Exercícios de MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Capítulo V

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1 Exercícios de MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Capítulo V Integração Numérica 1. Considere o integral: 1 0 e x2 dx a) Determine o seu valor aproximado, considerando 4 subintervalos e utilizando: i. A regra dos Trapézios. ii. A regra de Simpson. b) Faça uma estimativa do número mínimo de subintervalos que se deveria considerar, se se pretendesse calcular o integral da alínea anterior com um erro inferior a 10 4, utilizando: i. A regra dos Trapézios. ii. A regra de Simpson. Solução: a) i) ; ii) ; b) i) 117; ii) Suponha que a função f é definida no intervalo [0, a] do seguinte modo: { 3 x 0 x 1 f(x) = 3x 1 1 x a a) Obtenha aproximações para o integral I(f) = a f(x)dx, com a = 2 0 e a = 3, dos seguintes modos: i. Utilizando a regra dos trapézios composta, com passo h = 1. ii. Utilizando a regra de Simpson simples. b) Determine o erro de cada um dos resultados obtidos, comparando com o valor exacto de I(f). c) A fórmula do erro da regra dos trapézios é aplicável neste caso? E a da regra do Simpson? Justifique. Solução: Fórmula dos trapézios composta: para a = 2, T 2 = 6; se a = 3, T 3 = 25/2 (em ambos os casos obtém-se o valor exacto do integral). Fórmula de Simpson: a = 2, S = 16/3; a = 3, S = 25/2 (só no segundo caso se obtém o valor exacto do integral. 1

2 Explicação: A função considerada não é continuamente diferenciável em [0,3] (a primeira derivada é descontínua em x = 1). Logo, a fórmula do erro, em geral, não é aplicável, nem para a regra dos trapézios nem para a de Simpson. No entanto, quando se aplica a regra dos trapézios composta, estamos a integrar a função separadamente cada intervalo: em [0, 1], em[1, 2] e em [1, 3]. Como a função é infinitamente diferenciável em cada um destes intervalos, a fórmula do erro de integração pode ser aplicada em cada um deles. De acordo com essa fórmula, o erro é nulo (a segunda derivada de um polinómio de grau 1 é 0). Assim se explica que a regra dos trapézios composta com h = 1 seja exacta para esta função. O mesmo raciocínio não é válido para a regra de Simpson, já que, neste caso, a função é integrada em [0, 3], por inteiro. Ainda assim, no caso de a = 3, a regra de Simpson leva-nos ao valor exacto do integral (pode dizer-se que isso acontece por coincidência). 3. Pretende-se construir uma fórmula de quadratura do tipo Q(g) = A 0 g(0) + A 1 g(1) para aproximar I = 1 0 e x g(x)dx a) Calcule A 0 e A 1 de modo a que a fórmula seja exacta para funções g(x) = a + bx com a, b R. b) Seja g(x) = sin(x). Obtenha uma aproximação de I usando a regra de quadratura obtida em a) e calcule uma estimativa do erro absoluto. c) Determine um valor aproximado para I usando a regra dos Trapézios composta com 4 subintervalos. d) Determine o número mínimo de subintervalos necessários na regra dos Trapézios composta, para garantir que o erro absoluto do resultado seja inferior a 10 2 (despreze erros de arredondamento). 4. Pretende-se obter a fórmula de integração Q(f) = A 0 f(0) + A 1 [f(x 1 ) + f( x 1 )] de modo a que ela seja pelo menos de grau 2 para o integral I(f) = 1 1 f(x)dx. a) Exprima A 0 e A 1 em função de x 1. b) Mostre que a fórmula obtida é pelo menos de grau 3 e determine x 1 de modo a que a fórmula seja pelo menos de grau 5. 2

3 5. A tabela seguinte mostra os resultados obtidos por uma regra de Newton- Côtes (composta) no cálculo do integral I(f) de uma certa função f indefinidamente diferenciável. n I n O valor I n representa a aproximação obtida com n + 1 nós de integração. Sabendo que o valor exacto do integral é I(f) = , diga, justificando, que fórmula poderá ter sido utilizada (Trapézios ou Simpson). 6. Considere a seguinte tabela de valores de uma função f(x) x i f(x i ) /2 1/2 a) Utilizando a fórmula de Newton com diferenças divididas, determine o polinómio de grau 2, p 2 (x) que interpola f(x) nos pontos x 0 = 2, x 2 = 0 e x 4 = 2. b) Suponha que pretendemos aproximar o valor de I = 2 f(x)dx por 2 2 p 2 2(x)dx. Sabendo que as derivadas de f verificam f (j) (x) j/2, j = 1,..., 4 no intervalo [ 2, 2], determine um majorante par o erro de integração. Justifique. 7. Calcule o valor aproximado de 1 0 sin( x2 2 )dx a) usando a regra dos trapézios composta com 5 nós de integração igualmente espaçados, e determinando um majorante do erro. b) usando a regra de Simpson simples, e determinando um majorante do erro. 8. Pretende-se obter uma fórmula com dois nós no intervalo [ 1, 1], i.e. uma fórmula do tipo: I 1 (f) = A 0 f(x 0 ) + A 1 f(x 1 ) 3

4 a) Escreva o sistema de equações que lhe permite calcular A 0 e A 1 de modo a que a fórmula seja, pelo menos, de grau 1. b) Resolva o sistema em ordem a A 0 e A 1. c) Mostre que, sa x 0 e x 1 forem tais que x 0 x 1 = 1, a fórmula de 3 integração assim obtida tem pelo menos grau 2. Solução: b) A 1 = 2x 0 x 0 x 1 ; A 0 = 2x 1 x 0 x 1 9. Sabe-se que a função f C 4 ( 2, 10) toma os valores f(1) = 2, f(4) = 7, f(10) = 6, e que 1, 4 e 10 são pontos fixos de f f. a) Determine o valor aproximado de 10 f(x)dx usando a regra de Simpson com 5 nós de 2 quadratura. b) Admitindo que f (iv) (x) 10, determine um majorante do erro absoluto cometido em a). 10. a) Encontre uma fórmula de quadratura Q(f) = 2f(a)+Af(b) que seja exacta para os polinómios de grau 2 no intervalo [0, 1]. b) Indique como construir uma fórmula composta, partindo da expressão obtida em a). 11. Considere os integrais J(f) = 1 0 f(x)e x dx a) Deduza uma fórmula de quadratura que seja exacta para J(a + bx), usando um único ponto em [0, 1]. b) Indique a fórmula composta, e calcule uma aproximação do integral J(cos(x 2 )) usando 4 subintervalos. 12. Considere o integral definido I = 3π/4 π/2 ln(sin(x))dx a) Determine o menor número de pontos em que deve conhecer o valor da função integrada para calcular I pela regra dos trapézios composta com um erro que não exceda b) Utilizando o resultado da alínea anterior, calcule um valor aproximado de I. 4

5 13. Considere a região S do plano, situada no 1 o quadrante, delimitada pelas rectas x = 1/2, x = 1 e pelas curvas de equações y = x 3 e y 2 = x. a) Denote por A(S) a área da respectiva região. Estabeleça o integral definido que lhe permite calcular exactamente A(S). b) Se calcular um valor aproximado Ã(S) da ária da região considerada mediante aplicação da regras de Simpson, qual o menor número de pontos em que deve conhecer o valor da função integranda, de modo a garantir um erro de truncatura inferior a c) Indique os cálculos necessários para obter Ã(S) pelo método referido e nas condições da alínea anterior. d) Calcule o erro exacto da aproximação Ã(S). e) Confirme os resultados obtidos anteriormente utilizando funções Mathematica e/ou rotinas a desenvolver para o efeito. 14. Considere a seguinte tabela de valores de uma função f x f(x) /2 a) Obtenha dois valores aproximados para 7 f(x)dx, de duas maneiras 1 distintas, recorrendo a fórmulas de quadratura e usando o maior número possível de pontos da tabela. Justifique a escolha dos pontos. b) Supondo que max x [ 1,7] f (n) (x) M n, n, com M n constante real, determine expressões, em função de M n, para os erros de integração nos dois casos que considerou na alínea anterior. 15. Para aproximar o integral I(f) = 1 0 xf(x)dx, em que f C2 [0, 1], consideremos a fórmula de quadratura Q(f) = A 0 f(0) + A 1 f (1) onde f designa a derivada de f. Determine os pesos A 0, A 1 de modo a que a fórmula dê o valor exacto do integral quando f é um polinómio de grau 1. EXAME,LEC 25/07/2001 5

6 16. Seja I(f) = 1 1 f(x)dx e seja P m o espaço dos polinómios de grau menor ou igual a m. Pretende-se aproximar I por uma fórmula do tipo com x 0, x 1, x 2 [ 1, 1]. Q(f) := A 0 f(x 0 ) + A 1 f(x 1 ) + A 2 f(x 2 ), (a) Determine os coeficientes A 0, A 1 e A 2 de modo que Q seja exacta sobre P 2 nos seguintes casos (i) x 0 = 1, x 1 = 1/2, x 2 = 1; (ii) x 0 = 1, x 1 = 0, x 2 = 1; (iii) x 0 = 3/3, x 1 = 0, x 2 = 3/3; (iv) x 0 = 3/5, x 1 = 0, x 2 = 3/5. (b) Relativamente às fórmulas obtidas na alínea anterior, determine o grau de Q. Solução: i)a 0 = 5/9, A 1 = 16/9, A 2 = 1/3; grau 2; ii) A 0 = 1/3, A 1 = 4/3; A 2 = 1/3; grau 3 ; iii)a 0 = A 2 = 1; A 1 = 0; grau 3; iv) A 0 = A 2 = 5/9, A 1 = 8/9; grau Utilizando a regra dos trapézios composta, mostre que (a) (b) n i = i=1 n i 2 = i=1 n(n + 1), n N; 2 n(n + 1)(2n + 1), n N. 6 6

7 Capítulo VI Métodos Numéricos para Equações Diferenciais Ordinárias Euler y n+1 = y n + hf n Euler Implícito y n+1 = y n + hf n+1 Ponto Médio y n+1 = y n + hf(x n + h/2, y n + h/2f n ) Heun y n+1 = y n + h/2(f n + f(x n + h, y n + hf n )) 1. Considere o problema de valor inicial { y (x) = 1 x + 4y(x) 0 x 1 y(0) = 1 com solução exacta y(x) = x/4 3/16 + (19/16)e 4x. a) Obtenha um valor aproximado y 2 para y(0.2) usando o método de Euler com passo h = 0.1. b) Recorrendo a um resultado teórico, deduza um majorante para y(0.2) y 2. Compare com o valor do erro de facto cometido. c) Utilize o método de Taylor de ordem 2, com h = 0.1, para obter uma aproximação de y(0.2). Compare com o resultado da alínea a). Solução: a)y 2 = 2.19;b) y 2 y(0.2) e 0.8 (e 0.8 1) = 0.648; erro de facto cometido: e 2 = c)y 2 = Considere o problema de valor inicial { y (x) = sin(xy(x)) 0 x 1 y(0) = 1 a) Mostre que este problema tem uma única solução. b) Aplique o método de Euler com h = 0.1 e calcule uma aproximação para y(0.2). c) Obtenha um majorante para o erro absoluto do valor obtido na alínea anterior, desprezando erros no valor inicial y 0. d) Qual deverá ser o valor do passo h para poder garantir um erro absoluto não superior a 10 4 no valor calculado na alínea b)? 7

8 e) Considerando que y 0 é um valor arredondado, com um erro e 0 ε, qual deverá ser o valor de ε de modo a que, com o valor de h considerado na alínea anterior, o erro absoluto seja não superior a ? 3. Utilize o método do ponto médio para obter uma aproximação da solução do problema de valor inicial { y (x) = x + y(x) 0 x 1 y(0) = 0 no ponto x = 0.1 com espaçamentos h = 0.1, 0.05, Sabendo que a solução exacta deste problema é dada por y(x) = e x 1 x, compare os resultados obtidos com o valor exacto de y(0.1). Comente. Solução: h = 0.1,y 1 = 0.005; erro: ;h = 0.05,y 2 = ; erro: ; h = 0.025,y 4 = ; erro: Quando se reduz o passo para metade, o erro diminui aproximadamente 4 vezes, como seria de esperar, visto tratar-se de um método de segunda ordem. 4. Considere a seguinte família de problemas de valor inicial { y (x) = f(x, y(x)) 0 x 1 y(0) = y 0 a) Mostre que, no caso de f(x, y) = y + sin(x)y + x 3 o problema tem solução única. Considere y 0 = 1. Obtenha uma aproximação de y(0.2) aplicando o método de Euler implícito com h = 0.1. b) Considere agora f(x, y) = y + sin(x)/y 4 + x 3. Poderá garantir existência e unicidade de solução para qualquer valor inicial y 0? Considere y 0 = 1. Obtenha uma aproximação de y(0.2) aplicando o método de Euler implícito com h = 0.1. Use o método de Euler explícito para prever o valor de y n+1 no membro da direita. 5. Considere o seguinte problema de valores iniciais para uma equação diferencial da segunda ordem { y (x) + xy (x) + y(x) = 0 0 x 1 y(0) = 1, y (0) = 1 a) Determine o valor aproximado de y(1), pelo método de Euler com h =

9 b) Idem, mas pelo método do ponto médio. 6. Deduza uma regra de quadratura Q(f) = Af(t m )+Bf(t m + h ) de grau 2 1, para aproximar o integral, tm+1 t m f(s, y(s))ds Q(f) a) Deduza um esquema unipasso baseado nessa regra, usando como preditor para y(t m + h ) o método de Euler explícito. 2 b) Determine a ordem de consistência do método, e conclua acerca da ordem de convergência. c) Deduza um método multipasso, usando uma regra de quadratura Q(f) = Af(t m 2 ) + Bf(t m ). 7. Considere o problema de valor inicial { y (x) = y(x) x x 1 y(0) = 0.5 com solução exacta dada por y(x) = 1 + 2x + x 2 0.5e x. a) Obtenha um valor aproximado para y(1) pelo método de Heun com h = 0.2. b) Idem, mas pelo método do ponto médio. c) Idem, mas pelo método de Taylor de ordem 2. d) Compare as soluções aproximadas obtidas nas alíneas anteriores com a solução exacta. Comente. 8. Verifique que o método do ponto médio, quando aplicado ao problema de valor inicial { y (x) = 20y(x) 0 x 20 y(0) = 1 resulta na fórmula de recorrência n y n+1 = (1 20h + 200h 2 ) n+1 n 0. a) Aplique este método (com h = 0.1) para obter um valor aproximado de y(1) e compare o resultado com o valor exacto, sabendo que a solução do problema anterior é y(x) = exp( 20x). 9

10 b) Se h > 0.1 o que acontece com a solução fornecida por este método de Runge-Kutta? Comente. 9. Considere o problema de Cauchy (P) { y (t) = ty(t) y(0) = 1 a) Mostre que y(t) = e t2 /2 é a única solução de (P). Compare o valor exacto de y(2) com o valor aproximado dado pelo método de Euler, considerando h = 1, h = 0.5. b) Apresente estimativas de erro para os valores obtidos em a), e determine o número de passos de forma a garantir um erro absoluto inferior a 10 6 (considerando que o valor inicial é exacto). Considerando que y 0 é um valor arredondado, com um erro e 0 ε, qual o valor de ε máximo de forma a garantir que o erro absoluto seja não superior a , admitindo que o número de passos é o mesmo? Solução: a) com h = 1, y(2) y 2 = 0; com h = 0.5, y(2) y 4 = b) Estimativa do erro: para x n = 2, y n y(x n ) h e Considere o problema de valor inicial { y (x) = 1 y(x) x 2 x 3 y(2) = 2 com solução exacta dada por y(x) = x/2 + 2/x. Determine um valor aproximado para y(2.1) pelo método de Euler com h = 0.1, 0.05, Confirme que a convergência do método de Euler é de ordem 1. Solução: h = 0.1,y 1 = 2; erro: ;h = 0.05,y 2 = ; erro: ; h = 0.025,y 4 = ; erro: Quando se reduz o passo para metade, o erro também diminui aproximadamente para metade. Isto verifica-se porque o método de Euler é de ordem Considere o problema de valor inicial { y (x) = f(x) a x b y(a) = y 0 onde f C[a, b] e y 0 R. Escrevendo a equação na forma y(x) = y 0 + x f(x) dx mostre que o método do ponto médio corresponde à a 10

11 aplicação da regra do ponto médio ao integral x f(x) dx. Mostre ainda a que o método de Heun corresponde à aplicação da regra dos Trapézios. 12. Considere o problema de valores iniciais { y (x) + 2y (x) + y(x) = e x 0 x 1 y(0) = 1, y (0) = 1 Obtenha valores aproximados para y(0.2) e y (0.2) pelo método de Euler com passo h = Seja y (t) = f(t, y(t)), y(a) = a. a) Mostre que se f(x, y) = g(y), com g(x) c < 1 e g (x) L, para qualquer x, então a sucessão x n+1 = y(x n ) converge, qualquer que seja x 0 R, e o seu limite é a. b) Indique qual a expressão do método de Taylor de segunda ordem e indique a expressão de y 1 para um espaçamento h. 14. Considere o seguinte problema de valores iniciais para uma equação diferencial de segunda ordem { u (x) = u(x) 0 x 1 u(0) = 1, u (0) = 0 a) Aplique o método de Euler com h = 0.25, para determinar a aproximação de u(1), e compare com a solução exacta do problema. b) O mesmo que em a), mas usando o método do ponto-médio (RK de ordem 2). c) Considere agora a equação de segunda ordem { u (x) = u 3 (x) 0 x 1 y(0) = 1, y (0) = 0 e aproxime u(1) usando o método do ponto médio com h = 0.5, h = 0.25, h = 0.1. d) O mesmo que em c) para u (x) = u (x)u(x) 2 x u (x) 2. 11

12 15. Considere y (t) = f(y(t)) e suponha que f (x) [ 3, 1 ], x R. 2 2 a) Mostre que se h = 1, o método de Euler converge para um valor fixo quando m, qual? b) O que acontece quando os valores de h tendem para zero? c) Calcule uma aproximação de y(1) considerando h = 0.2, f(x) = sin(x)/2 x e y(0) = 1. 12