Escola Secundária Poeta António Aleixo

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1 Escola Secundária Poeta António Aleixo 6.º Teste de Matemática A.º Ano ª Parte Para cada uma das sete questões desta primeira parte, seleccione a resposta correcta de entre as quatro alternativas que são apresentadas e escreva na sua folha de teste a letra que lhe corresponde. Não apresente cálculos. Se indicar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a resposta for ambígua ou se a letra transcrita for ilegível.. Na figura está representada graficamente uma função f, de domínio A recta s, que contém os pontos,0 e 0,, é assimptota do gráfico de f. Indique o valor de lim f x x x f x x. (A) 0 (B) (C) (D). Observe a representação gráfica da função g. Qual das seguintes expressões representa um número positivo? '' (A) g a. g b (B) b. a a b ' ' ' ' (C) g a. g b (D) g b. g a Departamento da Matemática e das Ciências Experimentais - -

2 . Considere a função de domínio definida por: 5x e se x 0 x f x se x 0 xln x se x 0 x Relativamente à continuidade da função f no ponto de abcissa 0 podemos afirmar que: (A) É contínua. (B) É contínua à esquerda e descontínua à direita. (C) É contínua à direita e descontínua à esquerda. (D) É descontínua à esquerda e à direita. 4. Na figura ao lado estão representados, no plano complexo, os pontos M, P e V. o ponto O é o ponto médio do segmento de recta PV o ponto M pertence à circunferência de centro em O e diâmetro PV MV = MP Sejam z, w e t os três números complexos cujas imagens geométricas, no plano complexo, são os vértices do triângulo MPV. t = iw z = w Indique qual das afirmações seguintes é verdadeira: (A) M é a imagem geométrica de w (B) M é a imagem geométrica de t (C) P é a imagem geométrica de w (D) P é a imagem geométrica de t Departamento da Matemática e das Ciências Experimentais - -

3 5. Os números complexos z cis 7 e z cis são duas raízes de índice n de um mesmo número complexo w. As suas imagens geométricas são vértices consecutivos do polígono cujos vértices são imagens das raízes de índice n desse número w. Então, w é igual a: (A) 4 4cis (B) 6cis (C) 6cis (D) 5 cis 6.ª Parte Nas questões desta segunda parte apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Sempre que não se indicar a precisão pretendida no resultado, deve indicar o valor exacto.. Considere a função f, de domínio, definida por f x ln( x) x. Sem recorrer à calculadora gráfica, resolva as alíneas seguintes:.. Mostre que a equação f x 9 tem pelo menos uma solução no intervalo ], 5[... Estude a função f, quanto à existência de assimptotas do seu gráfico.. O lançamento de água residual num rio provoca uma diminuição gradual da quantidade de oxigénio dissolvido na água. Essa diminuição ocorre até um determinado instante em que o rio começa a recuperar, altura em que a quantidade de oxigénio começa a aumentar, aproximando-se dos valores habituais. Num dado rio em que foi feita uma descarga de água residual, a quantidade de oxigénio dissolvido na água é dada por: 0,t O t 6, 4t.e,t 0 O representa a quantidade de oxigénio dissolvido na água em miligramas por litro (mg/l) e t é o tempo, em dias, decorrido desde a descarga de água residual... Determine a quantidade de oxigénio dissolvido na água, no instante em que foi efectuada a descarga. Departamento da Matemática e das Ciências Experimentais - -

4 .. Recorrendo a cálculos exclusivamente analíticos, determine ao fim de quantos dias após a descarga, se inicia a recuperação da quantidade de oxigénio dissolvido na água. Apresente o resultado em dias, arredondado às unidades... Utilize a calculadora gráfica para resolver o seguinte problema: Durante quanto tempo é que a quantidade de oxigénio dissolvido na água do rio é inferior a mg / l? Explique como procedeu, apresentando todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s) e as coordenadas relevantes de alguns pontos, arredondadas às centésimas. Apresente o resultado em dias e horas, com horas arredondadas às unidades.. Na figura ao lado está representado o círculo trigonométrico. O segmento de recta AC é um diâmetro do círculo e está contido no eixo das abcissas; O segmento de recta OB é um raio do círculo e está contido no eixo das ordenadas. Considere que um ponto P se desloca ao longo do arco AB e que um ponto Q se desloca ao longo do arco BC, de tal forma que PQ é sempre paralelo a AC. Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo AOP ( x 0, π )... Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de x, por: A x = sen x + sen(x).. Determine A π e interpreta geometricamente o resultado obtido... Recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto, determine A 0. Departamento da Matemática e das Ciências Experimentais - 4 -

5 4. Considere os números complexos i5i w i e z i w. i 4.. Determine 4 e apresente o resultado na forma trigonométrica. 4.. No plano complexo, sejam A e B as imagens geométricas de z e de z z. i 47, respectivamente e O a origem do referencial. Determine o perímetro do triângulo BOA. Cotações ª Parte Resposta certa... 0 pontos Resposta errada...0 pontos Questão não respondida ou anulada pontos ª parte N.º da questão Cotação FIM Departamento da Matemática e das Ciências Experimentais - 5 -