Márcio Nascimento. 19 de fevereiro de 2018

Transcrição

1 Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial de fevereiro de / 16

2 Considere o sistema x + 2y 3z = 7 S 2x 3y + z = 7 3x + y + 2z = 6 Vimos que uma solução para S é x = 1, y = 1 e z = 2 ou, equivalentemente, x = 1 S y = 1 z = 2 isto é, um sistema cuja matriz ampliada é [E ] = Vejamos que [E ] é uma forma escalonada para o sistema original S. 2 / 16

3 Uma Forma Escalonada para o sistema original S é [E b ] = O pivot da segunda linha aparece indicado abaixo. Para zerarmos os demais coeficientes desta coluna, devemos realizar as operações elementares como se segue: L 1 2L Passando ao terceiro pivot, temos: L 1 + L 3 L 2 + L / 16

4 Daí, obtemos [E A ] = onde é precisamente a solução do sistema original S. A matriz [E A ] é chamada Forma Escalonada Reduzida do sistema S. 4 / 16

5 [A b] [E b ] [E A ] E.G. G-J Matriz Aumentada Forma Escalonada F. E. Reduzida Substituição Reversa = solução 5 / 16

6 Exemplo: Determinar a solução do sistema abaixo usando o 3x + 4y + 2z + w = 2 4x + y z + 2w = 1 S 2x + 2y + z + w = 2 x + 4y + 2z + w = 2 Resposta... (0, 1, 2, 2). 6 / 16

7 Exemplo: Considere o sistema cuja matriz aumentada é [A b] = e encontre sua solução pelo. Observe que a Forma Escalonada Reduzida do sistema é: [E ] = Percebe-se que a quarta coluna é diferente do que já tínhamos visto até agora. Vamos escrever o sistema correspondente a esta matriz. 7 / 16

8 S x w = 5 y + 2w = 8 z w = 14 Note que não é possível isolar variável alguma, no entanto, atribuindo valores para w, obtemos soluções particulares. w = 0: x = 5 S y = 8 z = 14 = Solução: ( 5, 8, 14 ) 8 / 16

9 S x w = 5 y + 2w = 8 z w = 14 w = 4 : x = 9 y = 0 S = Solução: z = 10 Ou seja, para cada escolha de w temos uma solução diferente ( para o sistema. 5 + α, 8 ) 2α, 14 + α, α onde α R. ( ) 9 10, 0, 9 / 16

10 S x w = 5 y + 2w = 8 z w = 14 Como w pode ser escolhido de infinitas maneiras, concluímos que o sistema tem infinitas soluções, ou seja, é possível e indeterminado. Tomando w genérico, isto é, w = α, temos: x = 5 + α S y = 8 2α = Solução: z = 14 ( + α 5 + α, 8 ) 14 2α, + α, α 10 / 16

11 Voltando à Forma Escalonada Reduzida e à solução geral do sistema, temos: [E ] = Solução: ( 5 + α, 8 ) 14 2α, + α, α Compare a solução geral e as entradas da Forma Escalonada Reduzida (de acordo com as cores), e perceba que a solução geral está evidente na matriz, quando aplicamos o método de Gauss-Jordan. / 16

12 Voltando à Forma Escalonada Reduzida e à solução geral do sistema, temos: [E ] = Solução: ( 5 + α, 8 ) 14 2α, + α, α A quarta coluna de [E ] corresponde a variável w do sistema. Esta, por sua vez, está representada na solução geral pelo parâmetro α, ou seja, a solução geral é apresentada em termos do parâmetro α. 12 / 16

13 Voltando à Forma Escalonada Reduzida e à solução geral do sistema, temos: [E ] = Solução: ( 5 + α, 8 ) 14 2α, + α, α Observe, ainda, que a quarta coluna não apresenta pivot. Quando isso acontecer, a variável correspondente a tal coluna será representada por um parâmetro. 13 / 16

14 Colunas básicas de uma matriz As colunas da forma escalonada (ou forma escalonada reduzida) de uma matriz que apresentam pivot, são chamadas COLUNAS BÁSICAS. As demais, são chamadas colunas NÃO BÁSICAS. Grau de Liberdade de um sistema A quantidade de parâmetros que aparecem na solução geral de um sistema é chamada GRAU DE LIBERDADE DO SISTEMA. Ou seja, é a diferença entre o número de variáveis do sistema e o número de colunas básicas. 14 / 16

15 Exemplo: Encontre a solução para o sistema abaixo usando o 3x + 2y + z + w + t = 2 S 2x + 2y + z + 3w + 2t = 4 x + y + z + 2w + 2t = 1 Resposta... ( 2α + β 2, 5 α, β R ) 3α + β + 13, α 2β 2, α, β com 5 15 / 16

16 Exemplo: Considere o sistema S cuja matriz aumentada é [A b] = e encontre sua solução geral. Resposta... ( 3 α + β, 4, 2 ) 9 + α 3β, α, β com α, β R / 16