Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo LCE0130 Cálculo Diferencial e Integral
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- Marta Penha Jardim
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1 Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo LCE0130 Cálculo Diferencial e Integral Taciana Villela Savian Sala 304, pav. Engenharia, ramal 237 tvsavian@usp.br tacianavillela@gmail.com
2 Funções Função: uma função f, definida em um conjunto X e tomando valores em Y, é uma correspondência que associa a cada elemento x de X um único elemento y de Y. O elemento y é denominado de imagem de x pela função f, e se denota por f(x), y=f(x). O conjunto X é denominado domínio da função. O conjunto de todas as possíveis imagens de elementos de X é denominado contradomínio.
3 Tipos de Funções Função Constantes; Função Linear; Função Afim; Função Quadrática; Função Exponencial; Função Logarítmica; Funções Trigonométricas; Função Modular.
4 Tipos de Funções Função Constantes (f: R R) Domínio da Função Contradomínio da Função f x = k em que: k R Possibilidades: k > 0; k < 0 ouk = 0
5 Tipos de Funções f x = 5 D = R CD = R Im = 5 Não admite inversa f x = 5 D = R CD = R Im = 5 Não admite inversa f x = 0 D = R CD = R Im = 0 Não admite inversa Imagem = Contradomínio Sobrejetora x 1 x 2 f x 1 f x 2 Injetora Bijetora Inversível
6 Tipos de Funções Função Linear (f: R R) f x = kx em que: k R = R 0 Possibilidades: k > 0 ou k < 0 Função Crescente Função Decrescente
7 Tipos de Funções f x 4x D CD Im R R R Função Inversível R R R f x 4x D CD Im Função Inversível
8 Tipos de Funções Função Afim f : R R f x ax b, ar, br, a 0, b 0 Possibilidades: a>0 e b>0; a>0 e b<0; a<0 e b>0; a<0 e b<0 a>0 a<0
9 Tipos de Funções a>0 a<0 D CD Im R R R São funções Inversíveis
10 Tipos de Funções Exemplo: Considere a função a=5 (função crescente, a>0) 5 3 f x x b=3 (intercepto-y é o próprio b da função, b>0) E o intercepto-x? (Qual valor de x quando y=0?) 5 3 f x x 0 5x 3 35x x 3 5 Intercepto-y: P1 (0;3) Intercepto-x: P2 (-3/5;0)
11 Tipos de Funções Exemplo: Considere a função a=5 (função crescente, a>0) 5 3 f x x b=3 (intercepto-y é o próprio b da função, b>0) y x 5 3 f x x Intercepto-y: P1 (0;3) Intercepto-x: P2 (-3/5;0)
12 Tipos de Funções Exemplo: Considere a função 10 5 f x x - Identifique os coeficientes a e b; - Obtenha os interceptos x e y; - Faça um esboço do gráfico.
13 Tipos de Funções Função Quadrática f : R R f x ax bx c, ar, br, cr, a 0 2 Possibilidades: a>0 e Delta>0; Delta=0 e Delta<0 a<0 e Delta>0; Delta=0 e Delta<0
14 Tipos de Funções D Im CD R R depende y v São funções não Inversíveis
15 Exemplo: Considere a função Tipos de Funções 2 f x x 9x 18 a=1 (Concavidade voltada para cima, a>0) c=18 (Intercepto-y, quando x=0 y=18) 2 b 4ac Duas raízes (interceptos-x) delta>0 Quem são os interceptos-x (raízes)? Báskara b 9 9 x 2a x x2 6 2
16 Tipos de Funções Exemplo: Considere a função 2 f x x 9x 18 b Vértice ; 2a 4a c=18 y 9 9 ; 4,5; 2, x 1 =3 x 2 =6 x Vértice 4,5; 2, 25
17 Tipos de Funções Exemplo: Considere as seguintes funções f x x 2 f x x x 2 f x x x Identifique os coeficientes - Obtenha os interceptos - Obtenha as coordenadas do vértice - Faça um esboço do gráfico
18 Resolução P(0;-16) P(3;0) P(5;0) P(0;14) P(0;-15)
19 Tipos de Funções Função Exponencial * f : R R f x a a x, 0 1 Possibilidades: 0<a<1 (função decrescente) a>1 (função crescente) f x 2 x f x P(0,1) P(0,1) 1 2 x
20 Tipos de Funções Função Exponencial * f : R R f x a a x, 0 1 Caso especial: a=e ( e base do logaritmo neperiano) a=e=2, x f x e exp x f x 0 e exp 0 1 P(0,1)
21 Tipos de Funções Função Logarítmica * f : R R f x log x, 0 a 1 Possibilidades: 0<a<1 (função decrescente) a>1 (função crescente) log2 f x x P(1,0) a log 1 f x x P(1,0) 2
22 Tipos de Funções Função Logarítmica * f : R R f x log x, 0 a 1 a Caso especial: a=e ( e base do logaritmo neperiano) a=e=2, f x log x ln x e P(1,0) f x ln(1) 0
23 Mais sobre funções: lineares, exponenciais e logarítmicas As funções exponenciais são bastante utilizadas para descrever, entre outros fenômenos, o crescimento (ou decrescimento) de populações. A tabela a seguir contém os dados sobre a população do México no início da década de Ano População (milhões) Incrementos (milhões) ,38 1,75 69,13-67, ,13 1,80 70,93-69, ,93 1, ,77 1, ,66 1, ,60 1, ,59 ---
24 Mais sobre funções: lineares, exponenciais e logarítmicas Ano População (milhões) Incrementos (milhões) ,38 1,75 69,13-67, ,13 1,80 70,93-69, ,93 1, ,77 1, ,66 1, ,60 1, , Se a população estivesse crescendo linearmente, todos os números na 3ª coluna (incrementos) seriam iguais. No entanto, populações habitualmente crescem mais rápido à medida que vão se tornando maiores. Quando dividimos a população de cada ano pela população do ano anterior, obtemos: Pop ,13 1,026 Pop ,38 Pop ,93 1,026 Pop ,13 Pop ,77 1,026 Pop ,93
25 Ano Mais sobre funções: lineares, exponenciais e logarítmicas População (milhões) Incrementos (milhões) ,38 1, ,13 1, ,93 1, ,77 1, ,66 1, ,60 1, , O fato das contas fornecerem o fator 1,026 constante mostra que a população cresce aproximadamente 2,6% entre os anos. Quando este fator é constante dizemos que o crescimento populacional é exponencial e pode ser descrito por uma função do tipo: P P a em que: P 0 é o tamanho populacional inicial (x=0); a é a base da função exponencial (fator segundo a qual a população cresce quando o x cresce uma unidade; a=1,026) e x é o número de anos a partir do início das medidas (x=1 1981, já que x=0 1980). 0 x
26 Mais sobre funções: lineares, exponenciais e logarítmicas a Ano População (milhões) Incrementos (milhões) ,38 1, ,13 1, ,93 1, ,77 1, ,66 1, ,60 1, , r a 10, 026 O fato das contas fornecerem o fator 1,026 constante mostra que a população cresce aproximadamente 2,6% entre os anos. O fator a=1,026 é dado por: a 1r r é a representação decimal da taxa de variação percentual. Se r>0 temos crescimento exponencial Se r<0 temos decrescimento exponencial.
27 Ano Mais sobre funções: lineares, exponenciais e logarítmicas População (milhões) Incrementos (milhões) ,38 1, ,13 1, ,93 1, ,77 1, ,66 1, ,60 1, , No exemplo, temos: P P a P 67,38(1,026) x 0 (Pop.1980) x 0 P 67,38(1,026) 67,38 1 (Pop.1981) x1 P 67,38(1,026) 69,13 2 (Pop.1982) x 2 P 67,38(1,026) 70,93 50 (Pop.2030) x 50 P 67,38(1,026) 243,16 0 x
28 Mais sobre funções: lineares, exponenciais e logarítmicas Ano População (milhões) Incrementos (milhões) ,38 1,75 69,13-67, ,13 1,80 70,93-69, ,93 1, ,77 1, ,66 1, ,60 1, , Se a população estivesse crescendo linearmente, todos os números na 3ª coluna (incrementos) seriam iguais. A função de crescimento seria dada por: P P mx 0 Em que: P 0 é o tamanho populacional inicial (x=0); m é a taxa de variação populacional (coeficiente angular=inclinação da reta); x é o número de anos a partir do início das medidas.
29 Mais sobre funções: lineares, exponenciais e logarítmicas População fictícia Ano População (milhões) Incrementos (milhões) ,10 5,20 55,30-50, ,30 5,20 60,50-55, ,50 5,20 65,70-60, ,70 5,20 70,90-65, , Se a população estivesse crescendo linearmente, todos os números na 3ª coluna (incrementos) seriam iguais. A função de crescimento seria dada por: P P mx 0 Em que: P0 é o tamanho populacional inicial (x=0); m é a taxa de variação populacional (coeficiente angular=inclinação da reta); x é o número de anos a partir do início das medidas.
30 Mais sobre funções: lineares, exponenciais e logarítmicas População fictícia Ano População (milhões) Incrementos (milhões) ,10 5,20 55,30-50, ,30 5,20 60,50-55, ,50 5,20 65,70-60, ,70 5,20 70,90-65, , Se a população estivesse crescendo linearmente, todos os números na 3ª coluna (incrementos) seriam iguais. A função de crescimento seria dada por: P P mx P 0 50,10 5, 2x
31 Mais sobre funções: lineares, exponenciais e logarítmicas População fictícia Ano População (milhões) Incrementos (milhões) ,10 5,20 55,30-50, ,30 5,20 60,50-55, ,50 5,20 65,70-60, ,70 5,20 70,90-65, , Admitindo que esse comportamento possa ser extrapolado ao longo dos anos, qual seria o tamanho dessa população nos dias de hoje? Se a população estivesse crescendo linearmente, todos os números na 3ª coluna (incrementos) seriam iguais. A função de crescimento seria dada por: P P mx P 0 50,10 5, 2x
32 Mais sobre funções: lineares, exponenciais e logarítmicas População fictícia Ano População (milhões) Incrementos (milhões) ,10 5,20 55,30-50, ,30 5,20 60,50-55, ,50 5,20 65,70-60, ,70 5,20 70,90-65, , Admitindo que esse comportamento possa ser extrapolado ao longo dos anos, qual seria o tamanho dessa população nos dias de hoje? Se a população estivesse crescendo linearmente, todos os números na 3ª coluna (incrementos) seriam iguais. A função de crescimento seria dada por: P P mx P P 0 50,10 5, 2(37) 242,5 milhões
33 Mais sobre funções: lineares, exponenciais e logarítmicas Vimos que a população do México (em milhões de habitantes) foi aproximada pela função P=67,38(1,026) x, em que x é o número de anos desde Suponha agora que, em vez de calcular a população no instante x, desejamos saber quando a população atingirá 200 milhões de habitantes, ou seja, queremos encontrar o valor de x tal que, 200=67,38(1,026) x Vimos que a função logarítmica é a inversa da função exponencial. Logo, para obter x temos que usar as propriedades da função log (ou ln).
34 Mais sobre funções: lineares, exponenciais e logarítmicas Propriedades da função log (ou ln): ln AB ln A ln B A ln ln A ln B ln ln e e B A B ln A ln x x x x B
35 Mais sobre funções: lineares, exponenciais e logarítmicas Propriedades da função log (ou ln): ln AB ln A ln B A ln ln A ln B ln ln e e B A B ln A ln x x x x B ,38 1,026 x 200 x 1,026 67, ln ln 1,026 67,38 1,0879 xln 1,026 1, , 0257x x 42 anos Em 2022 ( ) a população do México será de aproximadamente 200 milhões de habitantes. x
36 Mais sobre funções: lineares, exponenciais e logarítmicas Propriedades da função log (ou ln): ln AB ln A ln B A ln ln A ln B ln ln e e B A B ln A ln x x x x B Vamos supor que um país seja classificado como populoso quando ele ultrapassa a marca de 100 milhões de habitantes? Quando foi (ou será) essa festa de arromba no México?
37 Mais sobre funções: lineares, exponenciais e logarítmicas Propriedades da função log (ou ln): ln AB ln A ln B A ln ln A ln B ln ln e e B A B ln A ln x x x x B Vamos supor que um país seja classificado como populoso quando ele ultrapassa a marca de 100 milhões de habitantes? Quando foi (ou será) essa festa de arromba no México? Perdemos! A festa foi em 1996.
38 Mais sobre funções: lineares, exponenciais e logarítmicas Uma função exponencial com base a tem a fórmula P=P 0 a x. Qualquer que seja o número positivo a (vimos que 0 < a 1), podemos escrever como: onde: a Portanto, a função exponencial pode ser escrita como, e k k ln( a) ln( e ) ln( a) P P a P e P e k x k kx x
39 Mais sobre funções: lineares, exponenciais e logarítmicas Portanto, a função exponencial pode ser escrita como, P P a P e P e x k kx x Se a>1 a função é crescente k é positivo Se 0<a<1 a função é decrescente k é negativo K é chamada de taxa de crescimento (ou decrescimento) contínua. No exemplo (México) escrever a função na forma: P P e 0 kx
40 Mais sobre funções: lineares, exponenciais e logarítmicas No exemplo (México), temos: Como P0 67,38 P 67,38(1,026) x Desejamos calcular k tal que, 67,38(1,026) 67,38( e ) x k x k 1,026 e k ln(1,026) ln( e ) k 0,0257 P 67,38e 0,0257 x
41 Mais sobre funções: lineares, exponenciais e logarítmicas No exemplo (México), temos: P 67,38(1,026) x P 67,38e 0,0257 x Equação 1 Equação 2 Portanto, a taxa de crescimento anual (por unidade de tempo) de 2,6% (da equação 1, r=0,026) é equivalente à taxa de crescimento contínua de 2,57% (da equação 2).
42 Exercício Mais sobre funções: lineares, exponenciais e logarítmicas A população de uma cidade é de habitantes e cresce 5% ao ano a) Encontre uma equação para descrever o crescimento populacional no instante t anos a partir de ano atual (2017), supondo que a taxa de 5% seja i. Taxa anual ii. Taxa anual contínua b) Para cada um dos casos do item a dê uma estimativa da população da cidade daqui a 10 anos; c) Quando a população dessa cidade atingirá a marca de 10 mil habitantes?
43 Resolução A) i) P = P 0 a x = ,05 x ii) P = P 0 e kx = 1.000e 0,05x B) i) P = ,05 10 = ii) P = 1.000e 0,05(10) = C) Usando ii) P = 1.000e 0,05x = 1.000e 0,05x x = 46 Em =2063 a população atingirá a marca de hab.
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