Sistemas Digitais Módulo 2 Representações com Sinal e Aritmética Digital

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1 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Computação Sistemas Digitais Módulo 2 Representações com Sinal e Aritmética Digital Graduação em Sistemas de Informação Prof. Dr. Daniel A. Furtado

2 Prof. Daniel A. Furtado Conteúdo Adição, subtração e multiplicação binária Representação de números com sinal Sinal Magnitude Complemento de 2 Adição e subtração no sistema de complemento de 2 Detecção de overflow Adição no sistema hexadecimal

3 Adição Binária Semelhante a adição de números decimais; Possibilidades: = = = = 10 0 e vai um para próxima posição = 11 1 e vai um para próx. posição Exemplos: (7) 010 (2) 1001 (9) (11) 1111 (15) (26) + 10,11 (2,75) 11,01 (3,25) 110,00 (6,00) Prof. Daniel A. Furtado

4 Subtração Binária Semelhante à subtração de números decimais; Exemplos: (37) (11) (26) (156) (83) (73) 1 1

5 Multiplicação Binária Semelhante à multiplicação decimal Exemplo: x 1001 (9) 1011 (11) (99) Produtos parciais

6 Multiplicação Binária Na maioria das máquinas sequenciais, os produtos parciais obtidos na multiplicação são somados por meio de sucessivas operações de soma (dois termos de cada vez): x 1001 (9) 1011 (11) (99)

7 Representação de Números com Sinal Além da magnitude do número, pode ser necessário representar também o seu sinal; Há duas maneiras principais: Sistema sinal-magnitude; Sistema de complemento de 2. Prof. Daniel A. Furtado

8 Números com Sinal: Sistema Sinal-Magnitude No sistemas sinal-magnitude um bit é acrescentado ao número para indicar o seu sinal. Esse bit é denominado bit de sinal; A convenção mais utilizada é: Bit de sinal = 0 número positivo; Bit de sinal = 1 número negativo. Prof. Daniel A. Furtado

9 Sistema Sinal-Magnitude - Exemplos Números +6 e -6, utilizando uma representação com 4 bits: ( + 6 ) ( - 6) Bit de sinal (+) Magnitude (6) Bit de sinal (-) Magnitude (6) Números +21 e -21, utilizando uma representação com 8 bits: (+21) (-21) Bit de sinal (+) 7 bits para a magnitude (21) Bit de sinal (-) 7 bits para a magnitude (21) Prof. Daniel A. Furtado

10 Sistema Sinal-Magnitude - Desvantagens Embora seja muito simples, o sistema sinalmagnitude não é comumente utilizado em sistemas digitais, pois sua implementação depende de um circuito lógico mais complexo; Outra desvantagem é a dupla representação para o número 0 (+0 e -0); Prof. Daniel A. Furtado

11 Números com Sinal: Sistema de Complemento de 2 - Noção Círculo amarelo: todos os binários possíveis com 4 bits; Círculo vermelho: Valor decimal que os binários representam, sem considerar sinalização; Círculo azul: valores sinalizados que os binários representam quando interpretados no sistema de complemento de 2; OBS: repare que o bit mais significativo também indica o sinal. Entretanto a representação é diferente daquela utilizada no sistema sinal-magnitude. Prof. Daniel A. Furtado

12 Números com Sinal: Sistema de Complemento de 2 Números positivos: Acrescenta-se um bit de sinal 0 à esquerda do MSB, como no sistema sinal-magnitude; Números negativos: 1. Inverte-se todos os bits da magnitude do número e soma-se 1 ao bit menos significativo (LSB); 2. Em seguida, acrescenta-se o bit de sinal 1 à esquerda do MSB; O valor resultante deste procedimento é denominado complemento de dois do número Prof. Daniel A. Furtado

13 Sistema de Comp. de 2 Exemplo: Encontrar o binário puro corresponde ao 9 (magnitude): 9 10 = Acrescentar o bit de sinal com o valor 0; = (no sistema de comp. de 2) Prof. Daniel A. Furtado

14 Sistema de Comp. de 2 Exemplo: Encontrar o binário puro corresponde ao 9 (magnitude): 9 10 = Calcular o complemento de 2 do número anterior: complemento de 1 de 1001 (inversão dos bits) 3. Acrescentar o bit de sinal 1 à esquerda do MSB: complemento de 2 de = (no sistema de comp. de 2) Prof. Daniel A. Furtado

15 Sistema de Comp. de 2 Exemplo: Encontrar o binário puro corresponde ao 24 (magnitude): = Calcular o complemento de 2 do número anterior: complemento de 1 (inversão dos bits) complemento de 2 (após somar 1) + 3. Acrescentar o bit de sinal 1 à esquerda do MSB: = (no sistema de comp. de 2) Prof. Daniel A. Furtado

16 Sistema de Complemento de 2 Extensão do Sinal Sistemas digitais geralmente armazenam números binários utilizando um número de bits múltiplo de 8 (8, 16, 32, 64, etc.); Para representar um número sinalizado no sistema de complemento de 2 utilizando uma quantidade maior de bits, deve-se repetir o bit de sinal até completar todas as casas à esquerda; Decimal Binário (Sist. Comp. 2) Binário com 8 bits (Sist. Comp. 2) Prof. Daniel A. Furtado

17 Sistema de Complemento de 2 Negação A negação (inversão do sinal) de um número binário no sistema de complemento pode ser obtida calculando-se o complemento de 2 do número*, seja ele positivo ou negativo; (+9) (-9) (-9) (+9) Para o caso do número 0, o cálculo do complemento de 2 produzirá o próprio número 0 (verificar); *Exceto para o caso especial que será apresentado a seguir Prof. Daniel A. Furtado

18 Encontrando Números Negativos em Comp. de 2: outra forma Uma alternativa para encontrar a representação de números negativos utilizando N bits é: 1. Representa-se o número positivo com N bits (completando com zeros à esquerda, se necessário; e inserindo o bit de sinal 0); 2. Calcula-se o complemento de dois do número obtido no passo 1 para inverter o seu sinal; Dessa forma não seria necessária a extensão do bit de sinal, uma vez que o número calculado já ocuparia todos os bits; Prof. Daniel A. Furtado

19 Encontrando Números Negativos em Comp. de 2: outra forma Exemplo. Encontrar o número binário no sistema de complemento de 2 correspondente ao decimal -24 utilizando 8 bits. 1. Encontrar o número +24 utilizando 8 bits Calcular o complemento de 2 desse número já utilizando a quantidade especificada de bits: Complemento de Complemento de 2-24, com 8 bits Prof. Daniel A. Furtado

20 Sistema de Complemento de 2 Caso Especial Considerando uma quantidade de bits N qualquer, observa-se que o número começando com 1 seguido de N-1 zeros nunca é produzido pelo cálculo do complemento de 2; Tal combinação de bits é utilizada para representar o menor número negativo que se pode ter no sistema de complemento de 2 com N bits; Considerando 4 bits, por exemplo, este número equivale ao decimal 8, representado no sistema de comp. de 2 por Prof. Daniel A. Furtado

21 Sistema de Complemento de 2 Caso Especial Caso Especial Prof. Daniel A. Furtado

22 Prof. Daniel A. Furtado Faixa de Valores Possíveis Com N bits, no sistema de complemento de 2, é possível representar os números inteiros do intervalo: De 2 n 1 a 2 n 1 1 Observe que o -1 presente no expoente é justificado pelo fato de termos um bit a menos para representação da magnitude (devido ao bit de sinal) Repare também que, devido ao caso especial, haverá sempre um número negativo a mais;

23 Prof. Daniel A. Furtado Exercícios Represente os seguintes números em binário utilizando o sistema de complemento de 2 com 8 bits: Represente os seguintes números em binário utilizando o sistema de complemento de 2 com 5 bits: Qual é a faixa de valores que se pode representar utilizando 10 bits no sistema de complemento de 2? Qual é o menor número que pode ser representado com 32 bits no sistema de complemento de 2? (em potência de 2)

24 Prof. Daniel A. Furtado Adição no Sistema de Complemento de 2 No sistema de complemento de 2, a adição pode ser facilmente realizada em dois passos, independentemente dos números envolvidos serem positivos ou negativos: 1. Represente os números a serem somados no sist. de comp. utilizando a quantidade desejada de bits; 2. Faça a soma convencional dos números, desprezando o último carry (vai um), se houver.

25 Prof. Daniel A. Furtado Exemplo 1: Calcular utilizando 8 bits 1. Representar os números no sist. de comp. de 2 com 8 bits = (sist. comp. de 2 com 8 bits) 2. Realizar a soma ( ) ( ) ( )

26 Prof. Daniel A. Furtado Exemplo 2: Calcular utilizando 8 bits 1. Representar os números no sist. de comp. de 2 com 8 bits 7 10 = (sist. comp. de 2 com 8 bits) = (sist. comp. de 2 com 8 bits) 2. Realizar a soma Descartar ( 7 10 ) ( ) ( )

27 Prof. Daniel A. Furtado Subtração no Sistema de Complemento de 2 No sistema de complemento de 2, a subtração pode ser facilmente realizada em três passos: 1. Representar o minuendo e o subtraendo no sist. comp. 2; 2. Negar o subtraendo (calculando o seu comp. de 2); 3. Somar o minuendo com o subtraendo negado, desprezando o último carry, se houver;

28 Prof. Daniel A. Furtado Exemplo: Calcular utilizando 8 bits 1. Representar os números no sist. de comp. de 2 com 8 bits = (sist. comp. de 2 com 8 bits) = (sist. comp. de 2 com 8 bits) 2. Negar o subtraendo (Comp. de 1) (Comp. de 2) (-14) 3. Somar o minuendo (25) com a negação do subtraendo e desprezar o último carry, se houver Descartar (25 10 ) ( ) (11 10 ) Resultado da subtração

29 Prof. Daniel A. Furtado Verificando se Ocorreu Overflow Ao realizar operações aritméticas com números binários utilizando uma quantidade predeterminada de bits, é possível que o resultado da operação não caiba nesse espaço de bits; Nesses casos, dizemos que ocorreu um overflow na operação, o que torna o resultado inválido; Por exemplo, um overflow ocorrerá ao efetuar a soma dos números e utilizando uma representação binária no sistema de comp. de 2 com 8 bits, pois o resultado da operação ( ) não pode ser representado com 8 bits nesse sistema;

30 Prof. Daniel A. Furtado Verificando se Ocorreu Overflow Como saber se um overflow ocorreu durante uma operação de soma ou subtração no sistema de complemento de 2 analisando apenas a operação em si? É importante saber que o overflow poderá ocorrer apenas quando a soma final dos operandos (seja na adição ou na subtração) envolver dois números de mesmo sinal (dois positivos ou dois negativos); Se isto acontecer, então o bit de sinal do resultado deve ser verificado. Caso esse bit seja diferente do bit de sinal dos operandos, então ocorreu um overflow (caso contrário, o resultado é válido);

31 Prof. Daniel A. Furtado Exemplo 1: Calcular utilizando 8 bits 1. Representar os números no sist. de comp. de 2 com 8 bits = (sist. comp. de 2 com 8 bits) = (sist. comp. de 2 com 8 bits) 2. Realizar a soma + 1 Operandos de mesmo ( ) sinal (positivo) (80 10 ) ( ) O sinal do resultado é diferente do sinal dos operandos. Logo, ocorreu overflow e o resultado é inválido.

32 Prof. Daniel A. Furtado Exemplo 2: Calcular utilizando 8 bits 1. Representar os números no sist. de comp. de 2 com 8 bits = (sist. comp. de 2 com 8 bits) = (sist. comp. de 2 com 8 bits) 2. Realizar a soma 1 Operandos de mesmo ( ) sinal (negativo) ( ) ( ) O sinal do resultado é diferente do sinal dos operandos. Logo, ocorreu overflow e o resultado é inválido. OBS: Vale destacar que a geração de um carry na soma dos últimos bits não indica, por si só, um overflow. (Ex.: reveja a operação )

33 Prof. Daniel A. Furtado Exemplo 3: Calcular utilizando 8 bits 1. Representar os números no sist. de comp. de 2 com 8 bits = (sist. comp. de 2 com 8 bits) 2. Realizar a soma ( ) ( ) ( ) Operandos de mesmo sinal (positivo) O sinal do resultado é igual ao sinal dos operandos. Logo, não ocorreu overflow e o resultado é válido.

34 Prof. Daniel A. Furtado Adição em Hexadecimal A F ( ) 2 3C ( ) 5EB ( ) F + C = = (maior que 15) = = B 16 Carry ( vai um )

35 Prof. Daniel A. Furtado Exercícios Os binários a seguir representam números no sistema de complemento de 2. Encontre os números decimais correspondentes Realizar as seguintes operações em binário utilizando o sistema de complemento de 2 com 8 bits Somar diretamente os números hexadecimais DE81 e 1FA9

36 Prof. Daniel A. Furtado Referências TOCCI, R. J.; WIDMER, N. S.; MOSS, G. L. Sistemas Digitais: princípios e aplicações. 11.ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, Leitura recomendada: Cap. 6: págs CAPUANO, F. G.; IDOETA, I. V. Elementos de Eletrônica Digital. 40.ed. São Paulo: Érica, 2008.