x As IyUPXODVGHGLIHUHQFLDomRQXPpULFD podem ser obtidas por: x

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1 &DStWXOR±'LIHUHQFLDomRH,QWHJUDomR1XPpULFDV > 'LIHUHQFLDomR 1XPpULFD Por vezes é necessário obterydoruhvgdvghulydgdvde uma função VHP UHFRUUHUjUHVSHFWLYDH[SUHVVmRDQDOtWLFD, por esta não ser conhecida ou por ser demasiado complicada. As IyUPXODVGHGLIHUHQFLDomRQXPpULFD podem ser obtidas por: polinómios de Taylor polinómios interpoladores de Lagrange Å $SUR[LPDomR GD SULPHLUD GHULYDGD Considere-se FRQKHFLGRV os YDORUHVGDIXQomRHPQyV [ Lí, [ L e [ L respectivamente, I [ Lí I[ L e I[ L Considere-se ainda que o HVSDoDPHQWR entre nós consecutivos é FRQVWDQWH de valor K ou seja, K [ L í[ Lí [ L í[ L. Com base nestes valores, vamos deduzir WUrVIyUPXODV.

2 Fórmula de GLIHUHQoDILQLWDSURJUHVVLYD Fórmula de GLIHUHQoDILQLWDUHJUHVVLYD Fórmula de GLIHUHQoDILQLWDFHQWUDGD

3 'HGXomR GD IyUPXOD GH GLIHUHQoD ILQLWD SURJUHVVLYD D SDUWLU GR SROLQyPLR GH 7D\ORU Consideremos o SROLQyPLRGH7D\ORUGHJUDX centrado em [ L, com resto, para algum Calculando em [ [ L e para K [ L í[ L para algum donde, para algum ou seja, com HUUR dado por, para algum

4 Portanto, VHD GHULYDGDGDIXQomRIRUOLPLWDGD, então D GLIHUHQoDILQLWD SURJUHVVLYDFRQYHUJH para o valor eacto da derivada FRP HUURGDRUGHPGH K. Como o erro é OLQHDU em K, diz-se que a fórmula da diferença progressiva é uma IyUPXODGHSULPHLUDRUGHP. 'HGXomR GD IyUPXOD GH GLIHUHQoD ILQLWD SURJUHVVLYD D SDUWLU GR SROLQyPLR LQWHUSRODGRU GH /DJUDQJH Considerando o SROLQyPLRLQWHUSRODGRUGH/DJUDQJH para os dois pontos [ L I[ L e [ L I[ L, a derivada desta epressão é uma diferença dividida de 1ª ordem, e daqui obtemos a DSUR[LPDomR, A epressão do erro poderia também ser determinada com base no erro GH LQWHUSRODomR.

5 H[HUFtFLR Deduza a fórmula de GLIHUHQoDILQLWDUHJUHVVLYD, a partir do polinómio de Taylor e a partir do polinómio interpolador de Lagrange. 'HGXomR GD IyUPXOD GH GLIHUHQoD ILQLWD FHQWUDGD D SDUWLU GR SROLQyPLR GH 7D\ORU Consideremos o SROLQyPLRGH7D\ORUGHJUDX centrado em [ L, com resto, para algum Calculando em [ [ L eem [ [ L e para K [ L í[ L para algum para algum

6 subtraindo as duas igualdades e assumindo que a terceira derivada é contínua em [ [ L [ L ], temos, para algum ou seja, com HUUR dado por, 6HD GHULYDGDGDIXQomRIRUOLPLWDGD, então D GLIHUHQoDILQLWDFHQWUDGD FRQYHUJH para o valor eacto da derivada FRP HUURGDRUGHPGH K. Como o erro é TXDGUiWLFR em K, diz-se que a fórmula da diferença centrada tem uma SUHFLVmRGHVHJXQGDRUGHP. H[HUFtFLR Deduza a fórmula de GLIHUHQoDILQLWDFHQWUDGD, a partir do polinómio interpolador de Lagrange, FRQVLGHUDQGRWUrVSRQWRV. Por esta razão, a fórmula é conhecida por IyUPXODGRVSRQWRV, embora I[ L não figure eplicitamente.

7 Å $SUR[LPDomR GD VHJXQGD GHULYDGD Considere-se FRQKHFLGRV os YDORUHVGDIXQomRHPQyV [ Lí, [ L e [ L respectivamente, I [ Lí I[ L e I[ L e que o HVSDoDPHQWR entre nós consecutivos é FRQVWDQWH de valor K. Considere-se o SROLQyPLRGH7D\ORUGHJUDX centrado em [ L, com resto, calculado em [ [ L eem [ [ L para algum para algum Somando as duas igualdades e assumindo que a quarta derivada é contínua em [ [ L [ L ], temos, para algum

8 assim, com HUUR dado por, Para encontrar fórmulas para a WHUFHLUDGHULYDGD e TXDUWDGHULYDGD, procuram-se FRPELQDo}HVOLQHDUHV dos desenvolvimentos de Taylor de I [ Lí I[ Lí I[ L e I[ L em torno de [ L de tal forma que as derivadas de ordem inferior à pretendia se anulem. Å $ LQIOXrQFLD GRV HUURV GH DUUHGRQGDPHQWR Teoricamente, se as derivadas apropriadas da função forem limitadas, a GHULYDGD calculada pelas fórmulas de diferenças finitas FRQYHUJH para o valor eacto de acordo com uma certa SRWrQFLDGRSDUkPHWUR K. Na prática os HUURVGHDUUHGRQGDPHQWR constituem o factor predominante de erro. FRPRH[HPSOR, consideremos a IyUPXODGRVSRQWRV, para algum

9 Supondo que no cálculo de I[ Lí ede I[ L foram cometidos HUURVGH DUUHGRQGDPHQWR, então o HUURWRWDO cometido no FiOFXORGDGHULYDGD é, HUURGHDUUHGRQGDPHQWR LQYHUVDPHQWH proporcional a K HUURGHWUXQFDWXUD GLUHFWDPHQWH proporcional a K Portanto, tentar FRQWURODURHUURWRWDO em função de K é uma tarefa delicada, dependente de GRLVIDFWRUHVFRQWUDGLWyULRV. Enquanto que o erro de truncatura é menor para valores pequenos de K, esse HIHLWRpGHVWUXtGR pelo crescimento do erro de arredondamento. É assim vital tentar encontrar um YDORUGHHTXLOtEULR para K, o que naturalmente também depende do valor de [ considerado.

10 XPH[HPSOR YHU A figura representa o comportamento do HUURWRWDO, em função de K, no cálculo da derivada de I[ [ nos pontos [, [ e [ usando a IyUPXODGHGLIHUHQoDILQLWDSURJUHVVLYD( para os 3 valores de [ ) ea IyUPXODGHGLIHUHQoDILQLWDFHQWUDGD( para [ ) a a HUURVGHDUUHGRQGDPHQWR HUURV GHWUXQFDWXUD QRWDURVYDORUHVGH HTXLOtEULRSDUDK

11 Alguns resultados do cálculo da derivada de I[ [ no ponto [ para a IyUPXODGHGLIHUHQoDILQLWDFHQWUDGD. K [K ±[K K HUUR Desde K até cerca de K o erro ( de WUXQFDWXUD ) GHFUHVFH. Mas a partir de K o erro ( provocado por DUUHGRQGDPHQWR ) DXPHQWD. Como neste caso a terceira derivada é constante, I [, o HUURGHWUXQFDWXUD é dado por H[ L K, tal como se pode verificar nos primeiros valores de K.

12 Comportamento do YDORUDEVROXWRdo HUURWRWDO para K desde até : Valores absolutosdo HUURWRWDO e do HUURGHWUXQFDWXUD, para K de até :

13 >,QWHJUDomR 1XPpULFD Por vezes é necessário recorrer a PpWRGRVDSUR[LPDGRV para calcular o valor do LQWHJUDOGHXPDIXQomRQXPLQWHUYDOR, porque: a H[SUHVVmRDQDOtWLFDda função não é conhecida ( função dada por tabelas ou obtida por medições de grandezas físicas ) a epressão analítica da função é conhecida mas a SULPLWLYD não. o SUREOHPD: Calcular um YDORUDSUR[LPDGRde, onde I é integrável em [DE] a VROXomR: Aproimar I por RXWUDIXQomR J cujo integral é fácil de calcular. o HUUR cometido: porque a integração é um RSHUDGRUOLQHDU. Assim, a aproimação do integral será tanto melhor quanto PHOKRU a função J DSUR[LPDU I no intervalo [DE]. os SROLQyPLRV são funções fáceis de integrar...

14 Å )yupxodv GH 1HZWRQ&RWHV Consideremos a )yupxodgh/djudqjhpara o SROLQyPLR S Q de grau Qque interpola a função I nos nós distintos [ [ [ Q : onde / L éo SROLQyPLRGH/DJUDQJH associado ao nó [ L. Assim, e fazendo obtemos a UHJUDGHLQWHJUDomR ou IyUPXODGHTXDGUDWXUD: que nos permite DSUR[LPDURLQWHJUDO da função I, Os $ L chamam-se FRHILFLHQWHV ou SHVRV da regra.

15 Consoante o valor de Q ea localização dos nós no intervalo [DE] obtêm-se diferentes UHJUDVGHLQWHJUDomR. SROLQyPLRLQWHUSRODGRUHP QyV SROLQyPLRLQWHUSRODGRUHP QyV Uma regra de integração diz-se de JUDXGHH[DFWLGmRQ se LQWHJUDUH[DFWDPHQWH WRGRVRVSROLQyPLRVGHJUDX Q e eistir, pelo menos, um polinómio de grau Q que não é integrado eactamente. Assim, toda a regra de integração que resulte da aproimação por um polinómio em Q nós ( polinómio interpolador de grau Q ) tem grau de eactidão Q. 5HJUD GR 7UDSp]LR Seja S o polinómio de grau 1 interpolador de I nos nós D e E, na IRUPDGH1HZWRQ,

16 integrando, ou seja, e assim obtemos a UHJUDWRWUDSp]LR : por ser afinal a epressão da área de um trapézio. O JUDXGHH[DFWLGmR desta fórmula é.

17 5HJUD GH 6LPSVRQ Seja S o polinómio de grau interpolador de I nos nós D, F DE e E, na IRUPDGH1HZWRQ, integrando, e assim obtemos a UHJUDGH6LPSVRQ : Pela construção anterior, o JUDXGHH[DFWLGmR desta fórmula é pelo menos 2, mas veremos que de facto é. Ou seja, a regra de Simpson dá resultados eactos para polinómios de grau.

18 5HJUD GRV WUrV RLWDYRV 6LPSVRQ Dividindo o intervalo [DE] em SDUWHVLJXDLV (em vez de 2) e considerando LQWHUSRODomRF~ELFD (em vez de quadrática) não é difícil deduzir a UHJUDGRV De forma análoga se podem definir mais regras de integração, baseadas na LQWHUSRODomRSRUXPSROLQyPLR de grau cada vez maior, não sendo contudo de garantir que os resultados obtidos sejam melhores. $ IDPtOLD GH UHJUDV GH 1HZWRQ&RWHV Todas as fórmulas deste tipo podem ser deduzidas de forma sistemática: Cada uma é baseada na LQWHUSRODomR da função integranda SRUXPSROLQyPLR, de grau Q, em Q SRQWRVHTXLGLVWDQWHV no intervalo de integração, com e toda a regra tem a forma:

19 com, e onde D QL D L Å (UURV GDV IyUPXODV GH 1HZWRQ&RWHV (UUR GD 5HJUD GR 7UDSp]LR WHRUHPD Seja I & ([DE]). Então: ( O erro depende da VHJXQGDGHULYDGD, o que vem confirmar que o JUDXGH H[DFWLGmR da Regra do Trapézio é )

20 GHPRQVWUDomR Sendo S Q o SROLQyPLR de grau QTXHLQWHUSROD I & Q ([DE]) nos nós distintos [ [ [ Q, então, Como neste caso se trata de um polinómio de JUDX, interpolador nos pontos D e E, Falta assim demonstrar que, HUUR de integração da 5HJUDGR7UDSp]LR Para isso relembremos o, 7HRUHPDGR9DORU0pGLR3HVDGRSDUD,QWHJUDLV: Se I & ([DE]) e J é integrável em [DE] e J[ QmRPXGDGHVLQDO em [a, b], então eiste um número F, D < F < E, tal que:

21 Como [D[E não muda de sinal em [a, b] e I é contínua, e porque, fica provado que, (UUR GD 5HJUD GH 6LPSVRQ De modo análogo se prova que, para I & ([DE]), ou seja, a epressão do HUUR de integração da 5HJUDGH6LPSVRQ, ( Como este erro depende da TXDUWDGHULYDGD, vemos que o JUDXGH H[DFWLGmR da Regra de Simpson é efectivamente )

22 7DEHOD GH HUURV GD IDPtOLD GH UHJUDV GH 1HZWRQ&RWHV onde K EDQ Cada regra de Newton-Cotes é baseada na LQWHUSRODomR da função integranda SRUXPSROLQyPLR, de grau Q, em Q SRQWRVHTXLGLVWDQWHV no intervalo de integração. Se Q é tpsdu, a regra tem JUDXGHH[DFWLGmRQ ese Q é SDU, a regra tem JUDXGHH[DFWLGmRQ Contudo, devido a efeitos de FDQFHODPHQWRVXEWUDFWLYR, regras de grau mais elevado não produzem melhores resultados. Como as epressões dos erros dependem de SRWrQFLDVGHK, a solução consiste em subdividir o intervalo de integração em VXELQWHUYDORVPHQRUHV.

23 Å 5HJUDV &RPSRVWDV 5HJUD GR 7UDSp]LR &RPSRVWD Defina-se a SDUWLomR de [DE] em 1 VXELQWHUYDORVGHLJXDODPSOLWXGH, nos pontos [ D[ [ Q E, onde [ L = D + LK com K =(EíD1. Então, Aplicando a UHJUDGRWUDSp]LRa cada um dos 1 integrais, somando, e considerando I L I[ L obtém-se a 5HJUDGRV7UDSp]LRV&RPSRVWD :

24 (UUR GD 5HJUD GRV 7UDSp]LRV &RPSRVWD WHRUHPD Seja I & ([DE]) e [ L = D + LK com K =(EíD1. Então, GHPRQVWUDomR Tomando, aplicando a regra do trapézio a cada um dos subintervalos [[ Lí [ L ] : e somando temos,

25 Seja, pelo WHRUHPDGRYDORUPpGLRSDUDVRPDVILQLWDV de valores de uma função, donde obtemos o (UURGH7UXQFDWXUDGD5HJUDGRV7UDSp]LRV&RPSRVWD, porque K E±D1 Para o caso particular de 1 ( ou seja K E±D ) temos a fórmula do erro para a regra do trapézio simples. O factor K indica que o erro de truncatura depende ( quadraticamente ) da amplitude dos subintervalos considerados. Do ponto de vista prático, esta fórmula não é muito vantajosa...

26 (VWLPDWLYD SDUD R (UUR GD 5HJUD GRV 7UDSp]LRV &RPSRVWD Consideremos apenas o caso de o Q~PHURGHVXELQWHUYDORVser SDU, 1 N. Se I & ([DE]) calculemos, uma aproimação, 7 (K) para,(i) com 1 subintervalos, e uma aproimação, 7 (2K) para,(i) com 1 subintervalos, Onde, ese I QmRYDULDUPXLWR em (DE) então e Subtraindo as duas fórmulas acima,

27 donde, SRUH[HPSOR Pelas UHJUDVGRVWUDSp]LRV, calculemos aproimações de, Com se utilizarmos a regra do trapézio simples, (, = ) para 1 =2 e K = S /2, para 1 =4 e K = S /4,

28 para 1 =8 e K = S /8, = Continuando, obteríamos: 1, 1 Analisando os YDORUHVUHDLVGRVHUURV, 1 (1 (1(1 podemos verificar que efectivamente, (1ž (1

29 Calculando _, 1 ±, 1 _ obtemos uma aproimação de (1 : 5HJUD GH 6LPSVRQ &RPSRVWD Defina-se a SDUWLomR de [DE] em 1 VXELQWHUYDORVGHLJXDODPSOLWXGH, nos pontos [ D[ [ Q E, onde [ L = D + LK com K =(EíD1. Então, Aplicando a UHJUDGH6LPSVRQa cada SDUGHVXELQWHUYDORV consecutivos,

30 somando, e considerando I L I[ L obtém-se a 5HJUDGH6LPSVRQ&RPSRVWD: (UUR GD 5HJUD GH 6LPSVRQ &RPSRVWD WHRUHPD Seja I & ([DE]) e [ L = D + LK com K =(EíD1 e 1 par. Então GHPRQVWUDomR( DQiORJDjDQWHULRU )

31 (VWLPDWLYD SDUD R (UUR GD 5HJUD GH 6LPSVRQ &RPSRVWD Consideremos apenas o caso de o Q~PHURGHVXELQWHUYDORVser P~OWLSORGH, 1 N. Se I & ([DE]) calculemos, uma aproimação, 6 (K) para,(i) com 1 subintervalos, e uma aproimação, 6 (2K) para,(i) com 1 (=N ) subintervalos, Se I QmRYDULDUPXLWR em (DE) então, pela fórmula do erro, pode verificar-se que, Subtraindo as duas fórmulas acima, donde,

32 SDUDRPHVPRH[HPSOR Pelas UHJUDVGH6LPSVRQ, calculemos aproimações de, (, = ) Comecemos por considerar a regra de Simpson para 1 =2 e K = S /2, para 1 =4 e K = S /4, = Continuando, obteríamos: 1, 1

33 Analisando os YDORUHVUHDLVGRVHUURV, 1 (1 (1(1 podemos verificar que efectivamente, (1ž (1 Calculando _, 1 ±, 1 _ obtemos uma aproimação de (1 : Comparando com os resultados obtido para a Regra dos Trapézios, verificamos que 5HJUDGH6LPSVRQ é computacionalmente PHOKRU. É possível utilizar regras de integração obtidas da utilização de polinómios que LQWHUSRODP não só a IXQomRLQWHJUDQGD mas também as suas GHULYDGDV.

34 Å )yupxodv GH LQWHJUDomR FRP YDORUHV GDV GHULYDGDV GD IXQomR LQWHJUDQGD Como caso particular considere-se o 3ROLQyPLR&~ELFRGH+HUPLWHinterpolador de I e de I em D e E, na forma de Newton, o HUURGHLQWHUSRODomR é, e portanto, Se calcularmos o integral de + [ em [DE],com K EíD :

35 verificamos que, UHJUDGRWUDSp]LR IDFWRUGHFRUUHFomR Justifica-se desta forma a designação 5HJUDGR7UDSp]LR&RUULJLGDpara a fórmula: Para determinar o (UURGD5HJUDGR7UDSp]LR&RUULJLGDcalculemos, que, recorrendo ao 7HRUHPDGR9DORU0pGLR3HVDGRSDUD,QWHJUDLV, e portanto para algum

36 5HJUD GRV 7UDSp]LRV &RUULJLGD &RPSRVWD Considere-se I & ([DE]) e a SDUWLomR de [DE] em 1 subintervalos de igual amplitude, nos pontos [ D[ [ Q E, onde [ L = D + LK com K =(EíD1. Então, Aplicando a regra dos trapézios FRUULJLGD a cada um dos integrais do segundo membro, e somando,

37 obtém-se a fórmula dos 7UDSp]LRV&RUULJLGD&RPSRVWD, e respectivo HUUR. SDUDRPHVPRH[HPSOR Pelas regras dos 7UDSp]LRV simples e 7UDSp]LRV&RUULJLGD ( ambas &RPSRVWDV ) 1, 7 ( 7, 7& ( 7& verificamos que ( 7& 1ž ( 7 1

38 Å )yupxodv GH *DXVV/HJHQGUH 4XDGUDWXUD GH *DXVV FRP 3ROLQyPLRV GH /HJHQGUH Cada regra de integração da família Newton-Cotes, é baseada na interpolação polinomial da função integranda em Q SRQWRV HTXLGLVWDQWHVe IL[RV [ L no intervalo de integração. Os Q FRHILFLHQWHV $ L são determinados de modo a que a integração seja H[DFWD para polinómios de JUDX Q. Na 4XDGUDWXUDGH*DXVV, os Q pontos [ L e mais os Q coeficientes $ L formam um conjunto de Q SDUkPHWURV, que serão determinados de modo a que a integração seja H[DFWD para polinómios de JUDX 2Q. No que se segue, a integração será efectuada no LQWHUYDOR []. Para o caso geral, basta uma PXGDQoDGHYDULiYHO, por forma a obter, ( W í [ De W [ E )

39 )yupxod GH *DXVV/HJHQGUH SDUD SRQWRV Neste caso (Q=) temos, onde $, $, [, [ são Q= LQFyJQLWDV a determinar, de modo a que a integração seja H[DFWD para polinómios de JUDX 2Q. No espaço P 3 dos SROLQyPLRVGHJUDXDWp consideremos a EDVH (, [, [, [ ). Como o operador integração é OLQHDU, a integração deverá ser H[DFWD para as funções da base:, [, [ e [. Assim, basta calcular: donde obtemos FRQGLo}HV. A solução do VLVWHPD fornece os valores dos SDUkPHWURV procurados: $ = $ =1 [ = [ =

40 Assim, a IyUPXODGH*DXVV/HJHQGUHSDUDGRLVSRQWRV, consiste apenas na soma dos valores da função em dois pontos, e calcula uma aproimação do integral com JUDXGHH[DFWLGmR igual awurv. Note-se que se trata efectivamente da iuhdghxpwudsp]lr, no intervalo [], definido pelos valores de I[em [ = e [ = UHJUDGRWUDSp]LR IyUPXODGH*DXVVSDUDSRQWRV Apesar da sua simplicidade, com a fórmula de Gauss-Legendre de GRLVSRQWRV a LQWHJUDomRpH[DFWD para todos os SROLQyPLRVGHJUDXH. Podemos verificar que o mesmo já não acontece para polinómios de grau 4. Para I[ [, mas

41 SDUDRPHVPRH[HPSOR Pela IyUPXODGH*DXVV/HJHQGUHGHGRLVSRQWRV calculemos uma aproimação de, (, = ) Efectuando uma mudança de variável, de forma a obter [ ± [,] I[ = ( =

42 Prova-se que, se I & ([]), o HUURGHWUXQFDWXUD da IyUPXODGH*DXVV /HJHQGUHGHGRLVSRQWRV é dado por, )yupxodv GH *DXVV/HJHQGUH SDUD Q SRQWRV Se I & ([]) podemos deduzir de modo análogo a IyUPXODGH*DXVV /HJHQGUHSDUDWUrVSRQWRV, onde, Verifique que esta fórmula tem JUDXGHH[DFWLGmR igual a. Assim temos,

43 O mesmo procedimento poderia ser aplicado para qualquer valor de Q, eigindo contudo a resolução de um sistema de 2Q equações a 2Q incógnitas. No entanto, é possível mostrar que tanto os QyV [ L como os SHVRV $ L podem ser obtidos a partir dos SROLQyPLRVGH/HJHQGUH. Cada SROLQyPLRGH/HJHQGUH 3 Q [ tem Q UDt]HV no intervalo [í,] e essas raízes são eactamente os QyV das regras de quadratura gaussiana. Sob o ponto de vista prático são utilizadas WDEHODV onde, em função do Q~PHURGH SRQWRV (Q) considerado, são dados os valores dos QyV [ L edos SHVRV $ L,com L Q. Q [ L $ L (UUR

44 SDUDRPHVPRH[HPSOR Pelas IyUPXODVGH*DXVV/HJHQGUH calculemos sucessivas aproimações de, (, = ) Q, Q ( Q Verificamos que o HUURGHFUHVFHPXLWRUDSLGDPHQWH quando o número de pontos de integração aumenta. Compare com a aplicação das regras anteriores, onde erros da ordem de são apenas obtidos para mais de 1000 pontos.