Funções I. Funções Lineares Funções Quadráticas

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1 Funções I Funções Lineares Funções Quadráticas 1

2 Definição Uma função é dada por uma terna(a, B, ƒ), em que A e B são conjuntos e ƒ é uma relação entre os elementos de A e B que satisfaz a seguinte propriedade: Para cada elemento x A, está associado um único elemento de B que chamaremos de ƒ(x) O conjunto no qual os valores de x podem ser tomados é chamado de domínio da função. O conjunto dos valores que ƒ assume para cada x é denominado contradomínio ou imagem da função. 2

3 Definição 3

4 Representações Uma função pode ser representada no mínimo de três formas: Tabelas Gráficos Equações 4

5 Representações A partir da equação de uma função é sempre possível obter uma tabela e o respectivo gráfico de uma função. Fazer isso significa montar um modelo matemático. Tais modelos geralmente são obtidos a partir da análise de fenômenos naturais a partir de dados experimentais. 5

6 Exemplos do dia a dia Considere o custo para se colocar 20 litros de gasolina em um carro dependerá do preço desse produto. Formulando, neste caso o modelo matemático tem-se: F(x) = 20 X A partir da equação pode-se obter uma tabela e um gráfico, atribuindo alguns valores a x. 6

7 Exemplos do dia a dia x 0,5 1 1,5 2 2,5 f(x) f(x)=20 X ,5 1 1,5 2 2,

8 Funções Crescentes x Decrescentes Funções crescentes tem o valor de f(x) aumentado sempre que se aumenta o valor de x. Funções decrescentes tem o valor de f(x) diminuído sempre que se aumenta o valor de x. 8

9 Funções Crescentes x Decrescentes 9

10 Tipos de Funções Função afim ou Linear Função quadrática Função Polinomial Funções Potências Funções Trigonométricas Função Racional Função exponencial Função Logarítmica 10

11 Função Afim ou Linear Função afim ou linear se caracteriza por ter um padrão de crescimento ou decrescimento constantes. Nesse tipo de função qualquer mudança na variável independente cauda uma mudança proporcional na variável dependente. A equação descritiva de uma função linear, ƒ(x)= a x + b a ( Variável dependente) = Coeficiente angular b( Variável independente) = Coeficiente Linear 11

12 função linear Os dados a seguir descreve a temperatura mínima do solo ƒ(x) em cº é determinada em função do resíduo de planta e biomassa na superfície x. x Como determinar a função?? ƒ(x) 7,24 7,30 7,36 7,42 7,48 7,54 7,60 Primeiramente precisamos definir o coeficiente angular dessa função, ou seja o a da equação ax+b. a = coeficiente angular= variação de ƒ(x) variação de x = Δƒ Δx = 7,30 7, a=0,006 12

13 função linear Dessa maneira nossa equação fica : ƒ(x)= 0,006 x + b Para determinar b basta pegarmos um dos pontos tabelados e fazer uma substituição 7,36=0,006(30) + b b=7,36-0,18 b=7,18 ƒ(x)= 0,006 X + 7,18 Note que isso vale pra qualquer ponto que se pegue, experimente pegar um outro ponto. b deve ter o mesmo valor pra todos os pontos. x ƒ(x) 7,24 7,30 7,36 7,42 7,48 7,54 7,60 13

14 Função Linear ƒ(x)= 0,006 X + 7,18 14

15 Função Linear Crescente e Decrescente se a > 0 a função é crescente se a < 0 a função é decrescente a= 0 o gráfico não possui inclinação, função constante. 15

16 16

17 Exemplo Funções Lineares Considerando que a saca de ração custa r$15 em média e que um kit de vacinas custe r$150 reais e que você tenha r$900 para investir... Monte uma tabela com as possibilidades de gastos com ração e vacinas. Depois ache a função de possibilidades Trace o gráfico da função. 17

18 Exemplo Funções Lineares 1) 15x +150y=900 ƒ(x) 2) sendo x (ração em sacas) 3) sendo y( kits de Vacinas) 4) y= 6-0,1X x ƒ(x)

19 Exemplo Funções Lineares 1) 150x +15y=900 ƒ(x) 2) sendo x (kits de Vacinas) 3) sendo y(ração em sacas) 4) y= 60-10X x ƒ(x)

20 Exercício Encontre os coeficientes angular e linear das retas dadas pelas equações seguintes e construa o gráfico correspondente: a)y = 3x b)y = 5 c)2x 4y = 12 d) x 2 + y 5 = 2 e)x = 2 20

21 Exercício Relacione os gráficos a seguir com suas equações... a)y = 2x 4 b)y = 3x + 5 c)y = 3 d)y = 2x + 3 e)y = 5x f )y = 3x 2 21

22 22

23 Funções Quadráticas ƒ(x) = a x2 + b x+ c Os coeficientes a, b e c são números reais. a 0 Em geral o gráfico de uma função quadrática é uma parábola. 23

24 Funções Quadráticas Um dado muito útil em funções quadráticas é saber onde o gráfico cruza o eixo x. Para isso precisamos achar as raízes da equação de segundo grau usando a formula de Bhaskara. x' = b + b2 4ac 2a x" = b b2 4ac 2a 24

25 Funções Quadráticas As raízes podem ser eventualmente complexas, mas como mencionado anteriormente não veremos problemas de Domínio complexo pois não tem aplicabilidade pratica durante o curso. 25

26 Concavidade de funções Quadráticas Uma característica muito interessante que também deve ser observada em funções quadráticas é a concavidade da parábola resultante. Para determinar a concavidade basta analisar o valor do coeficiente a da equação ƒ(x) = a x 2 + b x+ c se a >0 a concavidade é voltada para cima se a<0 a concavidade é voltada para baixo 26

27 Ponto Máximo / Mínimo Dependendo do coeficiente a a função vai apresentar um ponto especial que pode ser um ponto de máximo ou ponto de mínimo. se a>0 o ponto será de mínimo com valor em x= -b/2a se a<0 o ponto será de máximo com valor em x=-b/2a Com os dois pontos de zero da função e mais o ponto de mínimo e máximo já é possível esboçar o gráfico... 27

28 Exemplo de função Quadrática Considerando a equação abaixo, resolver as zeros da equação e esboçar os gráficos ƒ(x)= x2 -x -2 ƒ(x) = -2x2 +4x -2 28

29 Exemplo de função ƒ(x)= x2 -x -2 x = -1 e x = 2 Quadrática x' = 1 + ( 1) x" = 1 ( 1) Temos então uma parábola que passa pelos pontos (-1,0 ) (2,0). 29

30 Exemplo de função Quadrática Como a>0 o gráfico da função tem concavidade para cima e ponto de mínimo a= -b/2a = 1/2 x=1/2, para se achar o valor de ƒ(x) para determinar o ponto devemos substituir o valor do ponto de máximo/mínimo na equação para achar o ƒ(x) correspondente. 30

31 Exemplo de função Quadrática Dessa forma... ƒ(1/2)=(1/2) 2 -(1/2) -2 ƒ(1/2)= -9/4=-2,25 com isso temos os pontos principais necessários para traça o gráfico. Dois pontos de zero da função (-1,0) (2,0) Ponto de mínimo (0.5, -2.25) 31

32 Exemplo de função Quadrática 32

33 Exemplo de função ƒ(x) = -2x2 +4x -2 x = x = -1 Quadrática x' = 4 + (4) ( 2) x" = 4 (4) ( 2) Temos então uma parábola que passa pelo ponto (-1,0 ) 33

34 Exemplo de função Quadrática Como a<0 o gráfico da função tem concavidade para baixo e ponto de maximo a= -b/2a = -4/2.(-2) =1 x=1, para se achar o valor de ƒ(x) para determinar o ponto devemos substituir o valor do ponto de máximo/mínimo na equação para achar o ƒ(x) correspondente. 34

35 Exemplo de função Quadrática Dessa forma... ƒ(1)=-2(1) 2 +4(1) -2 ƒ(1)= 0 com isso temos os pontos principais necessários para traça o gráfico. Um ponto de zero da função (1,0) Ponto de máximo (1, 0) 35

36 Exemplo de função Quadrática 36

37 Funções Polinomiais Funções do tipo ƒ(x) =an x n +an-1 x n a1 x+ao São Chamadas de funções polinomiais, onde n pode assumir qualquer valor Inteiro positivo. Chamamos o n de ordem ou grau da função polinomial Observe que as funções Quadráticas e lineares são funções polinomiais de grau 1 e grau 2 respectivamente. 37

38 Funções Polinomiais Diferente das funções quadráticas, as funções polinomiais podem atingir valores mínimos e máximos na mesma função. Vamos analisar um caso a parte das funções polinomiais, a função cubica, ou seja, que possui n=3 38

39 Funções cúbicas A função cubica tem equação igual a ƒ(x)=ax 3 + bx 2 + cx + d, onde a 0 b,c e d são constantes. Como determinar os coeficientes??? 39

40 Funções Cubicas Considere a tabela ao lado.. Analisando os valores vemos que a tabela apresenta pontos de máximo e de mínimo. Isso significa que o modelo da função quadrática não se aplica mais a esse fenômeno x ƒ(x) Profundidade do solo(x) Densidade volumétrica(x) 40

41 Funções Cubicas Como calcular o grau dessa função?? devemos analisar as razões entre a variação de x por y. Quando essas razões se mantiverem constantes é por que achamos o grau da função. vamos ampliar a tabela para os cálculos x ƒ(x) Profundidade do solo(x) Densidade volumétrica(x) 41

42 Funções Cubicas x ƒ(x) y/ x 2 y/( x) 2 3 y/( x) Efetuando os calculos da terceira coluna, isto é a primeira variação tem se: y x y x y = = = = = = x e assim sucessivamente... 42

43 Funções Cubicas x ƒ(x) y/ x 2 y/( x) 2 3 y/( x) Efetuando os calculos da quarta coluna, isto é a segunda variação tem se: 2 y = = ( x) y = = ( x) y = = ( x) 0.05 e assim sucessivamente... 43

44 Funções Cubicas x ƒ(x) y/ x 2 y/( x) 2 3 y/( x) Efetuando os calculos da quinta coluna, isto é a terceira variação tem se: 3 y = = ( x) y = = ( x) y = = ( x) 0.05 e assim sucessivamente... Considerando que isso aconteça para qualquer ponto pertencente ao intervalo, tem se a seguinte definição 44

45 Funções Cubicas A função cubica tem equação geral igual a: ƒ(x)=ax 3 + bx 2 + cx + d, onde a 0 b,c e d são constantes. Os dados de uma tabela constituem uma função cúbica se os valores da terceira variação 3 y/( x) 3 forem uma constante não nula. ( Neste caso a= 3 y ( x) )

46 Funções Cubicas Resta a pergunta: como definir os outros coeficientes? Substituindo valores tabelados e montando um sistema de terceira ordem. acompanhe... 46

47 Funções Cubicas no exemplo anterior temos a=154/6= pegamos 3 pontos da tabela... (0.15, ) (0.25, 1.272) (0.35, ) E monta-se o sistema ƒ(0.15)=25.733(0.15)3 +b(0.15) 2 +c(0.15)+d = ƒ(0.25)=25.733(0.25)3 +b(0.25) 2 +c(0.25)+d =1.272 ƒ(0.35)=25.733(0.35)3 +b(0.35) 2 +c(0.35)+d =

48 Funções Cubicas b+0.15 c + d = b+0.25 c + d = b+0.35 c + d = Com esse sistema, obtém-se b= , c=3,168 e d= Note que podemos obter facilmente d quando consideramos o ponto(0,1.14). ƒ(x) = x x x

49 Funções Cubicas 49

50 Referencias [1]F. U. Coelho, Curso básico de Calculo, vol. 1, 1 ed. São Paulo: Editora Saraiva, [2]G. Iezzi, Fundamentos da matemática elementar 8: Limites, derivadas, noções de integral, vol. 8, 6 ed. São Paulo: Atual, [3]wikimedia, "Matemática Elementar: Conjuntos," wikimedia, Ed.: wiki livros, Esta apresentação está com os direitos reservados segundo a licença : Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 License. Mais detalhes da licença no endereço