Aplica-se a Lei dos cossenos quando conhecemos o valor de dois lados e de um ângulo do triângulo.

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1 Caro aluno, Objetivamos que o uso deste material possa elucidar os conteúdos trabalhados nas aulas 42, 43, 45, 46 e 47, e assim, proporcionar o seu preparo para aplicar os conhecimentos desenvolvidos nas situações-problemas propostas, permitindo o estabelecimento das relações entre o conhecimento e suas aplicações. Aula 42 As relações trigonométricas As relações trigonométricas denominadas Leis dos senos e dos cossenos é aplicada a um triângulo qualquer. As duas Leis relacionadas aos triângulos são aplicadas quando temos ângulos ou lados desconhecidos em um triângulo qualquer. Lei dos cossenos A Lei dos cossenos apresenta a seguinte relação: Lei dos cossenos : c² = a² + b² - 2.a.b.cosĈ Aplica-se a Lei dos cossenos quando conhecemos o valor de dois lados e de um ângulo do triângulo. Dado o triângulo ABC vamos determinar o valor do lado c, conhecendo o valor de um ângulo e dos outros dois lados. Sabendo que o lado BC (ou lado a) mede 4 unidades de medida e o lado AC ( ou lado b) mede 3 unidades de medida.

2 c² = a² + b² - 2.a.b.cosĈ c² = 4² + 3² cos60 c² = cos60 c² = ,5 c² = c² = 13 Observação: Cossenos 60 = 0,5 em representação decimal. c = 13 c = 3,60 (aproximadamente) Concluímos então, que o lado c tem como medida aproximada 3,6 unidades de medida. A seguir, vamos aplicar a habilidade que acabamos de desenvolver com relação à Lei dos cossenos. Agora é sua vez! cozinha sala Em uma residência deseja-se colocar uma antena, a mesma ficará no telhado na direção da janela da sala, fornecendo assim sinal de transmissão para a sala e para a cozinha. Quantos metros de fio serão necessários comprar no total, já que da antena deverá partir

3 uma fiação que levará a transmissão de sinal para sala e outra fiação que levará a transmissão de sinal para a cozinha. Aula 43 Lei dos senos A Lei dos senos apresenta entre seus ângulos e seus lados uma relação de proporcionalidade. Vejamos a utilização da Lei dos senos para encontrar o valor do lado desconhecido de um triângulo qualquer. Dado o triângulo ABC, vamos determinar o valor do lado c,sendo conhecidos os valores dos ângulos e de dois dos lados. Podemos observar que a Lei dos senos apresenta uma razão entre os lados e seus ângulos correspondentes, as razões entre os três lados e seus respectivos ângulos formam uma proporção. a Lei dos senos: senâ = b senbˆ = c sencˆ Utilizando a Lei dos senos para calcular o valor do lado AB (ou lado c). Sabendo que o lado CA (ou lado b) mede 8 unidades de medida. b senbˆ = c sencˆ Observações: sen 45 = 0,70 em representação decimal. sen 30 = 0,5 em representação decimal.

4 8 sen45 = c sen30 8 c = 0,70 0, ,5 = c. 0,70 4 = c.0,70 c = 4 0,70 = 5,71 Concluímos então, que o lado c tem como medida 5,71 unidades de medida. A seguir vamos trabalhar a habilidade que acabamos de desenvolver com relação a Lei dos senos. Aplicando a Lei dos senos A ilustração (1) abaixo apresenta um rio, deseja-se saber qual será o comprimento de uma ponte que será construída com o objetivo de permitir aos pedestres que realizem a travessia do rio. O cálculo do comprimento dessa ponte será permitido aplicando a Lei dos senos, para tanto, vamos traçar às margens do rio um triângulo (ilustração 2). Para realizar a construção temos algumas informações: Sabe-se que do ponto A ao ponto B há 3 km. Sabemos a medida de dois ângulos e de um dos lados do triângulo formado, podemos então aplicar a Lei dos senos para encontrar o valor do comprimento da ponte. O ângulo Ĉ mede 45 ; O ângulo Bˆ mede 65 ; O lado AB mede 3 km; Observações: sen 45 = 0,70 em representação decimal sen 65 = 0,90 em representação decimal

5 Agora é com você! Geometria Analítica A Geometria Analítica desenvolve seus estudos por meio da conciliação entre a álgebra e a geometria. A seguir vamos trabalhar com algumas das importantes relações estudadas em Geometria Analítica. Aula 45 Distância entre ponto e reta Para iniciarmos o cálculo da distância entre reta e ponto, vamos utilizar o plano cartesiano. r: 2x + 1 = 0 P 6 Distância da reta r ao ponto P. 2 x Temos a reta r e o ponto P, desejamos calcular qual é a distância entre a reta r e o ponto P. Para tanto, vamos utilizar a seguinte expressão : ax p b p a² b² c ² 0² Utilizamos o valor zero porque essa equação não tem o coeficiente b

6 2 5 2,5 A seguir vamos aplicar a habilidade que acabamos de desenvolver com relação à distância entre reta e ponto. O desenho a seguir representa a vista aérea de uma determinada ilha. Um grupo de ambientalistas deseja saber qual é a distância entre os dois pontos que estão marcados, estes representam pontos com sinais de desmatamento. 5 s: 2x x Para auxiliar os cálculos, os ambientalistas submeteram a vista área da ilha a uma representação no plano cartesiano, conforme ilustrado. A partir dessa representação, auxiliada pelas coordenadas cartesianas, qual é a distância entre o ponto H e o ponto pertencente a reta s, ambos apontados como sinais de desmatamento?

7 Equação reduzida da reta Para determinarmos a equação reduzida da reta s vamos analisar o gráfico a seguir: s 6 4 x 2 4 Para determinar a equação reduzida da reta vamos utilizar a seguinte expressão: x x1 x x Identificaremos x 1 e 1 como sendo as coordenadas (2,4). Identificaremos x2 e 2 como sendo as coordenadas (4,6). Aplicando a fórmula teremos: x x ( x 2) 2.( 4) 2x x x x Simplificamos todos os termos por 2, para isolarmos a variável Logo, obteremos a equação da reta s: = x 2

8 A seguir vamos aplicar a habilidade que acabamos de desenvolver com relação à equação reduzida da reta Agora é sua vez! Em uma corrida de táxi é cobrado uma taxa fixa de R$10,00 mais 2,00 por quilômetro rodado. Sabendo que o gráfico a seguir representa os valores cobrados pelo taxista em algumas viagens, determine quanto ele deverá cobrar em uma viagem de 25 km. Valores em reais Quilômetros rodados

9 Aula 46 Coeficiente angular da reta Observe a figura a seguir: k Coeficiente angular é representado pela tangente do ângulo de inclinação da reta. Para calcularmos o coeficiente angular da reta utilizamos a seguinte expressão: m = x x 1, sendo x e coordenadas de pontos que pertencem a reta. Vejamos um exemplo: Dados os pontos A (4,2) e B ( 5,3) pertencente a reta k, determine o seu coeficiente de inclinação. m = m = x x m = 1 1 m = 1 Consultando a tabela trigonométrica, podemos verificar que o coeficiente angular de valor 1 corresponde a tangente de 45. Ângulo Tangente do ângulo 3

10 Fazendo um esboço da reta e do seu coeficiente angular temos a seguinte representação gráfica: k 5 4 Inclinação da reta igual a 45 Inclinação da reta igual a x Aula 47 Equação da circunferência A equação reduzida de circunferência é dada pela seguinte expressão: (x - a)² + ( b)² = R² a partir dessa expressão vamos resolver algumas situações. 1) Dada a equação (x 4) + ( 2)= 25, determine o seu raio. Resolução: O raio da circunferência é igual a raiz quadrada do valor que está a direita do igual. Logo raio igual a 25, raio igual a 5. 2) Dada a equação (x 4)² + ( 6)² =25, determine se o ponto A (7,10) pertence a circunferência. Resolução: Para resolver este tipo de problema, basta substituir as coordenadas do ponto na equação dada. ( x 4)² + ( 6)² = 25 substituindo as coordenadas do ponto ( 7 4)² + ( 10 6)² = 25 3³ + 4² = = = 25

11 Podemos afirmar que o ponto A pertence a circunferência dada, já que substituindo as coordenadas do ponto na equação, obtivemos o valor igual ao valor do raio ao quadrado. 3) Determine a equação da circunferência com centro no ponto (2,3) e que é tangente à reta z de equação 3x = 0 Resolução: Para determinarmos a equação da circunferência, dados o centro e uma reta tangente a circunferência, vamos utilizar a expressão que nos permite calcular a distância entre ponto e reta. ax 0 b 0 a² b² c ² 4² = 5 5 O valor obtido representa a distância entre a reta e o centro da circunferência, sendo o mesmo considerado o raio. A partir desta informação, podemos obter a equação da circunferência, levando em consideração que já temos as coordenadas do centro e a medida do raio. A equação será: ( x 2)² + ( 3)² = 25 valor do raio elevado ao quadrado Coordenada x do centro Coordenada do centro A seguir vamos aplicar a habilidade que acabamos de desenvolver com relação à equação geral da circunferência.

12 Em um jogo de futebol, o jogador 1 vai bater uma falta, e deverá tocar a bola para o jogador que tiver no raio de 2 metros dele, conforme orientação de seu técnico. Levando em consideração essa orientação, o jogador 1 visualizou que ele poderia tocar a bola para o jogador 2 ou para o jogador 3. Mas, após o final do jogo seu técnico apontou que ele não cumpriu sua ordem, já que a bola foi tocada para o jogador 3. O técnico está correto, quando diz que a bola deveria ser tocada para o jogador 2 e não para o 3? (levando em consideração que o toque de bola deveria ser para o jogador que tivesse no raio de 2 metros). Informações adicionais: - o jogador 1 está localizado no centro de uma circunferência de equação (x 4)² + ( 4)² = 4. - o jogador 2 está localizado no ponto de coordenadas ( 3,6). - o jogador 3 está localizado no ponto de coordenadas ( 4,2). Agora é a sua vez! Jogador 2 Jogador 1 Jogador 3 x