Análise Numérica (1) Introdução e Sistemas de Numeração V1.0, Victor Lobo, Análise Numérica. Doutor Victor Sousa Lobo.

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1 e Sistemas de Numeração Análise Numérica Doutor Victor Sousa Lobo Escola Naval 1 1 Objectivo da cadeira Finalidade (Pescolnav 101): Proporcionar aos alunos conhecimentos sobre a introduçao aos métodos numéricos básicos, tendo em vista o desenvolvimento da capacidade de raciocínio lógico e futura aplicação a problemas da vida corrente. Objectivos (Pescolnav 101): Conhecer os métodos numéricos básicos e compreender o seu funcionamento. Saber avaliar das possibilidades e vantagens/desvantagens da sua utilização. Ser capaz de os utilizar com critério e escrever programas de computador que os implementem com eficácia adequada. Ser capaz de detectar oportunidades de aplicação destes métodos e ficar sensibilizado para estas técnicas

2 e Sistemas de Numeração Programa da cadeira (1/2) Representações, sistemas de numeração, vírgula fixa vs. flutuante Computadores Erros Definições, algarismos significativos, erros de arredontamento, propagação de erros Sistemas de equações lineares Métodos directos (Gauss), e iteractivos (Jacobi e Gauss-Seidel) Equações não lineares Multiplicidade de raízes, métodos da bissecção, falsa posição, ponto fixo, Newton-Raphson, secante Navegação astronómica Cinemática (em Naveg.) Estabilitade, circ.c/díodos 3 3 Programa da cadeira (2/2) Interpolação Polinomial Polinómio interpolador de Lagrange, Newton (dif. Divididas e progressivas), interpolação inversa, splines Aproximação de funções Mínimos quadrados, regressão linear, regressão polinomial Integração Numérica Newton-Cotes (trapézios, simpson), Romberg, diferenciação numérica Equações diferenciais Euler, Runge-Kutta, Adams-Bashford Capacidade de um tanque Manutenção preditiva / Astronomia Deslocamento de um navio Baixas em combate 4 4 2

3 e Sistemas de Numeração Avaliação 2 Repetições escritas Datas? Trabalhos de casa Curtos, de uma aula para a seguinte Trabalho final Individual ou grupos de 2 alunos. Todos os trabalhos são diferentes. Aceitam-se sugestões... Pode ser feito^: à mão... Em Delphi (pascal) Em MATLAB Noutra linguagem de programação que o prof. conheça à Análise Numérica Objectivo: Resolver problemas numericamente Analisar os problemas dessa resolução Métodos Numéricos vs Análise Numérica Análise Matemática resolve problemas em abstracto, aqui resolvemo-los na prática... Passos para resolver um problema: Desenvolver um ALGORITMO: passos ou método de cálculo que conduz à solução do problema Análise desse algoritmo quanto a: Eficiência de cálculo (complexidade do algoritmo, tempo e espaço necessários) Exactidão da solução (melhor ou pior aproximação à resposta) Implementar o algoritmo num computador 6 6 3

4 e Sistemas de Numeração História e exemplos Matemática Grega, chinesa, etc, etc, etc, Probelmas famosos no séc XIX e XX Advento dos computadores Algoritmos para multiplicação e divisão Directo Somas (ou subtrações) sucessivas A:=3162; B:=834; C:=0; Contas de cabeça: 29? 19 a dividir por 3 amigos? A:=3162; B:=834; C:= A/B; WRITELN(C); WHILE A>B DO BEGIN A:=A-B; C:=C+1; END; WRITELN(C); 7 7 Programas de computador Linguagem de uso genérico Permitem fazer tudo! MATLAB Fácil programação de problemas numéricos, fácil visualização dos dados, muitas bibliotecas de rotinas dedicadas a problemas deste tipo MATCAD Folha de cálculo livre, com muitas bibiotecas dedicadas MATEMÁTICA, EXCEL, SPSS, SAS, SAP-R3 (!), etc,etc,etc Implementam muitos destes métodos Há que perceber que por vezes são aproximações 8 8 4

5 e Sistemas de Numeração Bibliografia Fundamentos de Análise Numérica, F. Correia dos Santos, Sílabo 2002 Numerical Methods for Scientists and Engineers, R. Hamming, Dover Métodos Numéricos, Heitor Pina, McGraw-Hill 1995 Numerical Recepies (in C & in Pascal), Cambridge University Press 1988 Applied Numerical Analysis using Matlab, Laurene Fausett, Prentice-Hall Sistema de Numeração Decimal Quantidade vs representação dessa quantidade Significado dos números decimais: x x x x símbolos: 0,1,2,3... 8,9 Peso (ordem) de cada dígito dado pela posição A posição é que dá importância ou peso ao dígito. Os pesos são todos potências de uma dada base O dígito mais significativo é o que está mais à esquerda (MSB) O dígito menos significativo é o que está mais à direita (LSB) Outras bases muito usadas: base 2,8,

6 e Sistemas de Numeração Sistemas de Numeração de potencias de 2 OCTAL SÍMBOLOS x8 3 +6x x x8 0 HEXADECIMAL SÍMBOLOS 0.. 9,A,B,C,D,E,F 5F1A0 5x x x x x16 0 BINÁRIO SÍMBOLOS 0, x x x x x2 0 Computadores usam o sistema binário Sistema Binário: É fácil construir máquinas que trabalham com apenas 2 símbolos (ligado/desligado) Sistema octal / hexadecimal São fácilmente convertidos em binário (e vice-versa) e são fácilmente entendidos por humanos Conversão Binário/Decimal e v.v. Binário decimal Escrever o peso de cada dígito, e somar b = 166 d =166 Decimal binário Divisões sucessivas LSB 26 d = b 26 d MSB

7 e Sistemas de Numeração Conversões para Hexadecimal e Octal As bases que são potências de 2 são facilmente convertidas em binário e vice-versa Octal 1 dígito octal = 3 dígitos binários Hexadecimal 1 dígito hexa = 4 dígitos binários 2 D D3 H = b = 1323 Oct. Vantagens Usam menos dígitos para representar um dado número São mais facilmente entendidas por humanos São muito usadas Aritmética binária Basicamente as mesmas regras que a aritmética decimal! Somam-se os números dígito a dígito De um dígito para o seguinte (mais significativo), pode ir um, ou seja pode haver CARRY 1 e 1 são dois ( ou seja 10 b ) Exemplo: Adição (11011) 2 + (10011) 2 (101110) 2 (647) 10 + (537) 10 (1184) 10 Multiplicação São apenas deslocamentos e somas!!!

8 e Sistemas de Numeração Outras bases, partes fraccionárias Podemos usar qualquer base: A n A n-1...a 1 A 0 na base B = A n B n + A n-1 B n-1 A 1 B + A 0 Podemos usar partes fraccionarias: 12,74 = Probelma para casa: Representar o nº de aluno em binário, octal, e hexa Representações com número fixo de dígitos Numa máquina, o número de dígitos é FINITO Não posso usar todos os dígitos que quiser Há um número MÁXIMO que se pode representar: Consequência da representação com um número FINITO de dígitos Os números não são representados por uma recta, mas sim por uma circunferência!

9 e Sistemas de Numeração REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS NEGATIVOS Problema: Como indicar que um número é negativo, sem usar o símbolo - (usando apenas 0 e 1) Solução: usar uma das posições para representar o sinal SINAL E MÓDULO O bit mais significativo representa o sinal, e os restantes a magnitude Sinal = 0 => Positivo (representação normal) Sinal = 1 => Negativo Exemplos: 0100 = = = = MAGNITUDE SINAL COMPLEMENTO PARA 2 Ideia Base Facilitar somas e subtrações Ideia base: N (2) = M - N NÚMERO N MÓDULO (MÁX Nº DE 1+1) NÚMERO N EM COMPLEMENTO PARA 2 Regra para fazer as conversões: COMPLEMENTAR TODOS OS DÍGITOS A PARTIR DO 1º (6 10 ) (-6 10 )

10 e Sistemas de Numeração COMPLEMENTO PARA 2 Complemento para 2 Usa o bit mais significativo para representar o sinal (tal como anteriormente) Os restantes bits são calculados de acordo com o algoritmo apresentado Vantagens Permite ver rapidamente se um número é positivo ou negativo Não existem números repetidos (com 2 representações) O número -1 está imediatamente antes do 0 As operações se doma e subtracção podem ser feitas usando os algoritmos usuais Algoritmos para a conversão positivo/negativo em complemento p/2 Subtrair o número positivo ao número (2 N ) Começar do lado direito, e deixar na mesma todos os dígitos até ao primeiro 1 (inclusive). Complementar todos os dígitos a partir desse ponto