Introdução aos Métodos Numéricos
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- Malu da Silva Furtado
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1 Introdução aos Métodos Numéricos Instituto de Computação UFF Departamento de Ciência da Computação Otton Teixeira da Silveira Filho
2 Conteúdo Erros e Aproximações Numéricas Sistemas de Equações Lineares. Métodos diretos Interpolação Ajuste de Curvas Zeros de Função Sistemas de Equações Lineares. Métodos Iterativos Integração Numérica Introdução à Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias
3 Conteúdo Zeros de Função
4 Zeros de função Suponha que, por algum motivo, necessitamos de determinar onde uma função se anula f (x)=0
5 Zeros de função Parece que a solução é simples: basta achar a função inversa da função e a calcular em zero x=f 1 (0) Pena que achar a inversa de uma função não seja uma coisa simples em geral Sem contar que podemos ter a função anulando em mais de um ponto, como na figura que mostramos...
6 Zeros de função Mas em que situações necessitaríamos determinar os pontos uma função se anula? Determinação de máximos de funções Apresentação realística de contato entre objetos em computação gráfica (animações, etc.) Determinação de níveis de energia em simulações Etc.
7 Zeros de função Existe um conjunto de funções das quais sabemos algo sobre o ponto no qual elas se anulam como os polinômios. Se um polinômio de grau n sabemos que terá n pontos onde se anulará, seja no eixo real ou no plano complexo Problemas...
8 Zeros de função Sabemos fórmulas algébricas para polinômios de grau até 4. Deste grau para cima é demonstrável que não existem fórmulas algébricas para o caso geral, apenas para casos particulares. Usar o recurso de dividir polinômios é numericamente instável...
9 Zeros de função Mas e para estas equações? e x 3 cos x=0 ;cos x sen 2 x+ 3 x 2 =0 ; 0 Existem pontos onde se anulam? Se tem, quantos? Como achar estes pontos? sent t dt x+1=0
10 Zeros de função Diremos que determinar onde funções se anulam é determinarmos os zeros destas funções O termo raízes é mais adequado aos pontos onde polinômios se anulam
11 Zeros de função Mudaremos a visão do problema No lugar de termos um problema com n zeros, vamos transformar este problema em n problemas de um zero a determinar Faremos isto isolando cada zero num determinado intervalo que o contém...
12 Zeros de função...como na figura abaixo
13 Zeros de função Escolhamos um zero Como sabemos que há um zero no intervalo (A,B)? Se a função f(x) for diferenciável no intervalo então f ( A)f (B)<0
14 Zeros de função Esta observação nos dá a dica para o nosso primeiro método genérico de determinação de zeros de função
15 Zeros de função Apresentaremos um método da categoria de Métodos de Partição, ou seja, métodos que sucessivamente obtém subintervalos que contém a solução do problema
16 Método da bissecção Este método começa por acharmos o ponto médio do intervalo, ou seja, X= A+B 2
17 Método da bissecção Como o zero se encontra entre A e B, temos que este zero se encontra no intervalo (A,X] ou no intervalo [X,B). Usaremos o teste Se Se f ( A)f ( X )<0 ; R ( A, X ) f ( A)f ( X )>0 ; R ( X,B)
18 Método da bissecção Feito isto faremos Se f ( A)f ( X )<0 ; R ( A, X ); B X Se f ( A)f ( X )>0 ; R ( X, B); A X Novamente calculamos X= A+B 2 para o novo A ou B. A figura ficará...
19 Método da bissecção Novamente faremos o teste com uma pequena modificação
20 Método da bissecção Se f ( A)f ( X )<0 ; R ( A, X ); B X f ( A)f ( X )>0 ; R ( X, B); A X f ( A)f ( X )=0; R=A ou R=X Isto é necessário pois não temos como prever o comportamento da função em X
21 Método da bissecção Calculando X= A+B 2
22 Método da bissecção Resumo do que fizemos
23 Método da bissecção Seja f(x) diferenciável em [A, B]. Tenhamos f(a) I) Calcule II) Se X= A+B 2 e f ( X) f ( A) f ( X )<0 ; R ( A, X ); B X f ( A) f ( X )>0 ; R ( X, B); A X f ( A)f ( X)=0 ; R=A ou R=X III) Se o critério de parada não for satisfeito, retorne a I
24 Método da bissecção No momento não abordaremos o critério de parada
25 Método da bissecção Um exemplo Determine aproximações para o ponto onde a função abaixo se anula no semi-eixo positivo. e x 3 cos x Isto significa que queremos resolver a equação abaixo e x 3 cos x=0
26 Zeros de função O primeiro obstáculo é localizar o zero dentro de um intervalo. Isto pode ser feito por Um estudo da natureza do problema Um estudo exploratório O estudo da natureza do problema é o melhor e exige boa compreenção do que estamos fazendo
27 Zeros de função Aqui olharemos para o problema como a intersecção entre duas curvas, ou seja, e x 3 cos x=0 e x =3 cos x e conhecemos bem estas duas funções. Já que é assim, façamos um esboço destas duas funções no semi-eixo positivo, lembrando que cosseno atinge o primeiro valor zero em π/2
28 Zeros de função Esboço do ponto de intersecção e x =3 cos x É fácil de perceber que existe um ponto entre 0 e 1 na qual e x e sen(x) se intersectam, ou seja, a nossa função tem um zero em [0,1]
29 Zeros de função Verifiquemos... f (x)=e x 3 cos x f (0)=e 0 3 cos 0=1 3= 2 f (1)=e 1 3 cos1=2, ,540302=1, Temos a confirmação que há um zero neste intervalo Apliquemos o Método da Bissecção fazendo A=0, B=1
30 Método da bissecção Um exemplo X= A+B 2 = = 1 2 f (X )=f ( 1 ) 2 =e1/2 3 cos 1 2 = 0, f ( A)f ( X )>0 ; A X f (x)=e x 3 cos x f ( A)= 2 Agora A= 1 2 e f ( A)= 0, continuando...
31 Método da bissecção Um exemplo X= A+B 2 =1/2+1 = f (X )=f ( 3 ) 4 =e3/ 4 3 cos 3 4 = 0, f ( A)f ( X )>0 ; A X f (x)=e x 3 cos x f ( A)= 0, Agora A= 3 4 e f ( A)= 0, continuando...
32 Método da bissecção Um exemplo X= A+B 2 = 3/ = 7 8 =0,875 f (X )=f ( 7 ) 8 =e7 /8 3 cos 7 8 =0, f ( A)f ( X )<0 ; B X f (x)=e x 3 cos x f ( A)= 0, Agora B= 7 8 e f (B)=0, continuando...
33 Método da bissecção Um exemplo X= A+B 2 = 3/ 4+7/8 2 = =0,8125 f (X )=f ( 13 ) 16 =e13/16 3 cos =0, f ( A)f ( X )<0 ; B X f (x)=e x 3 cos x f ( A)= 0, Agora B= paremos por aqui...
34 Método da bissecção Um exemplo Resumindo temos a seguinte progressão R [0,1] R [ 1 2,1 ] R [ 3 4, 1 ] R [ 3 4, 7 ] 8 R [ 3 4, 13 ] 16 ou na última avaliação R [0,75;0,8125] Temos uma progressão mas como ela se dá? Quando parar?
35 Método da bissecção Acredito que seja fácil de perceber que o intervalo que contém o zero decresce para metade de sua amplitude a cada passo, ou seja, L n = B A 2 n
36 Método da bissecção Acredito que seja fácil de perceber que o intervalo que contém o zero decresce para metade de sua amplitude a cada passo, ou seja, L n = B A 2 n onde B e A são os valores iniciais. Isto nos dá um critério de parada.
37 Método da bissecção Vamos supor que desejamos parar quando o intervalo que contém R for de tamanho tol. Assim, tol= B A 2 n = B A ( n=log 2 n tol 2 B A ) tol Com isto, sabemos quantos passos do método teremos que executar para obtermos o resultado que desejamos
38 Método da bissecção Se no nosso exemplo desejássemos que tol fosse um milésimo do intervalo original, teríamos n=log 2 ( B A ) tol =log ( 1 0 ) 2 0,001 =log 2(1000) 10 Este método não parece tão ruim assim. Mas é lento...
39 Método da bissecção Um exemplo O método da bissecção não leva em consideração o valor das funções, somente os sinais. Abaixo temos alguns valores numéricos calculados durante o uso do algoritmo f (0)= 2;f (1)=1, ; f ( 1 2 ) = 0, f ( 3 4 ) = 0, ; f ( 7 8 ) =0, ;f ( ) =0, o valor em ¾ parece próximo da solução......e o método não viu...
40 Zeros de função A questão agora é como termos um método que leve em consideração o valor da função Retornemos um pouco ao que já foi apresentado: Determinar o zero da função é equivalente a determinar a função inversa da função e daí R=f 1 (0) O problema é que achar a inversa não é fácil...
41 Zeros de função Mas porque não achamos uma função aproximada a nossa f(x) e que seja fácil de achar a função inversa? Não teremos a solução exata mas teremos uma solução aproximada e, esperamos, válida Uma possibilidade você conhece...
42 Zeros de função Um polinômio interpolador... X será a aproximação do zero de função Determinemos X
43 Zeros de função Podemos escolher qualquer técnica para determinar o polinômio interpolador. Aqui usaremos Newton-Gregory Temos os pontos (A, f(a)) e (B, f(b)) logo p 1 (x)= p 0 (x)+ y 1 y 0 x 1 x 0 ( x x 0 )=f ( A)+ f (B) f ( A) B A ( x A ) Mas não queremos o polinômio mas onde ele se anula
44 Zeros de função Assim, ou ou ainda daí ( X A )= f ( A) X= A+ p 1 ( X)=f ( A)+ Af ( A) B f ( A) f (B) f ( A) f (B) f ( A) B A ( X A )=0 B A A B X= A+f ( A) f (B) f ( A) X= X= f (B) f ( A) Af (B) Af ( A)+ Af ( A) B f ( A) f (B) f ( A) Af (B) B f ( A) f (B) f ( A)
45 Zeros de função Observe que podemos impor desta maneira uma partição da região onde se encontra o zero da função Usaremos o mesmo algoritmo do método de bissecção só que aqui trabalharemos com esta nova maneira de particionar que leva em consideração valores de f(x) A este método denominaremos Método Regula-Falsi
46 Regula-falsi Método Regula-Falsi Seja f(x) diferenciável em [A, B]. Tenhamos f(a) e f(b) I) Calcule II) Se X= Af (B) B f ( A) f (B) f ( A) e f (X ) f ( A) f ( X )<0 ; R ( A, X ); B X f ( A) f ( X )>0 ; R ( X, B); A X f ( A)f ( X)=0 ; R=A ou R=X III) Se o critério de parada não for satisfeito, retorne a I
47 Zeros de função Mais uma vez adiaremos a discussão sobre o critério de parada. Nos concentremos no algoritmo.
48 Regula-falsi Aplicando o algoritmo temos que f(a)f(x)<0 e B toma o valor de X. Calculando um novo X teremos
49 Regula-falsi Veja que o novo valor para X está mais próximo de R
50 Regula-falsi Este método fornece não só o valor da função f(x) como também a informação aproximada da derivada da função no intervalo onde se encontra R dada pela declividade do polinômio que interpola os extremos do intervalo A intuição nos diz que este método deve ser melhor que a bissecção...
51 Regula-falsi Resolvamos o mesmo exemplo anterior mas sem critério de parada
52 Regula-falsi Determine aproximações para o ponto onde a função abaixo se anula no semi-eixo positivo. Já sabemos que que e x 3 cos x R [0,1] e escolheremos A=0, B=1 e temos f ( A)= 2; f (B)=1,097374
53 Regula-falsi f ( A)= 2; f (B)=1, X= A f (B) B f ( A) f (B) f ( A) = 0 1, ( 2) =0, , ( 2) f (0,645708)= 0, f ( A)f (X )>0; R (X, B); A X e agora teremos A=0, e f ( A)= 0, assim...
54 Regula-falsi A=0, ; f ( A)= 0, X= A f (B) B f ( A) f (B) f ( A) = 0, , ( 0,488684) =0, , ( 0,488684) f (0,754869)= 0, f ( A)f (X )>0; R (X, B); A X e agora teremos A=0, e f ( A)= 0, assim...
55 Regula-falsi A=0, ; f ( A)= 0, X= A f (B) B f ( A) f (B) f ( A) = 0, , ( 0,057751) =0, , ( 0,057751) f (0,767124)= 6, f ( A)f (X )>0; R (X, B); A X e agora teremos A=0, e f ( A)= 6, assim...
56 Regula-falsi A=0, ;f ( A)= 0, X= A f (B) B f ( A) f (B) f ( A) = 0, , ( 0,006165) =0, , ( 0,006165) f (0,768424)= 6, f ( A)f (X )>0; R (X, B); A X e agora teremos A=0, e f ( A)= 6, Paremos...
57 Regula-falsi Façamos um resumo do que obtemos f (0,645708)= 0, ;f (0,754869)= 0, f (0,767124)= 6, ;f (0,768424)= 6, Repare que tanto o valor de X muda cada vez menos quanto o valor de f(x) se aproxima de zero
58 Regula-falsi Observe que X toma valores que cada vez mais aproximam do ponto onde a função f(x) se anula Mais do que o fator de corte do intervalo, este valor nos dá sucessivas aproximações de R Temos de pensar em quando parar...
59 Critérios de parada Naturalmente aparecem dois critérios de parada avaliando os valores obtidos para X avaliando o valor de f(x)
60 Critérios de parada Critérios de parada: avaliando os valores obtidos para X Seja tol x o valor o qual desejamos para a precisão da determinação de R. Então pararemos quando o módulo da diferença entre dois valores sucessivos de X dividido por um destes valores for menor que tol x, ou seja, tol x < X i+1 X i X i ou tol x < X i+1 X i X i+1 A alternativa é para evitar um valor nulo no divisor
61 Critérios de parada Critérios de parada: avaliando o valor de f(x) Seja tol f o valor o qual desejamos para a precisão da determinação de R. Então pararemos quando o valor de f(x) for menor que tol f, ou seja, tol f <f ( X i )
62 Critérios de parada O mais rigoroso é a utilização conjunta destes dois critérios Estes critérios são usados em outros métodos de determinação de zeros de função que se seguirão
63 Regula-falsi Outro exemplo Determine uma aproximação para o zero da função abaixo que se encontra no intervalo [1,2]. Use tol x <10 3 x 4 + x 10
64 Regula-falsi Outro exemplo f (x)=x 4 +x 10 Calculemos a função nos extremos do intervalo f ( A)=f (1)= = 8 ; f (B)=f (2)= =8 Temos a confirmação da existência do zero e os valores necessários para iniciar o algoritmo
65 Regula-falsi Outro exemplo f ( A)= 8 ;f (B)=8 X= A f (B) B f ( A) f (B) f ( A) = ( 8) = 3 8 ( 8) 2 =1,5 f ( 3 2 ) = = 3,4375 f ( A)f (X )>0; R (X, B); A X e agora teremos A= 3 2 e f ( A)= 3,4375 assim...
66 Regula-falsi Outro exemplo A= 3 2 ;f ( A)= 3,4375 X= A f (B) B f ( A) f (B) f ( A) = 3/2 8 2 ( 3,4375) = ( 3,4375) 183 =1, f ( ) = 0, f ( A)f (X )>0; R (X, B); A X e agora teremos A=1, Testemos o critério de parada e f ( A)= 0,932809
67 Regula-falsi Outro exemplo Usando os dois últimos valores obtidos para X teremos X 2 X 1 X 1 = 1, ,5 0, ,5 Continuemos
68 Regula-falsi Outro exemplo A=1, ;f ( A)= 0, X= A f (B) B f ( A) f (B) f ( A) f (1, )= 0, f ( A)f (X )>0; R (X, B); A X e agora teremos = 1, ( 0,932809) =1, ( 0,932809) A=1, Testemos o critério de parada e f ( A)= 0,217632
69 Regula-falsi Outro exemplo Usando os dois últimos valores obtidos para X teremos X 3 X 2 X 2 = 1, , ,0228 1, Ainda não podemos parar mas o erro caiu quase cinco vezes num passo. Continuemos
70 Regula-falsi Outro exemplo A=1, ;f ( A)= 0, X= A f (B) B f ( A) f (B) f ( A) f (1, )= 0, f ( A)f (X )>0; R (X, B); A X e agora teremos = 1, ( 0,217632) =1, ( 0,217632) A=1, Testemos novamente o critério de parada e f ( A)= 0,048918
71 Regula-falsi Outro exemplo Usando os dois últimos valores obtidos para X teremos X 4 X 3 X 3 = 1, , ,0048 1, O valor ainda é mais de quatro vezes o valor desejado. Continuemos
72 Regula-falsi Outro exemplo A=1,695088;f ( A)= 0, X= A f (B) B f ( A) f (B) f ( A) f (1, )= 0, f ( A)f (X )>0; R (X, B); A X e agora teremos = 1, ( 0,048918) =1, ( 0,048918) A=1, Testemos mais uma vez o critério de parada e f ( A)= 0,010902
73 Regula-falsi Outro exemplo Usando os dois últimos valores obtidos para X teremos X 5 X 4 X 4 = 1, , , , Foi quase! Continuemos
74 Regula-falsi Outro exemplo A=1,696941; f ( A)= 0, X= A f (B) B f ( A) f (B) f ( A) f (1, )= 0, f ( A)f (X )>0; R (X, B); A X e agora teremos = 1, ( 0,010902) =1, ( 0,010902) A=1, Testemos (esperamos) pela última vez... e f ( A)= 0,002425
75 Regula-falsi Outro exemplo Usando os dois últimos valores obtidos para X teremos X 6 X 5 X 5 = 1, , , , Critério de parada satisfeito...
76 Zeros de função Mas observe que os métodos de partição são um tanto enrolados pois precisamos de fazer testes. Nos exemplos dados temos funções que são de comportamento monótono nos intervalos dados mas isto pode se complicar Além disso, temos quais garantias que os métodos funcionariam sempre? Vamos partir para outra categoria de métodos
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