Raízes de Equações métodos delimitados. qual o problema? equações não lineares/raízes

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1 Raízes de Equações métodos delimitados Aula 5 (16/0/07) Métodos Numéricos Aplicados à Engenharia Licenciatura em Engenharia Alimentar Escola Superior Agrária de Coimbra qual o problema? Podemos calcular facilmente as raízes (zeros) de algumas equações b ax + b = 0 x = ax + bx + c = 0 x = a bm b 4ac a Mas há casos em que o cálculo não é tão fácil 5 ax + bx 4 + cx + dx sin x + x = 0 x =? + ex + f = 0 x =? equações não lineares/raízes Métodos de Resolução de equações não lineares Delimitados pontos Gráficos Abertos 1 ponto Bissecção Falsa Posição (Regula-Falsi) Métodos iterativos Newton Raphson Secante 1

2 Na primeira aula gm v( t) = c métodos gráficos ( c / t ( e m ) 1 ) Qual o valor do coeficiente de arrasto (c) se um pára-quedista de 68,1 kg atingir uma velocidade de 40 m/s após 10 s em queda livre? 9,8 68,1 ( c/ 68,1)10 f ( c) = ( 1 e ) 40 c presença/ausência de raízes num dado intervalo f( ) e f( ) com o mesmo sinal Não há raízes no intervalo Excepções. f( ) e f( ) com sinais diferentes 1 raiz no intervalo Raiz múltipla f( ) e f( ) com o mesmo sinal Número par de raízes no intervalo Função descontínua f( ) e f( ) com sinais diferentes Número impar de raízes no intervalo métodos gráficos f(x)= sen (10 x) + cos x Quantas raízes no intervalo [0,5]? 14 Raiz Dupla? 15! Duas Raízes distintas!

3 método das bissecções Para uma dada equação com uma variável f(x)=0 1- Escolher e de modo a que delimitem a raiz que queremos determinar Verificar se f( ). f( )<0 - Obter uma estimativa da raiz xl + xu xr = - Onde está a raiz? Se f( ). f( )<0 então a raiz está no intervalo inferior Fazer = e voltar ao passo Se f( ). f( )>0 então a raiz está no intervalo superior Fazer = e voltar ao passo Se f( ). f( )=0 então é a raiz Terminar os cálculos bissecções quando paramos? Poderíamos parar quando o erro (verdadeiro) fosse inferior a um dada valor (ou percentagem). Mas para isso teríamos de conhecer à partida o valor da raiz E nesse caso não seria necessário a sua procura! Necessitamos de uma estimativa de erro que não seja dependente do conhecimento da raiz Voltando à 1ª aula Erro aproximado Aproximação presentea Aproximação anterior ε = 100% ε = 100% a Aproximação Aproximação presente Aproximação presente- Aproximação anterior ε = 100% a Aproximação presente a novo antigo r - xr novo xr x ε = 100% < ε s Critério de paragem (STOP)

4 Calcular raiz quadrada de 7 Calcular a raiz positiva de. f x ( ) = x 7 Iter 0 f( ) -,00 f( ),00,5000 f( ) -0,75 ε a ε t 5,51% 1,5-0,75,00,7500 0,565 9,09%,94%,5,75-0,75 0,565,650-0,1094 4,76% 0,78%,650,75-0,1094 0,565,6875 0,7,% 1,58% 4,650,6875-0,1094 0,7,656 0,0557 1,18% 0,40% 5,650,656-0,1094 0,0557,6406-0,071 0,59% 0,19% 6,6406,656-0,071 0,0557,6484 0,014 0,9% 0,10% 7,6406,6484-0,071 0,014,6445-0,0065 0,15% 0,05% 8,6445,6484-0,0065 0,014,6465 0,009 0,07% 0,0% erro 0,1 aproxim ado verdadeiro ε a acompanha ε t 0,01 ε a >ε t Erro Relativo (%) 0,001 0, Iteracções erros O erro verdadeiro nunca é maior que metade do intervalo! Uma estimativa do erro verdadeiro pode ser calculada pela diferença entre iteracões. 4

5 número de iterações para um dado erro Largura do 1º intervalo L 0 = - Após a 1ª iteração L 1 =L 0 / Após a ª iteração L =L 0 /4 Após k iteracções L k =L 0 / k O erro é menor que metade do intervalo! ε a,k =L 0 / k Se o erro desejado é ε a,d então k=log (L 0 / ε a,d ) bissecção bissecção (melhorado) 5

6 avaliação do método da bissecção Prós Fácil Encontra sempre uma raiz O número de interacções necessárias para se atingir um dado erro absoluto pode ser calculado à priori Contras Lento É necessário determinar um intervalo válido Raízes múltiplas Não toma em consideração os valores de f( ) e f( ) só os sinais! Se f( ) está mais perto de zero do que f( ) então será de esperar que a raiz esteja mais próxima de do que de falsa posição Aproximação linear Toma em conta o valor de f(x) Método da Bissecção só tomava em conta o sinal falsa posição f l 1- Escolher e de modo a que delimitem a raiz que queremos determinar Verificar se f( ). f( )<0 - Obter uma estimativa da raiz xl f ( xu ) xu f ( xl ) xr = f ( x ) f ( x ) u f ( xu )( xl xu ) xr = xu f ( x ) f ( x ) l l u formulações equivalentes f l f l f u f u - Onde está a raiz? Se f( ). f( )<0 então a raiz está no intervalo inferior Fazer = e voltar ao passo Se f( ). f( )>0 então a raiz está no intervalo superior Fazer = e voltar ao passo Se f( ). f( )=0 então é a raiz Terminar os cálculos f l f u f u 6

7 vantagens Converge sempre para uma raiz Tal como o método da bissecção Converge mais rapidamente! falsa posição. problemas Fig

8 à procura do intervalo inicial 8