadrado da distância entre seus centros. No SI, temos: Essas forças têm mesma intensidade, mesma direção que passa pelo centro dos dois corpos e sentidos contrários. Sendo: M e m as massas dos corpos; G a constante de gravitação universal D a distância entre os centros dos dois corpos F a intensidade da força gravitacional. 30

31 Aplicações Resistência Elétrica A uma dada temperatura, Ohm verificou que a resistência R do resistor é: - diretamente proporcional ao seu comprimento aumentando-se o comprimento do resistor, aumenta também sua resistência, pois maior será a oposição do resistor à passagem da corrente - inversamente proporcional à área de sua seção reta aumentando-se a espessura do resistor, diminui sua resistência. O coeficiente de proporcionalidade é denominado resistividade elétrica do material que constitui o resistor. A resistividade é uma característica do material e corresponde à resistência de um resistor de comprimento unitário e de secção unitário. 31

32 Aplicações Dilatação térmica A dilatação térmica sofrida por uma barra é diretamente proporcional ao comprimento da barra e à variação de temperatura. 32

33 Aplicações 7. Pessoas apressadas podem diminuir o tempo gasto em uma escada rolante subindo alguns degraus da escada no percurso. Para uma certa escada, observa-se que uma pessoa gasta 30 segundos na escada quando sobe 5 degraus e 20 segundos quando sobe 10 degraus. Quantos são os degraus da escada e qual o tempo normalmente gasto no percurso? 33

34 Aplicações 8. Juliana, certo dia, fez compras em 5 lojas. Em cada loja, gastou metade do que possuía e pagou, na saída, R$ 2,00 de estacionamento. Se após todas essa atividade ainda ficou com R$ 20,00, que quantia ele tinha inicialmente? 34

35 Aplicações 9.Estuda-se a implantação da chamada fórmula 95. Por essa fórmula os trabalhadores teriam o direito à aposentadoria quando a soma da idade com o número de anos de serviço atingisse 95. Adotada essa fórmula, quem começasse a trabalhar com 25 anos, com que idade se aposentaria? 35

36 Aplicações 10. Uma videolocadora aluga fitas de vídeo no final de semana, cobrando o preço segundo a tabela: Número de fitas Preço (em reais) 1 4,00 2 7, , ,00 5 ou mais 2,50 cada fita Com base na tabela, podemos responder a uma série de questões: a) Qual o valor a ser pago no aluguel de 6 fitas? b) Qual será o preço de cada fita no aluguel de 4 fitas? c) Em relação ao preço unitário da locação, qual a porcentagem do desconto que terei se levar 3 fitas. 36

37 Aplicações 11.Em uma escola há duas provas mensais, a primeira com peso 2 e a segunda com peso 3. Se o aluno não alcançar a média 7 nessas provas, fará prova final. Sua média final será então a média entre a nota da prova final, com peso 2 e a média das provas mensais, com peso 3. Rudolph obteve 4 e 6 nas provas mensais. Se a média final para aprovação é 5, quanto ele precisa obter na prova final para ser aprovado? 37

38 Aplicações 12.Um supermercado está fazendo uma promoção na venda de alcatra: um desconto de 10% é dado nos quilos que excederem a 3. Sabendo que o preço do quilo de alcatra é de R$ 4,00, pede-se: a) o gráfico do total pago em função da quantidade comprada. b) o gráfico do preço médio por quilo em função da quantidade comprada. c) a determinação de quantos quilos foram comprados por um consumidor que pagou R$ 15,00. 38

39 Aplicações 13.Uma copiadora publicou a seguinte tabela de preços: Número de cópias de um mesmo original Preço por cópia De 1 a 19 R$ 0,10 De 20 a 49 R$ 0,08 50 ou mais R$ 0,06 a) Esboce o gráfico da função que associa a cada natural n o custo de n cópias de um mesmo original. b) O uso da tabela acima provoca distorções. Aponte-as e sugira uma tabela de preços mais razoável. 39

40 Aplicações 14.Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 900,00, e uma variável, que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês. a) Expressar a lei da função que representa seu salário mensal. b) Calcular o salário do vendedor sabendo que durante um mês ele vendeu R$ ,00 em produtos. 40

41 Aplicações 15.O custo C em reais para produzir x unidades de um produto eletrônico é dado por C(x)= 18x a) Qual é o custo para se produzir 1000 unidades desse produto? b) Para a produção do item a, qual é o valor de custo de cada unidade do produto? 41

42 Aplicações 16.Para transformar graus Fahrenheit em graus centígrados, usa-se a fórmula C= 5/9(F-32) onde F é o número de graus Fahrenheit e C é o número de graus Centígrados ou Celsius. a) Transforme 35 graus Centígrados em graus Fahrenheit. b) Qual a temperatura (em graus centígrados) em que o número de graus Fahrenheit é o dobro do número de graus centígrados? 42

43 Aplicações 17.Um móvel se desloca numa rodovia da cidade A para a cidade B, segundo a função s(t)=100+80t, sendo s(espaço) em km e t(tempo) em horas. Sabendo que A está localizada no km 100 desta rodovia e B dista 350 km de A, pede-se: a) O gráfico da função s; b) A posição do móvel para t= 3 horas; c) Após quanto tempo de viagem o móvel chega ao destino; d) A posição do móvel para t=0. Explique o significado disto. 43

44 Aplicações 18.Arnaldo dá a Beatriz tantos reais quanto Beatriz possui e dá a Carlos tantos reais quanto Carlos possui. Em seguida, Beatriz dá a Arnaldo e a Carlos tantos reais quanto cada um possui. Finalmente, Carlos faz o mesmo. Terminam todos com R$ 16 cada. Quanto cada um possuía no início? 44