AULA Exercícios. VERIFICAR SE UM VECTOR É UMA COMBINAÇÃO LINEAR DE UM CONJUNTO DE VECTORES.

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1 Note bem: a leitura destes apontamentos não dispensa de modo algum a leitura atenta da bibliografia principal da cadeira Chama-se a atenção para a importância do trabalho pessoal a realizar pelo aluno resolvendo os problemas apresentados na bibliografia, sem consulta prévia das soluções propostas, análise comparativa entre as suas resposta e a respostas propostas, e posterior exposição junto do docente de todas as dúvidas associadas. TÓPICOS Exercícios. AULA. Exercícios. VERIFICAR SE UM VECTOR É UMA COMBINAÇÃO LINEAR DE UM CONJUNTO DE VECTORES... Dado o vector u (,,, ) e os vectores u (,,, ), u (,,,), u (,,, ) e u (,,, ), podemos verificar que, se u é uma combinação linear dos vectores u, u, u e u, então u k u [ u u u u ] k k k k k k k k Resolvendo o sistema >> u[ - -]'; >> u[ -]'; >> u[ ]'; >> u[- ]'; >> u[ ]'; >> A[u u u u]; >> B[ - -]'; Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

2 - O sistema é possível e determinado, tendo como solução [ k k k k ] T [ ] T. Ou seja, u u u + u + u.. Mostrar que o vector u ( 7,,, ) é uma combinação linear dos vectores u (,,,), u (,,, ), u (,,,) e u (,,, ). Se u é uma combinação linear dos vectores u, u, u e u, então u ku + ku + ku + ku 7 k k k k é um sistema de equações possível. Resolvendo o sistema >> A[ - ;- ; - ; -]'; >> B[7 - -]'; - O sistema é possível e determinado, tendo como solução [ k k k k ] T [ ] T. Ou seja u u + u u + u.. Mostrar que o vector u (,,) não é uma combinação linear dos vectores u (,, ), u (,, ), e u (,, ). Se u é uma combinação linear dos vectores u, u, u e u, então u ku + ku + ku k k k Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

3 é um sistema de equações possível. Resolvendo o sistema >> A[ ; ;- - ]; >> B[ ]'; - concluímos que o sistema é impossível, logo u não é uma combinação linear dos vectores u, u, e u. VERIFICAR SE UM CONJUNTO DE VECTORES É LINEARMENTE INDEPENDENTE... Mostrar que os vectores u (,,, ), u (,,, ), u (,,, ) e u (,,, ) são linearmente independentes, ou seja, a equação + k k u k u + u só possui a solução trivial. Recorrendo à notação matricial [ u u u u ] k u + + kru r k k k k Uk, concluímos que verificar que a equação k u + ku + ku + ku só possui a solução trivial é equivalente a verificar que o sistema homogéneo Uk só admite solução trivial. Recorrendo ao método de Gauss-Jordan podemos concluir que ~ e portanto os vectores são linearmente independentes. >> A[ - ; ; ;- ]'; >> B[ ]'; Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

4 .5. Mostrar que o conjunto de vectores { u, u, u u } S, com u (,,,),, u (,,,), u (,,,) e u (,,, ), é linearmente independente. Os vectores são linearmente independentes se a equação k u + ku + ku + ku só possui a solução trivial k k k k. Assim ku + ku + ku + ku k k k k >> A[ - ;- ; - ; -]'; >> B[ ]'; O sistema é possível e determinado, admitindo apenas a solução trivial [ k k k k ] T [ ] T, logo os vectores são linearmente independentes..6. Mostrar que o conjunto de vectores { u, u u } S, com u (,, ),, u (,, ), e u (,, ), não é linearmente independente. Os vectores são linearmente independentes se a equação k u k u + u só possui a solução trivial k k. Assim k k u k k k >> A[ ; ;- - ]; >> B[ ]'; - + k Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

5 O sistema é possível mas é indeterminado (admitindo um número infinito de soluções para além da solução trivial) logo os vectores não são linearmente independentes. DETERMINAR O SUBESPAÇO GERADO POR UM CONJUNTO DE VECTORES..7. Determinar o subespaço de com u (,, ), u (,, ), e u (,, ). R gerado pelo conjunto de vectores { u, u, u } S, W é o subespaço gerado por u, u, u, W L( u, u, u), se qualquer vector de W, u, é uma combinação linear de u, u, u u ku + ku + ku x k x k x k Resolvendo o sistema, recorrendo ao método de Gauss-Jordan, resulta x A b x x ~ x x x + x x ~ x x x x + x Não é necessário continuar o processo de escalonamento da matriz. Neste momento é já possível concluir que, para que o sistema seja possível (ou seja, qualquer vector de W seja uma combinação linear de u, u, u ), deverá ser x x + x Recordando os conceitos apresentados sobre o estudo da natureza de sistemas lineares, concluímos que o sistema é possível e indeterminado, sendo x e x variáveis principais e x uma variável livre, sendo x x x Assim, o subespaço gerado por u, u, u é constituído por todos os vectores [ x x ] T u tais que x x x x x { } W L( u, u, u ) ( x, x, x ) R : x x x O subespaço corresponde a um plano em R. L L L + L L L L + L L Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

6 .8. Determinar o subespaço de R gerado pelo conjunto de vectores S u, u, u u, com u (,,,), u (,,, ), u (,,,) e { }, (,,, u ). W é o subespaço gerado por u, u, u, u, W L( u, u, u, u), se qualquer vector de W, u, é uma combinação linear de u, u, u, u u ku + ku + ku + ku x k x k x k x k Resolvendo o sistema, >> syms x x x x >> A[ - ;- ; - ; -]'; >> B[x x x x].'; [,,,, -/*x-/*x-x-*x] [,,,, /*x] [,,,, x+/*x+/*x+x] [,,,, x+*x+x+/*x], concluímos que o sistema é possível e determinado para qualquer valor de x, x, x e x. Assim, o subespaço gerado por u, u, u, u é constituído por todos os u x x x sem restrições, ou seja, é coincidente com R vectores [ ] T x W L( u, u, u, u ) R Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A