Aula 3 Volumes Finitos

Transcrição

1 Universidade Federal do ABC Aula 3 Volumes Finitos EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional

2 Duas metodologias Leis de Conservação Integrais EDPs

3 O Método dos Volumes Finitos (MVF) Leis de Conservação Integrais O Método dos Volumes Finitos baseia-se nas Leis de Conservação Integrais. Uma lei de conservação é implementada através de uma distribuição de pequenos volumes de controle na malha computacional: Falta estabelecer como definir os volumes de controle tipo de aproximação no seu interior métodos numericos para o cálculo das integrais e fluxos

4 Definição dos volumes de controle MVF centrado nos vértices MVF centrado nas células 1D 2D OBS: podem ser usadas grades diferentes para variáveis diferentes.

5 Discretização de subproblemas locais Formulação para um único volume A lei de conservação integral deve ser satisfeita para cada VC e para todo o domínio. O sistema linear é obtido expressando-se a as integrais em termos de valores médios Integração numérica onde w i 0 são os pesos e x i são os nós da regra da quadratura. Estas fórmulas podem ser derivadas pela integral exata de um polinômio interpolador.

6 1D Regras de Newton-Cotes de quadraturas para intervalos Integral numérica pra quadriláteros/hexaedros Usa-se um mapeamento para um quadrado unitário e aplicam-se as regras de quadratura em cada coordenada.

7 2D Regras de Newton-Cotes de quadraturas para triangulos

8 3D Regras de Newton-Cotes de quadraturas para tetraedros

9 Técnicas de Interpolação Problema: as soluções são obtidas para os nós computacionais (vértices e centros dos VCs). Faz-se necessário aplicar interpolações para se obter os valores nos pontos de quadratura. Integrais de volume regra do ponto médio Integrais de superfície

10 Técnicas de Interpolação Aproximação de fluxos convectivos: Como definir os valores de interface

11 ESQUEMAS DE APROXIMAÇÃO DIFERENCIAL SOBRE VOLUMES FINITOS

12 Upwind difference approximation (UDS) Upstream" ou "upwind é uma escolha clássica para as equações de transporte, que pode ser entendida, do ponto de vista mecânico, como a escolha da "informação prévia" com relação à localização da borda s, comum entre dois volumes de controle. s u i u i+1 Sentido do cálculo

13 Upwind difference approximation (UDS)

14 Aproximação da diferença central ( Central Difference Scheme - CDS)

15 Linear upwind difference scheme (LUDS)

16 Quadratic upwind difference scheme (QUICK)

17 Cálculo de integrais de superfície Aproximação dos fluxos convectivos: qualquer esquema de volumes finitos de segunda ordem de é uma combinação linear de CDS e Aproximações LUDS (por exemplo,. sistemas de ordem alta podem ser facilmente obtidos por ajuste polinomial com base em p m (x), m> 2, mas vale a pena somente se a regra de quadratura corresponde à sua precisão. esquemas de alta ordem são preferíveis para produzir melhores resultados do que uma baixa ordem apenas assintoticamente ou seja, para malhas suficientemente refinadas. Aproximação de fluxos difusivos: inclinações de retas Diferença central de segunda ordem de exatidão

18 Discretização de problemas de transporte As equações de transporte dominadas por convecção (onde Pe >>1 ou Re >> 1) são, essencialmente hiperbólicas, o que pode dar origem a dificuldades numéricas.

19 Exemplo: a equação de convecção-difusão 1D desvio "smearing" oscilação "wiggles"

20 Equação de convecção-difusão discretizada Esquema de diferenças upwind Esquema de diferenças centrais Condições de contorno Sistema linear onde A é uma matriz, tridiagonal não simétrica com coeficientes constantes

21 Solução exata do esquema de diferenças

22 Comportamento numérico do esquema de diferenças

23 Avaliação do esquema de diferença central Critério: o esquema de diferença não produz oscilações se c 0 Sob esta condição, a matriz A é diagonalmente dominante. Além disso, A é um M-matriz, isto é, todas as entradas da sua inversa são nãonegativos. Esquema de diferença central esta condição é muito restritiva para Pe grande. wiggles ocorrem apenas nas vizinhança de gradientes. refinamento da malha local é útil em caso de Pe moderado.

24 Avaliação do esquema de diferença upwind Esquema de diferença upwind: c = -1 é negativo incondicionalmente série de Taylor: O erro de truncamento é O (Dx) para a equação original, mas O (Dx) 2 para a chamada equação modificada onde é o coeficiente de difusão numérica (artificial) O UDS não oscila, mas não é recomendado devido à sua baixa precisão.

25 Método dos volumes finitos (MVF) Origens: mecânica estrutural, cálculo das variações para condições de contorno elípticas. Problemas de Condições de Contorno Problemas de Minimização o funcional contém derivadas de ordem inferior soluções a partir de uma ampla classe de funções são admissíveis condições de contorno para domínios complexos podem ser facilmente manipulados às vezes não há funcional associado às condições de contorno originais Técnicas modernas: formulação via resíduos ponderados (forma fraca da EDP)

26 Teoria 1: minimização de problemas 1D

27 Condição necessária em um dos extremos arbitrária

28 Lemma de Du Bois Reymond

29 Exemplo: eq. Poisson 1D Restrições impostas à solução w = u do problema de minimização Euler-Lagrange condição de contorno essencial condição de fronteira natural Equação de Poisson: a solução minimiza o functional em (0, 1) cond. contorno Dirichlet cond. contorno Neumann

30 Exemplo: eq. Poisson 2D

31 Exemplo: eq. Poisson 2D

32 O Método de Rayleigh-Ritz

33 Exemplo: eq. Poisson 1D

34 Exemplo: má escolha das funções de base Considere a base polinomial A é conhecida como a matriz de Hilbert que é definida-positiva. Mas, é completa e não é bem organizada, de modo a que a solução é computacionalmente cara e corrompida por erros de arredondamento. Para A ser esparsa, as funções de base devem ter um suporte compacto.

35 Fundamento do Método dos Elementos Finitos O Método dos Elementos Finitos é uma abordagem sistemática para a geração de trechos de funções polinomiais de base com propriedades favoráveis. O domínio computacional W é subdividido em um número de subdomínios K, chamados de elementos: A triangulação Th é admissível se a intersecção de quaisquer dois elementos for um conjunto vazio ou um vértice/aresta/face da grade comum. O subespaço de elementos finitos V h é composto por trechos de funções polinomiais, tipicamente da forma Qualquer função v V h é unicamente determinada por um número finito de graus de liberdade (valores ou derivadas em certos pontos chamados de nós). Cada função de base j i representa exatamente um grau de liberdade e tem uma estrutura compacta: as matrizes resultantes são esparsas.

36 Aproximação via elementos finitos Um elemento finito é representado por uma tripla (K, P, S), onde K é um subconjunto fechado de W P é o espaço polinomial para as funções de forma S é o conjunto de graus de liberdade locais Funções de base possuem a propriedade Solução aproximada: os valores nodais u 1,..., u N pode ser calculada pelo método de Ritz desde que exista um problema de minimização equivalente.

37 Exemplo: eq. Poisson 1D Encontrar os valores nodais u 1,..., u N que minimizam o funcional Funções base locais para Solução aproximada para x e i contínua e linear por partes

38 Exemplo: eq. Poisson 1D O método de Ritz produz um sistema linear da forma Au = F, onde Estas integrais podem ser avaliada exatamente ou numericamente (usando uma regra de quadratura) Stiffness matrix e load vector para uma grade uniforme Este é o mesmo sistema linear como o obtido para o método de diferença finita!

39 Existência de um problema de minimização As condições suficientes para que uma EDP eliptica seja ma equação de Euler-Lagrange de um problema variacional são: O operador L deve ser linear. O operador L deve ser auto-adjunto (simétrico) O operador L deve ser definido positivo para todos os u,v admissíveis. Neste caso, a única solução u minimiza o funcional ao longo do conjunto de funções admissíveis. Condições de contorno não-homogêneas modificam este conjunto, podendo dar origem a outros termos do funcional a ser minimizado.

40 Exemplo: eq. Poisson 1D

41 Método dos Mínimos Quadrados corresponde a uma derivada do EDP inicial. requer condições de contorno adicionais e suavidade adicional. faz sentido reescrever uma EDP de alta ordem como um sistema de primeira ordem Vantagem: as matrizes de uma discretização pelo método dos mínimos quadrados são simétricos

42 Formulação via resíduos ponderados Ideia: tornar o resíduo ortogonal a um espaço de funções de teste. Seja a solução de O resíduo é zero se a sua projeção sobre cada função de teste for igual a zero. Funções de teste Formulação fraca: encontrar u V 0 tal que onde Integração por partes: é uma forma bilinear e

43 Discretização de elementos finitos

44 Exemplo: eq. Poisson 1D Problema de valor de contorno Formulação fraca Integração por partes Solução aproximada Problema contínuo Problema discreto Este é um sistema (esparso) linear da forma Au = F, onde (método de Galerkin) Os métodos de Galerkin e Ritz são equivalentes se existe o problema de minimização

45 Exemplo: eq. Poisson 2D

46 Exemplo: eq. Poisson 2D