Lista de Exercícios 3 e soluções

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1 Lista de Exercícios 3 e soluções MAT Cálculo Numérico Prof Dagoberto Adriano Rizzotto Justo 2 de Dezembro de 2006 Calcule a integral (a) A f dx = 0 (0) = = (b) A f 0 dx = 0 (0) = = 0 (c) A ( 2 f f ) dx = ( (0) = x dx (d) A (f 0+4f +f 2 ) 6 dx = (/+4 /6+/) 6 (0) = ; (e) /x 2 x= x= = ; 2 π 0 x2 dx n h A n E n = A n π/ π/ π/ π/ π/ π/ a ordem é aproximadamente p log(00808/00202)/log(2) 2 A regra de Simpson é exata para polinômios até ordem p = 3, portanto o valor da integral é exato usando essa quadratura 3 Seção A (A 0 f 0 + A f + A 2 f 2 ) dx = (0f 0 + 3/4f + /4f 2 ) = 3/4f(x ) + /4f(x 2 ) 5 Esse método é exato para polinômios até ordem p = 2, assim todas as integrais são aproximadamente 03354, a menos de um erro de ponto flutuante; 6 Dado o intervalo [a, b] = [0, ], p = 3 e os nós x 0 = 0, x = 3, x 2 = 2 3, x 3 = : (a) A (A 0 f 0 + A f + A 2 f 2 + A 3 f 3 ) dx = (/8f 0 + 3/8f + 3/8f 2 + /8f 3 ) ;

2 (b) (/8f 0 +3/8f +3/8f 2 +/8f 3 )dx+(/8f 3 +3/8f 4 +3/8f 5 +/8f 6 )dx+(/8f 6 +3/8f 7 + 3/8f 8 + /8f 9 )dx (/8f 0 + 3/8f + 3/8f 2 + 2/8f 3 + 3/8f 4 + 3/8f 5 + 2/8f 6 + 3/8f 7 + 3/8f 8 + /8f 9 )dx 7 É necessário somente fornecer a tabela f(x) Riem Trap Assim2 Simpson Gauss 2 nós Gauss 3 nós π O(ɛ) O(ɛ) O(ɛ) O(ɛ) O(ɛ) O(ɛ) 2x + 3 O(h) O(ɛ) O(ɛ) O(ɛ) O(ɛ) O(ɛ) 3x 2 + 2x + O(h) O(h 2 ) O(ɛ) O(ɛ) O(ɛ) O(ɛ) x 3 + O(h) O(h 2 ) O(h 3 ) O(ɛ) O(ɛ) t 4 et O(h) O(h 2 ) O(h 3 ) O(h 4 ) O(ɛ) t 2 +3t+ O(h) O(h 2 ) O(h 3 ) O(h 4 ) t + sin(t) O(h) O(h 2 ) O(h 3 ) O(h 4 ) x + x O(h) O(h 2 ) O(h 3 ) O(h 4 ) y O(h) O(h 2 ) O(h 3 ) O(h 4 ) ( ) Vimos que o método de Gauss com n nós é exato até polinômios de ordem p = 2n Caso for maior, não foi apresentado uma estimativa para o erro 8 Encontre n e h tal que o erro para calcular a integral Usando as estimativas para: x dx Riemann : T rapezio : Simpson : E(f, h) h (b a) max 6 f (x) a x b E(f, h) h2 (b a) max 2 f (x) a x b E(f, h) h4 (b a) max 80 f (x) a x b (a) E < 0 2 usando somas de Riemann; : h < e n > 6666 (b) E < 0 2 usando a regra de Simpson; : h < 065 e n > 535 (c) E < 0 2 usando a regra do Trapézio; : h < 009 e n > 928 (d) 0 7 usando somas de Riemann; : h < e n > (e) E < 0 7 usando a regra de Simpson; : h < e n > 273 (f) E < 0 7 usando a regra do Trapézio; : h < e n >

3 9 Repita o exercício anterior para a integral π 0 sin(x)dx 0 Utilizando quadratura gaussiana com 2 nós, calcule a integral (a) utilizando um intervalo (h = 0); A x dx (b) utilizando dois intervalos (h = h 2 = 5); A = , A2 = , A A + A (c) utilizando quatro intervalos igualmente espaçados h = h 2 = h 3 = h 4 = 25; A = , A2 = , A3 = , A4 = A A + A2 + A3 + A (d) utilizando quatro intervalos diferentes (por exemplo, h =, h 2 = 2, h 3 = 3 e h 4 = 4); A = , A2 = ,A3 = , A4 = A Utilizando quadratura gaussiana com 3 nós, calcule a integral do item anterior; A Utilizando quadratura gaussiana com 4 nós, calcule a integral do item anterior; A Utilizando quadratura gaussiana com 5 nós, calcule a integral do item anterior; A PARTE II: Equações Diferenciais 4 Dê as seguintes definições e exemplos: (a) Equação Diferencial; (b) (EDO) Equação Diferencial Ordinária; (c) (EDP) Equação Diferencial Parcial (d) Equação Diferencial Linear; (e) Equação Diferencial Não-Linear; (f) (PVI) Problema de Valor Inicial; (g) (PVC) Problema de Valor de Contorno; 5 Dê as seguintes definições: (a) (ETL) Erro de Truncamento Local; (b) (ETG) Erro de Truncamento Global; (c) (EAL) Erro de Arredondamento Local; 3

4 (d) (EAG) Erro de Arredondamento Global; (e) (ET) Erro Total; (f) Consistência de um método numérico; (g) Estabilidade de um método numérico; (h) Convergência de um método numérico; 6 Obtenha os coeficientes do método de Adams-Bashforth de 3 estágios (AB3) x n+ = x n + h( 23 2 f n 6 2 f n f n 2) 7 Obtenha os coeficientes do método de Adams-Bashforth de 5 estágios (AB5) x n+ = x n + h( f n f n f n f n f n 4) 8 Obtenha os coeficientes do método de Adams-Moulton de 3 estágios (AM3) x n+ = x n + h( 5 2 f n f n 2 f n ) 9 Obtenha os coeficientes do método de Adams-Moulton de 5 estágios (AM5) x n+ = x n + h( f n f n f n f n f n 3) 20 Verifique se os métodos dos 4 itens anteriores (AB3,AB5,AM3,AM5) são estáveis e consistentes AB3, x n+ = x n + h( 23 2 f n 6 2 f n f n 2) p(z) = z 3 z 2 = z 2 (z ) q(z) = ( 23 2 z2 6 2 z ) O método é estável pois p(z) possui raízes z = 0 e z = simples O método é consistente pois p () = (3z 2 2z) = = ( ) = q() 2 Dado o problema de valor inicial Estime a solução aproximada x(05): dx dt = x + t, x(0) = 2; (a) Calcule a solução exata; x(t) = t + 3e t, x(05)

5 (b) para h = 05 e o método de Euler; x [20000, 30000] (c) para h = 025 e o método de Euler; x [20000, 25000, 3875] (d) para h = 0 e o método de Euler; x [20000, 22000, 24300, 26930, 29923] (e) para h = 00 e o método de Euler (com o auxílio de um computador ou calculadora); x(05) (f) para h = 0 e o método de Heum; x [20000, 2250, 2463, 27477, 30727] (g) para h = 0 e o método de Euler Modificado; x [20000, 2250, 2463, 27477, 30727] (h) para h = 0 e o método de Taylor de Ordem 2; x [20000, 22050, 24405, 27096, 3055] (i) para h = 0 e o método de Runge Kutta de Ordem 2; igual ao Heun (j) para h = 0 e o método de Runge Kutta de Ordem 4; x [20000, 2255, 24642, 27496, 30755] (k) para h = 0 e o método de Adams-BashForth de 3 estágios (com o auxílio de Euler nas primeiras iterações); (l) para h = 0 e o método de Adams-BashForth de 3 estágios (com o auxílio de Runge Kutta de 4 estágios nas primeiras iterações); (m) para h = 0 e o método de Adams-Moulton de 3 estágios (com o auxílio de Euler nas primeiras iterações); (n) para h = 0 e o método de Adams-Moulton de 3 estágios (com o auxílio de Runge Kutta de 4 estágios nas primeiras iterações); 22 Resolva o sistema abaixo usando o método de Euler para h = 0, e obtenha x(05) e y(05): x (t) = y(t) + t, y (t) = x(t) + t 2, x(0) =, y(0) = 2 23 Reescreva o a equação diferencial de terceira ordem x (3) + x + 2x + 3x = 4, x(0) =, x (0) = x (0) = 0 como um sistema de equações diferencias de primeira ordem Reescreva este sistema na forma matricial X = AX Calcule os autovetores V de A e os autovalores λ i Qual a solução do sistema equivalente Y = ΛY? Qual a solução do sistema original X = AX? 24 Utilizando o sistema X = AX acima, calcule duas iterações do método de Euler com h = e estime a solução em t = 2 5

6 25 Reescreva a equação diferencial de terceira ordem x (3) + tx 2x = cos(t), x(2) = 0, x (2) = x (2) = como um sistema de equações diferencias de primeira ordem Utilize duas iterações do método de Euler com h = e estime a solução em t = 4 26 Através da expansão da série de Taylor ou de coeficientes a determinar, obtenha fórmulas para as derivadas abaixo incluindo a ordem do erro: (a) (f ) i = fi fi h (b) (f ) i = f i+ f i h + O(h) + O(h) (c) (f ) i = f i+ f i + O(h 2 ) (d) (f ) i = fi+ 2fi+fi h 2 + O(h 2 ) (e) (f ) i = 2fi++3fi 6fi +fi 2 6h + O(h 3 ) (f) (f ) i = f i+2+8f i 8f i +f i 2 + O(h 4 ) (g) (f ) i = f i+2 2f i+ +2f i f i O(h 4 ) Começando com a série de Taylor f(x + h) = f(x) + hf (x) + h 2 f (x)/2 + h 3 f (x)/3! + O(h 4 ) ou e em x h, temos f i+ = f i + hf i + h 2 f i /2 + h 3 f i /3! + O(h 4 ) f i = f i hf i + h 2 f i /2 h 3 f i /3! + O(h 4 ) Subtraindo as duas últimas equações temos f i+ f i = f i + h 3 f i /3! + O(h 5 ) e isolando para f i (dividindo por ) teremos a derivada central, f i = f i+ f i f i = f i+ f i f i = f i+ f i + h3 f i /3! + O(h5 ) + h2 2 3! f i + O(h 4 ) + O(h 2 ) 27 Reescreva as equações diferenciais abaixo com o um sistema linear Ax = b Qual a condição em h para se obter um matriz diagonal dominante? (a) x (t) = e t, x(0) =, x() = 2 6

7 (b) x (t) 2x(t) = e t, x(0) =, x() = 2 (c) x (t) + 2x(t) = e t, x(0) =, x() = 2 (d) x (t) + vx (t) = sin t, (e) x (t) + vx (t) = sin t, (f) x (t) + vx (t) = sin t, (g) x (t) + x (t) + x(t) = sin t, (h) x (t) + vx (t) + ax(t) = t, d Partindo da equação diferencial, discretizando os operadores, teremos, x i+ 2x i + x i h 2 x(0) =, x() = 2, usando derivada central em x (t); x(0) =, x() = 2, usando derivada pra frente em x (t); x(0) =, x() = 2, usando derivada pra trás em x (t); x(2) = 4, x(3) = 6, usando derivada central em x (t); x(0) =, x() = 2, usando derivada pra frente em x (t); x (t) + vx (t) = sent, x(0) =, x() = 2 + v x i+ x i e escrevendo na forma matricial, A = (a i )(b i )(c i ) que é uma matriz tridiagonal com elementos = sin t i, 0 < i < n, x 0 =, x n = 2 a i = h 2 + v, b i = 2 h 2, c i = h 2 + v Esta matriz será diagonal dominante, se b i a i + c i, isto é, 2 h 2 h 2 + v + h 2 + v 2 h 2 h 2 + v + h 2 + v 0 v + v = 0 sempre que /h > v/2, ou, h < 2/v 7