PROF. DANILO MATERIAL COMPLEMENTAR TURMA ENG/TOP 11/03/2016 FOLHA 04 Após esta aula, a lista "Equações Horárias"pode ser feita por completo.

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1 PROF. DANILO MATERIAL COMPLEMENTAR TURMA ENG/TOP 11/03/016 FOLHA 04 Após esta aula, a lista "Equações Horárias"pode ser feita por completo. Um corpo move ao longo de uma reta obedecendo a função horária s(t a seguir: s(t = 3 + t + t (S.I. Represente nos eixos coordenados abaixo o gráco da posição do corpo em função do tempo. Represente a posição do corpo quando t = 0 e os instantes em que ele passa pela origem das posições, isto é, os instantes em que s = 0. Note que teremos tempos negativos, mas você deve se lembrar o que signica tempo negativo... Lembre-se de que tudo o que é delta ( na física é nal menos inicial, ou seja, e s = s final s inicial = t final t inicial Vamos usar o exercício inicial desta aula para calcularmos a velocidade média do móvel que obedece a equação dada s(t = 3 + t + t. Para facilitar cálculos futuros, vamos completar a tabela abaixo com a posição do móvel para cada instante (tabela 1. Como primeiro exercício, vamos calcular a velocidade média Tabela 1: POSIÇÃO DO MÓVEL Instante t = Posição s(t= 0,0 1,0 s = s(t,0,5 3,0 (0, 0 t do corpo entre os instantes t = 0 e t = 3: Q. 01 VELOCIDADE MÉDIA ENTRE t = 0 s E t = 3 s Agora que você têm o gráco, estime a velocidade do corpo no instante t = 0 e quando o corpo passa pela posição s = 0. Agora calcule a velocidade média entre os instantes t = 1 e t = 3: Q. 0 VELOCIDADE MÉDIA ENTRE t = 1 s E t = 3 s CÁLCULO DA VELOCIDADE INSTANTÂNEA: MÉTODO ANALÍTICO Vamos agora ver um método analítico e mais exato que o método gráco apresentado na aula anterior. Esta aula talvez seja um pouco mais pedante, mas será produtiva... Primeiro temos que denir o que e velocidade. Você deve se lembrar o que é velocidade média: v media = s Continuando o raciocínio: 1

2 PROF. DANILO MATERIAL COMPLEMENTAR TURMA ENG/TOP 11/03/016 Q. 03 VELOCIDADE MÉDIA ENTRE t = s E t = 3 s Usando a equação horária da posição (s(t = 3 + t + t podemos escrever que a velocidade média nesse intervalo será: Q. 05 VELOCIDADE MÉDIA ENTRE t E t + PARA s(t Se continuarmos com este raciocínio aproximando cada vez mais cada instantes, podemos obter a tabela. Observe que quando t 0 se aproxima de t = 3 s o valor obtido Tabela : VELOCIDADE MÉDIA ENTRE t 0 E t = 3 t 0 = Velocidade Média,5 7,5,6 7,6,7 7,7,8 7,8,9 7,9,99 7,99,999 7,999,9999 7,9999, ,99999, ,999999, , , , na tabela para a velocidade se aproxima de 8 m/s. Em linguagem mais precisa, podemos dizer que quando = t t 0 tende a zero (ou 0 a velocidade tende a 8 m/s. Como estamos escolhendo um intervalo de tempo muito pequeno, podemos considerá-lo praticamente nulo, e portanto podemos dizer que a velocidade NO INSTANTE t = 3 s é 8 m/s, isto é, não estamos mais falando de velocidade média, mas sim de velocidade instantânea. Não podemos ter certeza de que o valor da velocidade instantânea no instante t = 3 é exatamente 8 m/s (poderia ser por exemplo exatamente 8, m/s, então seria possível encontrar esta velocidade usando algum método analítico? A resposta é sim e veremos agora como proceder. Calcule a velocidade instantânea para o corpo que obedece a equação s(t = 3 + t + t para o instante t = 3 s. Primeiro vamos denir um intervalo de tempo genérico e calculemos a velocidade média entre os instantes t e t + Agora faremos 0: Q. 06 VELOCIDADE MÉDIA PARA 0 Esta é na verdade a velocidade instantânea para um instante t qualquer! Q. 07 VELOCIDADE INSTANTÂNEA EM FUNÇÃO DE t Q. 04 VELOCIDADE MÉDIA ENTRE t E t + Escolhendo t = 3 s como exemplo: Q. 08 VELOCIDADE INSTANTÂNEA PARA t = 3 s Esta é a velocidade exata do corpo cuja equação da posição foi

3 3 PROF. DANILO MATERIAL COMPLEMENTAR TURMA ENG/TOP 11/03/016 dada. Agora podemos ver uma regra mais geral para isso: a chamada regra do tombo. Seja dada a equação horária da posição de um móvel qualquer: s(t = c n t n isto é, um polinômio, a equação da velocidade será: Q. 09 REGRA DO TOMBO 8. s(t = 7 t 3 9. s(t = 1 5 t DEMONSTRAÇÃO DA REGRA DO TOMBO - EXERCÍCIO Como exercício, demonstre a regra do tombo para os seguintes casos: 1. s(t = t Isto é, o expoente cai e multiplicando o coeciente c n e subtrai-se 1 do expoente. Veja um exemplo: É dada a equação: s(t = 3 + t + t. Determine a equação horária da velocidade desse corpo. Q. 10 VELOCIDADE INSTANTÂNEA DA FUNÇÃO s(t = 3 + t + t Abaixo segue alguns exercícios para você treinar. Determine para cada caso a equação da velocidade sabendo a equação da posição. 1. s(t = 5 t + 4t. s(t = 5t 3. s(t = 5t /3 3. s(t = t 4. s(t = 5t /3 5. s(t = 1 t 6. s(t = 1 t 0,5 7. s(t = 3 5t

4 4 PROF. DANILO MATERIAL COMPLEMENTAR TURMA ENG/TOP 11/03/ s(t = t 1 5. s(t = 5t 4 6. s(t = t 4. s(t = t Já pensou em fazer uma demonstração mais geral? Antes de virar a página, pense nisso... Na página seguinte temos uma demonstração geral para t n com n Z, mas esta regra é geral, isto é, a regra do tombo vale para n R.

5 5 PROF. DANILO MATERIAL COMPLEMENTAR TURMA ENG/TOP 11/03/016 DEMONSTRAÇÃO DA REGRA DO TOMBO - CASO GERAL Veja a seguir a demonstração pra a regra do tombo para um termo de um polinômio qualquer: Assim: s(t = c t n v(t = s s(t + s(t = v(t = c (t + n c t n Lembremos do Binômio de Newton: n ( n (x + y n = x n k y k k Com isso: (t + n = k=0 n k=0 ( n t n k k k Continuando o cálculo da velocidade: v(t = c ( n ( n k=0 k t n k k c t n = = c ( n ( n k=0 k t n k k t n Vamos expandir este binômio, lembrando que ( n n! = k k!(n k! Ou seja: (t + n = n! 0!(n 0! tn n! 1!(n 1! tn 1 1 n! +!(n! tn (t + n = t n + nt n 1 + n! n!(n n! tn n n Voltando na equação da velocidade: n(n 1 t n n v(t = c (tn + nt n 1 + n(n 1 t n n t n v(t = c ntn 1 + n(n 1 t n n v(t = c ( nt n 1 + n(n 1 t n n 1 Observe que não é zero, embora seja muito pequeno, então podemos simplicar a fração: v(t = c ( nt n 1 + n(n 1 t n n 1 Agora temos o pulo do gato: não é zero, mas é muito pequeno de tal forma que ele tende a zero, então podemos escolhe-lo tão pequeno tal que ele seja desprezível sempre independente da escala que estamos trabalhando. Ou seja, na equação anterior podemos substituir = 0 sem nenhum prejuízo: ( v(t = c nt n 1 n(n 1 + t n n 1 = cnt n 1 GENERALIZAÇÃO DA REGRA DO TOMBO Muitos já sabem que a regra do tombo é, na verdade, um caso particular de algo mais geral chamada de Derivada. A derivação de uma função é uma operação que se faz em uma função. Sempre quando derivamos uma função, esta operação é em relação à uma variável. Por exemplo, a velocidade é sempre uma derivada da posição em relação ao tempo. A tabela a seguir (tabela 3 mostra uma função na coluna da esquerda (que chamamos de primitiva e a sua derivada na coluna da direita. Não demonstraremos nenhuma delas, mas as derivadas trigonométricas serão úteis quando estudar o movimento harmônico simples. A derivada em relação à x, mas poderia ser em relação à qualquer outra variável. Tabela 3: TABELA DE DERIVADAS Primitiva Derivada x n nx n 1 sen(x cos(x cos(x sen(x ln(x = log e (x 1/x ACELERAÇÃO Você viu que velocidade média é denida como: v media = s assim a velocidade instantânea possui uma denição imediata, que é a derivada da posição em função do tempo e que pode ser simbolizada das seguintes formas: s v inst = lim 0 = d dt s(t Dizemos delta s por delta t no limite em que delta t tendendo a zero ou derivada de s de t em relação à t. Agora vamos falar de aceleração assunto este a ser abordado com mais detalhes futuramente. Primeiro vamos à denição de aceleração média: a media = v Com isso, a denição de aceleração instantânea é imediata: v a inst = lim 0 = d dt v(t Começaremos a próxima aula com exemplos desse assunto. Para treinar: dadas as equações a seguir, que determinam a velocidade de um corpo em função da posição. Calcule, para cada caso, a velocidade do corpo (se necessário, use a tabela 3:

6 6 PROF. DANILO MATERIAL COMPLEMENTAR TURMA ENG/TOP 11/03/ v(t = 9. (* v(t = sen( t. v(t = 5t 10. (* v(t = cos( 3 t 4 3. v(t = 3t (* v(t = A sen(ω t 4. v(t = ln t 1. (* v(t = A sen(ω t + φ 0 5. v(t = 5 sen t 6. v(t = 7 cos t As últimas 4 equações aparecem no movimento harmônico simples (MHS. 7. v(t = log t 8. v(t = 3 sen t + cos t log t