DERIVADAS. Duane Damaceno 1 de julho de Taxa de variação 2

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1 DERIVADAS Duane Damaceno 1 de julho de 2015 Sumário 1 Taxa de variação 2 2 O que são derivadas? Limite: a definição de derivada Exemplos Função Outras formas de calcular Multiplicação por constante Operação soma com derivadas Funções e suas derivadas Funções constantes Funções polinomiais Função raiz Funções exponenciais e regra da cadeia Regra da Cadeia Derivar exponenciais Funções trigonométricas Operações com derivadas Multiplicação de funções Divisão de funções Derivadas de ordens superiores 11 6 Exercícios Taxa de variação média Taxa de variação instantânea Limite Funções polinomiais Regra da Cadeia Funções exponenciais Multiplicação de funções Divisão de funções Gabarito Taxa de variação média Taxa de variação instantânea Limite Funções Polinomiais Regra da Cadeia Funções exponenciais Multiplicação de funções Divisão de funções

2 Nota I: Em exercícios e exemplos, todas as letras a, b, c e d são constantes (poderiam ser substituídas por um número específico) e todas as letras x e y são variáveis (poderiam ser substituídas por um conjunto de números quaisquer). Nota II: O símbolo representa derivada. Portanto f (x) é a derivada de f(x). A derivada também será mostrada como uma fração f (x) = df dx 1 Taxa de variação Toda variação pode ser definida como um valor final subtraído de um valor inicial. Por exemplo: t = t f t i Existem algumas grandezas que são representadas por divisão de variações, como por exemplo, a velocidade, que é resultado de uma variação de espaço dividida por uma variação no tempo. Desta forma, considerando v m = velocidade média, S =espaço e t =tempo: v m = S (1) t Essas variações podem ter valores bem altos, desta forma, não podemos dizer que a velocidade é instantânea. Podemos dizer apenas que é uma velocidade média, já que sabemos a velocidade em um intervalo grande de tempo. Mas e se quisermos saber a velocidade instantânea? Para ter esta resposta, precisamos diminuir o intervalo de tempo tomado. Quando menor for este intervalo, mais precisa será nossa velocidade. De fato a velocidade será instantânea quando tomarmos o limite em que t a 0. Sendo então: S v = lim t 0 t Mas sabemos que o espaço é uma função do tempo, já que você se move no espaço de acordo com o tempo (quando pausamos o tempo, não há movimento). Portanto: S(t + t) S(t) v = lim t 0 t A equação acima nos diz que se pegarmos uma posição S(t), anotarmos e então esperarmos um intervalo t minúsculo, anotarmos a posição na qual ele se encontra, subtrairmos essas anotações de posição e dividirmos pelo intervalo de tempo, teremos a velocidade instantânea! Para este processo damos o nome de derivada. 2 O que são derivadas? A derivada nada mais é que a taxa de variação de determinada função. Ela nos dá o crescimento ou a diminuição dos valores de determinada função. Se considerarmos a seguinte função: (2) y = 2 (3) Podemos ver pela equação (3) o eixo y terá sempre o mesmo valor, ou seja, é constante. Veja o gráfico desta equação na Figura 1. 2

3 Figura 1: Gráfico da equação (3). O fato de o gráfico nunca variar faz com que a derivada nele seja sempre nula! 2.1 Limite: a definição de derivada Se tivermos uma função f(x), sua derivada, denotada por f (x) é: f f(x + x) f(x) (x) = lim x 0 x (4) Para entendermos o que isso significa, vejamos a Figura 2: Figura 2: Derivada de forma gráfica. Vemos na Figura 2 um triângulo retângulo com um ângulo α. O cateto oposto a este ângulo é referente ao numerador da equação (4); já o cateto adjacente faz o papel do denominador na mesma equação. Quando aplicamos o limite e fazemos x 0, fazemos o cateto adjacente tender a 0. Com isso, a hipotenusa AB, tende ao seguimento AC. E é isto que é a derivada. Ela mede o quanto variou nossa função. Agora podemos fazer alguns exemplos de derivada partindo da definição dada pela equação ((4)). 2.2 Exemplos Vamos calcular o seguinte caso: 1. ax 2 + bx Vamos entender o que é aa função 1 e então a resolveremos. 3

4 2.2.1 Função 1 A função ax 2 + bx é denominada de função polinomial ou polinômio. Neste caso, é um polinômio de segundo grau, já que o maior exponente na variável x é 2. O gráfico de um polinômio do segundo grau é uma parábola e está representado na figura 3, sendo que para fazer o gráfico foi usado a = 2 e b = Figura 3: Gráfico de um polinômio de segundo grau onde a = 2 e b = 4. Analisando o gráfico, partindo da esquerda, vemos que os valores da função (eixo y) estão diminuindo a medida que os valores de x aumentam. Neste caso, esperamos que o valor da derivada seja negativa, já que os valores da função estão diminuindo. É importante observar que a diminuição não é igual. Tanto que em x = 1 vemos que a função para de diminuir e começa a crescer. Neste caso, esperamos que depois de x = 1, a derivada seja positiva. Se antes de x = 1 a derivada era negativa e depois de x = 1 ela é positiva, em x = 1 ela só pode valer 0. Após a análise, vamos resolver a derivada. Usando a equação (4) na função em questão temos (voltaremos a utilizar a e b): f 1(x) [a(x + x) 2 + b(x + x)] [ax 2 + bx] = lim x 0 x Podemos então aplicar o quadrado Agora podemos aplicar a distributiva f 1(x) [a(x 2 + 2x x + x 2 + b(x + x)] [ax 2 + bx] = lim x 0 x f 1(x) ax 2 + 2ax x + a x 2 + bx + b x ax 2 bx = lim x 0 x Agora podemos cancelar os termos iguais, sobrando: f 1(x) 2ax x + a x 2 + b x = lim x 0 x Por fim, como todos os membros do numerador tem x podemos simplificar, sobrando apenas: Agora, aplicando o limite: f 1(x) = lim 2ax + a x + b x 0 f 1(x) = 2ax + b (5) 4

5 Podemos agora usar a equação (5) para ver se a análise feito acima é verdadeira. Para tanto, devemos tomar novamente a = 2 e b = 4. Desta forma temos o seguinte gráfico Figura 4: Derivada da função polinomial de segundo grau com a = 2 e b = 4. Como previsto na análise, antes de x = 1 teríamos valores negativos para a derivada (eixo y), em x = 1 a derivada valeria 0 e depois de x = 1 a derivada teria valores positivos. Portanto é possível tirarmos informações da derivada apenas analisando o gráfico da função. Este processo pode ser feito com qualquer tipo de função, seja ela exponencial, trigonométrica, polinomial, etc. 2.3 Outras formas de calcular Após muito tempo de uso, os matemáticos perceberam que as funções seguiam formas "comportadas"de derivação. Utilizar sempre a forma do limite pode trazer grandes dificuldades, exigindo conhecimento de teoremas e várias propriedades matemáticas. Então verificaram que existiam padrões. Para exemplificar, podemos utilizar o exemplo da função 1 usada anteriormente. A função era f(x) = ax 2 + bx A regra, neste caso é tombar os expoentes das variáveis (eles passarão a multiplicar a variável) e então subtrair 1 destes expoentes, ficando, neste caso: 2ax bx 1 1 2ax 1 + 1bx 0 Quando o expoente é 1, costumamos não colocá-lo; todo número elevado a 0 equivale a 1. Temos então: Temos então: 2ax + 1b1 f (x) = 2ax + b (6) Se compararmos as equações (5) e (6), veremos que elas são idênticas. Portanto este método funciona. De fato este método funciona para qualquer função polinomial. Desta forma, ao invés de fazermos sempre pelo método do limite nos concentraremos nas regras de derivação para cada tipo de função. 5

6 2.4 Multiplicação por constante Quando temos uma constante multiplicando um termo que contém a variável, podemos retirá-lo, realizar a derivada e depois colocá-lo novamente. Ou seja, a constante não altera nem atrapalha a deriva. Por exemplo: ax 2 Podemos realizar a derivada de x 2 2x Depois devolvemos a constante a2x = 2ax ax 3 Podemos realizar a derivada de x 3 3x 2 Depois devolvemos a constante a3x 2 = 3ax 2 Isso é válido para qualquer tipo de função!!! 2.5 Operação soma com derivadas Vale notar que a derivada da soma é a soma das derivadas. Se temos uma função que tem uma soma, podemos separar e calcular as derivadas independentemente e depois juntar as partes novamente. Por exemplo: x 2 + x 3 Podemos calcular a derivada de x 2, depois a de x 3 e juntar: Derivada de x 2 2x Derivada de x 3 3x 2 Agora podemos juntar: 2x + 3x 2 E este é o valor final! O mesmo é válido para a subtração (já que a subtração é uma forma de soma); mas isto não é válido para multiplicação nem para divisão! Veremos em outro capítulo como a derivada se comporta nestas operações. 3 Funções e suas derivadas As funções que estudaremos serão as seguintes: constantes, polinomiais, exponenciais e trigonométricas. 3.1 Funções constantes Como visto na Figura 1, a função constante tem derivada nula, já que ela não tem seu valor alterado. Portanto, qualquer função constante tem derivada nula! 3.2 Funções polinomiais Como já exemplificado, as funções polinomiais seguem a regra do tombo. Nesta regra, o expoente é tombado, passando assim a multiplicar a variável; retira-se uma unidade do valor do expoente e o resultado é o novo expoente da variável. Vejamos alguns exemplos: x 4 x 3 + x + 2 Podemos usar a regra vista na seção 2.5 e separar as somas: Derivar x 4 4x 4 1 = 4x 3 Derivar x 3 3x 3 1 = 3x 2 Derivar x 1x 1 1 = x 0 = 1 Derivar 2 derivada de constante é sempre 0 6

7 Agora podemos juntar todos os valores. Atenção para os sinais!!! Resultado: 4x 3 3x x 2 x 3 Derivar x 2 2x 2 1 = 2x 3 Derivar x 3 3x 3 1 = 3x 2 Atenção para os sinais!!! Resultado: 2x 3 3x 2 x 1/4 + x 1/2 + x 2 Derivar x 1/4 1 4 x1/4 1 Precisamos fazer MMC: Caso você se sinta confiante em fazer MMC, não precisa ler o parágrafo abaixo, pois pode parecer confuso. Tente fazer e veja se consegue chegar na resposta. Em caso negativo, leia o parágrafo abaixo, em caso positivo, prossiga. Primeiro escolhemos o denominador. Neste caso, o mais simples é 4; depois pegamos este denominador e dividimos pelo denominador da primeira fração, que neste caso também é 4. O resultado é 1; agora multiplicamos este resultado pelo numerador da primeira fração, resultando em 1. Passamos então para a segunda fração: dividimos o denominador escolhido, 4, pelo denominador da segunda fração, 1. O resultado é 4; então multiplicamos este resultado pelo numerador da segunda fração, resultando em 4. Ficando: Então o resultado da derivada é: = x 3/4 Derivar x x1/2 1 MMC novamente. Neste caso, vale: 1 2 O resultado da derivada é: Derivar x 2 2x 2 1 = 2x Agora podemos juntar todos os valores. Resultado: 1 2 x 1/2 1 4 x 3/ x 1/2 + 2x Função raiz A função raiz nada mais é que uma função polinomial. Para notarmos isto, basta ver que: x = x 1/2 3 x = x 1/3 5 x2 = x 2/5 O número da raiz sempre vai para o denominador do expoente e o número que eleva o x sempre vai no numerador do expoente. E então basta derivar como já mostrado nos exemplos acima. Nos casos de derivadas com raiz, sempre haverá de fazer MMC. 7

8 3.3 Funções exponenciais e regra da cadeia As funções exponenciais se caracterizam por conter a variável no expoente. Toda função exponencial pode ser escrita como: ab cx (7) Podemos ter casos onde a = 1, c = 1, etc. Mas toda função exponencial se resume à equação (7). Aqui faz-se necessário introduzir uma regra chamada Regra da Cadeia. Vamos entendê-la e depois vamos continuar e derivar as funções exponenciais Regra da Cadeia A regra da cadeia nos diz como podemos derivar funções compostas. Funções compostas são funções dentro de outras funções. Na equação (7) acima temos duas funções: f(y) = ab y e y(x) = cx. O que fizemos foi chamar cx de y e então substituímos na função. Faremos isso toda vez quer tivermos funções compostas. Esta regra, a rigor nos diz que: df dx = df dy. dy (8) dx O que ela faz é separar em passos o procedimento de derivar. Podemos ter uma composição de infinitas funções; neste caso foram apenas duas Derivar exponenciais Agora estamos aptos a derivar a equação (7) com o auxílio da equação (8). chamaremos f(y) = ab y e y(x) = cx. Os passos são os seguintes: Como dito anteriormente, Derivar y(x) é uma função polinomial, portanto o resultado é c Derivar f(x) é uma função exponencial. Com o auxílio da seção 2.4 podemos retirar a constante a e realizar a derivada apenas de b y. A derivada de qualquer função deste tipo é ln(b).b y. Agora só precisamos devolver a constante, ficando a ln(b).b y. Lembrando que ln é a mesma coisa que log e. Portanto podemos juntar tudo e termos nossa derivada: Vejamos alguns exemplos: (ab cx ) = ln(b)b y c = c ln(b)b cx (9) 3 2x y(x) = 2x e f(x) = 3 y Derivamos y(x) 2 Derivamos f(x) ln(3)3 y Agora basta juntarmos com uma multiplicação, como diz a regra da cadeia: 2ln(3)3 y = 2ln(3)3 2x Se tiver uma calculadora, pode calcular ln(3), do contrário, esta é a resposta final. 2.4 x y(x) = x e f(y) = 2.4 y Derivamos y(x) 1 Retiramos a constante 2 e derivamos f(x) ln(4)4 y e então devolvemos a constante 2.ln(4)4 y Agora basta juntarmos com uma multiplicação, como diz a regra da cadeia: 2ln(4)e y = 2ln(4)4 x Vejamos agora um caso especial de função exponencial: e x e é um número que equivale a 2, façamos então os processos 8

9 y(x) = x e f(y) = e y y (x) = 1 e f (y) = ln(e)e y Juntando: 1.ln(e)e x Mas aqui mora um detalhe muito importante! ln(e) = 1. Todo log que tem o número igual à base vale 1. Portanto o resultado final é: Isto nos mostra que a derivada de e x é o próprio e x! 3.4 Funções trigonométricas As funções trigonométricas são as presentes em triângulos retângulos. Das funções que veremos aqui, sen(x) e são as funções principais. As demais podem ser montadas partindo delas. As demais funções e suas equivalências com as funções sen(x) e são: tg(x) = sen(x) cotg(x) = sen(x) sec(x) = 1 cossec(x) = 1 sen(x) As funções e suas respectivas derivadas são: sen(x) sen(x) tg(x) sec 2 (x) cotg(x) cossec 2 (x) sec(x) sec(x)tg(x) cossec(x) cossec(x)cotg(x) A demonstração das duas primeiras parte da derivada pelo limite. A demonstração das demais será feita em uma seção posterior. Infelizmente, neste caso, a memória deve ser usada. Realizar a dedução delas todas as vezes pode ser demorado. Serão dados alguns exemplos de regra da cadeia com funções trigonométricas: cos(x 2 ) e x y(x) = x 2 e f(y) = cos(y) y (x) = 2x f (y) = sen(y) Juntando: 2xsen(x 2 ) sen() y(x) = sen(y) e f(y) = y (x) = f (y) = sen(y) Juntando: sen() 9

10 4 Operações com derivadas 4.1 Multiplicação de funções [f(x).g(x)] = f (x).g(x) + g (x).f(x) (10) A equação acima nos mostra como resolver multiplicação de funções. Vamos então entrar em detalhes. Multiplicação de funções existem quando temos dois tipos diferentes de funções sendo multiplicadas (se fossem dois tipos iguais, geralmente conseguimos sumir com a multiplicação). Um exemplo de multiplicação de funções pode ser:.x 2 Temos uma função trigonométrica e uma função polinomial multiplicadas! Neste caso a regra da cadeia não nos ajuda pois não há uma composição de funções e sim uma multiplicação. Os passos para a solução deste problema são os seguintes: 1. Nomear uma função de f(x) e a outra de g(x) (tanto faz qual vai chamar de f ou g) Neste caso f(x) = e g(x) = x 2 2. Derivar as funções: f (x) = sen(x) e g (x) = 2x 3. Aplicar a equação (10). Neste caso ficará: E este é nosso resultado final. Vejamos mais alguns exemplos: xe x f(x) = x e g(x) = e x sen(x).x 2 + 2x. f (x) = 1 e g (x) = e x Aplicando a equação (10): 1e x + e x x e x (1 + x) tg(x).x 3 f(x) = tg(x) e g(x) = x 3 f (x) = sec 2 (x) e g (x) = 3x 2 Aplicando a equação (10): sec 2 (x)x 3 + 3x 2 tg(x) 4.2 Divisão de funções [ ] f(x) = f (x)g(x) g (x)f(x) g(x) g 2 (x) A equação acima nos mostra como resolver divisão de funções. Vamos então entrar em detalhes. Divisão de funções existem quando temos dois tipos diferentes de funções sendo divididas (se fossem dois tipos iguais, geralmente conseguimos sumir com a divisão). Um exemplo de divisão de funções pode ser: Os passos para a resolução são: sen(x) 1. Neste caso, devemos chamar de f(x) a função do numerador e g(x), a do denominador. Neste exemplo: f(x) = e g(x) = sen(x). 2. Calculamos as derivadas: f (x) = sen(x) e g (x) = (11) 10

11 3. Aplicamos na equação (11), ficando: diz: cos 2 (x) + sen 2 (x) = 1. Usando ele: sen(x).sen(x) sen 2 (x) 1 sen 2 (x) = sen2 (x)+cos 2 (x) sen 2 (x) Existe um teorema que Se olharmos nas listas das funções trigonométricas, veremos que 1 sen 2 (x) = cossec2 (x). Se olharmos novamente, veremos que sen(x) = cotg(x). Portanto, concluímos que: [cotg(x)] = cossec 2 (x) Se olharmos uma última vez na lista das equações trigonométricas, veremos que já havíamos informado este resultado. Aqui está a demonstração. Todas as demais funções também são demonstradas desta forma. Vejamos outros exemplos de derivada de divisão de funções: x 2 x2 +3 x 2 +x f(x) = x 2 e g(x) = f (x) = 2x e g (x) = sen(x) Usando a equação (11): f(x) = x e g(x) = x 2 + x f (x) = 2x e g (x) = 2x + 1 2x. [ sen(x)]x 2 cos 2 (x) 2x + x 2 sen(x) cos 2 (x) (2x)(x Usando a equação (11): 2 +x) (2x+1)(x 2 +3) (x 2 +x) 2 Esta pode ser a resposta final. Ou então podemos fazer a distributiva: 2x.x 2 + 2x.x 2x.x 2 2x.3 1.x (x 2 + x) 2 = 2x3 2x 3 + 2x 2 x 2 6x 3 (x 2 + x) 2 5 Derivadas de ordens superiores x 2 6x 3 (x 2 + x) 2 Após derivarmos uma função, podemos derivar o resultado novamente quantas vezes quisermos ou quantas vezes a função nos permitir. Por exemplo: f(x) = x 2 f (x) = 2x f (x) = 2 f (x) = 0 f (x) = 0 Vemos que a função só permitiu ser derivada até a segunda ordem. As demais tiveram resultado nulo. Para realizar a derivada de segunda ordem, por exemplo, basta derivarmos a função uma vez e depois derivarmos o resultado. Por exemplo: f(x) = Primeira derivada: sen(x) Para realizarmos a segunda derivada, vamos derivar sen(x). Atenção para o sinal!! Portanto, f (x) = 11

12 6 Exercícios Dica: por mais difícil que pareça ser, siga o roteiro de como fazer! 6.1 Taxa de variação média Calcule a velocidade para os seguintes casos: 1. S = 25m e t = 5s 2. S = 50m e t = 2s 3. S = 30m e t = 5s 4. S = 10m e t = 0, 5s 5. S = 100m e t = 2s 6. S = 1000m e t = 100s 7. S = 20m e t = 2, 5s 6.2 Taxa de variação instantânea Calcule a velocidade instantânea supondo que: 1. S = 2t, t = 3 s e t = 1 s 2. S = 2t + 2, t = 1 s e t = 1 s 3. S = t, t = 2 s e t = 0, 5 s 4. S = t + 5, t = 2 s e t = 2 s 5. S = 100t, t = 2 s e t = 0, 2 s 6. S = 6t 2 2t, t = 1 s e t = 2 s 6.3 Limite Calcule a derivada das seguintes funções (usando o método do limite): 1. f(x) = x 2 2. f(x) = x f(x) = x.(x 2 + 3) Dica: faça a distributiva primeiro. 4. f(x) = x 3 + x 2 5. f(x) = x f(x) = x 3 x Funções polinomiais Calcule a derivada das seguintes funções (usando o método do tombo): 1. x 2 (x + x) 2. x( x x 2 ) 3. x 3 + 4x 2 4. x + x 3 2x 2 5. x + 3x 6. x 3 + x 4 7. x 1/2 12

13 8. x 2 + x 3/4 9. x 2 + x 10. x x x x Regra da Cadeia Derive as seguintes funções: 1. sen(x 3 ) 2. cos(2x) 3. cos(e x ) 4. cos( x 2 ) 5. a sen(x) 6.6 Funções exponenciais 1. 3.e x 2. a 3x x 4. e 3x 5. a 2x 6. a.b bx 6.7 Multiplicação de funções 1. (x 2 + 2)(x + 1) Dica: pode optar por fazer distributiva ou aplicar a regra da multiplicação. 2. x 2 e x 3. ( x + 2)(x + x 4 ) 4. (x + 2) 5. sen(x)e x 6. a..sen(x) 6.8 Divisão de funções 1. x 2 +2 x 2. sen(x) 3. e x x 2 4. e x 5. 2x 2 6. a 13

14 7 Gabarito 7.1 Taxa de variação média 1. 5 m/s m/s 3. 6 m/s m/s m/s m/s 7. 8 m/s 7.2 Taxa de variação instantânea 1. 2 m/s 2. 2 m/s 3. 0, 5 m/s 4. 1 m/s m/s m/s 7.3 Limite 1. 2x x x 2 + 2x 5. 4x x 2 6x Funções Polinomiais 1. 6x x 3x x 2 + 8x x 2 4x x 4 + 4x /2.x 1/2 8. 2x + 3/4x 1/ /2x 1/2 = x 10. 2x /2.x 4/2 = x 4 = 6 2x /2.x 5/2 = x 2 14

15 7.5 Regra da Cadeia 1. 3x 2 cos(x 3 ) 2. 2sen(2x) 3. e x sen(e x ) 4. 2x.sen( x 2 ) 5. log(a).cos(a).a sin(x) 7.6 Funções exponenciais 1. 3e x 2. 3ln(a)a 3x 3. 12ln(4)4 4x 4. 3e x 5. 2ln(a)a 2x 6. ab.ln(b)b bx 7.7 Multiplicação de funções 1. 3x 2 + 2x e x x(x + 2) x 3 2x (x + 2)sen(x) 5. e x (sen(x) + ) 6. a(cos 2 (x) sen 2 (x)) 7.8 Divisão de funções x cos 2 (x) 3. e x (x 2) x 3 4. e x (sen(x) + ) x(2+xtg(x)) cos a.tg(x) 15