Propostas de resolução. Capítulo 5 Figuras geométricas F Na figura observam-se dois pares de ângulos verticalmente opostos.

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1 Capítulo 5 Figuras geométricas F3 Pág Na figura observam-se dois pares de ângulos verticalmente opostos Logo, x 160 x + x = 360 x = x = 160 = x = 80 Portanto, x = 80 1 x = = 180 x = x = x = 60, pois r // s 14 x = x = 45 1 c e d c e e Pág a) c e b b) b e e c) a e d 3 As retas r e s deveriam ser paralelas 41 x = 180 4, ou seja, x = 138, pois r // s y = 360 x 10, ou seja, y = 10 4 x = = 105 ; z = x e y = 75 ; u = x e w = 75 Em síntese: x = u = z = 105 ; y = w = x = , ou seja, x = ( ) u = u = u = 46 y x z w = 80 = = 100 = 54 = = 16 Em síntese, x = 100, y = 80, z = 54, w = 16 e u = 46 Capítulo 5 Página 1

2 45 x = 30 ; y = = 10 ; z = = 150 Portanto, x = 30, y = 10 e z = a = = 135 ; b = c = d = 45 Assim, a = 135 e b = c = d = 45 Pág ( ) x = = = = 148 ou x = = = 148 Logo, x = ( ) x = x = x = x = x = 16 y = y = 3 54 x = 85 0 x = 65 ( ) y = y = y = 5 55 z = = 150 ; x = 30 y = = 10 Em síntese, x = 30, y = 10 e z = 150 Pág ABC ˆ = , ou seja, ABC ˆ = 95 BCA ˆ = , ou seja, BCA ˆ = 15 ( ) CAB ˆ = , ou seja, CAB ˆ = 70 6 Como num triângulo ao menor ângulo opõe-se o menor lado, então o lado é [ AB ] 71 CBA ˆ = ACB ˆ = 50 Logo, os lados [ AB ] e [ AC ] são geometricamente iguais 7 Como PRQ ˆ = 50, o triângulo é escaleno Portanto, não tem lados geometricamente iguais 73 ZUL ˆ = 40 = ULZ ˆ Portanto, os lados [ LZ ] e [ UZ ] são ângulos geometricamente iguais Capítulo 5 Página

3 81 = 33 y ; x = = 66 z = 180 ( ) = = 48 Portanto, x = 66, y = 33 e z = 48 8 x = x = x = 56 ( ) y = : y = 56 : y = 8 83 y = 60 (o triângulo é equilátero) ( ) x = : x = 130 : x = 65 ( ) z = z = z = x = x = x = 40 y = 70 (ângulos correspondentes de lados diretamente paralelos) z = 70 + x z = z = Utilizando material de desenho, obtém-se: F33 Pág São linhas poligonais as figuras: (B), (C), (E), (G) e (J) São linhas poligonais fechadas as figuras: (B), (G) e (J) São linhas poligonais abertas as figuras: (C) e (E) As figuras (A), (D), (F), (H) e (I) não são linhas poligonais Figura (B) Esta é uma união dos lados de uma linha poligonal fechada simples com a respetiva parte interna 31 O polígono tem seis lados: [ AB ], [ BC ], [ CD ], [ DE ], [ EF ] e [ FA ] Pág 8 Capítulo 5 Página 3

4 3 Por exemplo, A e B 33 Por exemplo, [ AB ] e [ BC ] Resposta: (C) 4 A afirmação é falsa Por exemplo: As diagonais [ BD ] e [ AC ] não se intersetam, assim como as diagonais[ AD ] e [ BE ] 51 O polígono é côncavo 5 O polígono tem nove diagonais 53 A afirmação é falsa O ângulo a não é interno, pois embora tenha lados contendo dois lados consecutivos do polígono e intersetar o interior do mesmo, não interseta esse interior em pontos tão próximos do vértice quanto se queira F34 Pág Polígono N de lados N de diagonais traçadas a partir de um dos vértices Número de triângulos obtidos Soma das amplitudes dos ângulos internos Soma das amplitudes dos ângulos externos Pentágono = Hexágono = Capítulo 5 Página 4

5 Heptágono = Octógono = ( ) n Como para cada vértice existem três vértices que não são extremidades de diagonais com origem no vértice dado (ele próprio e os dois consecutivos) e cada diagonal é partilhada por dois vértices distintos, então a expressão diagonais ( n ) n 3 determina o número total de 41 A soma das amplitudes dos ângulos internos do polígono é ( 4 ) 180, ou seja, 360 Assim, x = 360 ( ) = 51 4 ( ) x + x + 10 = x + 40 = 360 x = 10 x = ( ) = = 40 Logo, ( ) x = x = x = ( x ) = 1080 soma das amplitudes soma das amplitudes dos ângulos externos dos ângulos internos Resolvendo a equação em N, tem-se: n = n = 1080 n = n = O polígono tem seis lados 5 Como o polígono é regular e a soma das amplitudes dos ângulos externos é 360, então: = 4 = n n = 15 n 4 O polígono tem 15 lados 61 a) Sabe-se que a soma das amplitudes dos ângulos internos do polígono ( 18 ) 180 = 880 Pág 84 Logo, a amplitude de um ângulo interno é igual a 880 = Capítulo 5 Página 5

6 b) Como um ângulo externo é suplementar de um ângulo interno com o mesmo vértice, então a amplitude de um ângulo externo do polígono é igual a = 0 6 Dado que o polígono é regular, então a amplitude de cada ângulo externo pode ser obtida 360 pelo quociente, sendo n o número de lados do polígono n Sabe-se que um ângulo interno e um ângulo externo adjacente são ângulos suplementares, pelo que a medida da amplitude, em graus, de cada ângulo interno pode ser obtida pela expressão: Vejamos o caso do polígono do Afonso: 180n 360 n ou n Se a amplitude do ângulo interno é 150, então a amplitude de um ângulo externo é , ou seja, 30 Vejamos se existe um n natural, tal que Vejamos o caso do polígono do António: 360 = 30 Ora, n 360 n = = 1 30 Se a amplitude do ângulo interno é 130, então a amplitude de cada ângulo externo é = Vejamos se existe um n natural, tal que = 50 Ora, n Como 5 não divide 36, então n não é um número natural n = = 50 5 Conclui-se, portanto, que o Afonso pode estar a desenhar um polígono regular, mas o António não 8 Determinemos o valor de n, tal que: n = 4 = 180 n 360 = 1440, pois n N n n n n n = n = 1800 n = = O polígono tem dez lados É um decágono 11 a) Bases: [ AD] e [ BC ] Altura: [ AB ], por exemplo b) Bases: [ AB] e [ DC ] Altura: [ DF ] c) Bases: [ AB] e [ DC ] Altura: [ ED ], por exemplo 1 A 1 ( 1, 1 ) e C 1( 5, 1 ) F35 Pág 85 Capítulo 5 Página 6

7 a) Por exemplo: b) Por exemplo: B 1 (, 3 ) e D 1 ( 5, 3 ) B 1 (, 3 ) e D 1 ( 4, 3 ) c) Por exemplo: B 1 ( 3, 5 ) e D 1 ( 7, 5 ) Pág 86 3 Quadrilátero Paralelogramo obliquângulo Retângulo Representação Propriedades relativas aos lados Lados opostos paralelos e geometricamente iguais Lados opostos paralelos e geometricamente iguais Propriedades relativas aos ângulos Ângulos opostos são geometricamente iguais Ângulos adjacentes a um lado não suplementares Quatro ângulos retos Propriedades relativas às diagonais As diagonais bissetam-se As diagonais bissetam-se e são geometricamente iguais Simetrias Tem duas simetrias de rotação de centro na interseção das diagonais e amplitudes 0 e 180 Não tem simetria de reflexão Tem duas simetrias de rotação de centro no ponto de interseção das diagonais e amplitudes 0 e 180 Tem duas simetrias de reflexão Capítulo 5 Página 7

8 Losango Quadrado Trapézio isósceles Papagaio Lados opostos paralelos e geometricamente iguais Lados opostos todos paralelos e geometricamente iguais Um par de lados opostos paralelos Um para de lados opostos não paralelos geometricamente iguais Dois pares de lados consecutivos geometricamente iguais Ângulos opostos geometricamente iguais Ângulos adjacentes a um lado são suplementares Quatro ângulos retos Ângulos adjacentes e lados paralelos geometricamente iguais Um par de ângulos opostos geometricamente iguais As diagonais bissetam-se e são perpendiculares As diagonais bissetam-se, são geometricamente iguais e não perpendiculares Diagonais geometricamente iguais Perpendiculares e apenas uma é bissetada Tem duas simetrias de rotação de centro no ponto de interseção das diagonais de amplitude 0 e 180 Tem duas simetrias de reflexão Tem quatro simetrias de rotação de centro no ponto de interseção das diagonais de amplitude 0, 90, 180 e 70 Tem quatro simetrias de reflexão Não tem simetrias de rotação Tem uma simetria de reflexão Não tem simetrias de rotação Tem uma simetria de reflexão 41 retângulo, losango e quadrado 4 retângulo e quadrado 43 losango e quadrado 44 losango, quadrado e papagaio 5 O trapézio isósceles ficou dividido em dois trapézios retângulos geometricamente iguais Capítulo 5 Página 8

9 6 A afirmação é falsa Um papagaio é um quadrilátero com dois pares de lados consecutivos geometricamente iguais, enquanto o losango tem os quatro lados geometricamente iguais Assim, o losango é que é um caso particular de um papagaio F36 Pág Todos, exceto os polígonos I e K 13 A, B, C, D, E, F, G e L 15 H, J e K 17 A, C, D, E e F 19 C, D e F 111 A, C e D 1 C e D 14 C, D, F, H e K 16 G 18 B 110 L 11 I e J Por exemplo, o papagaio [ ABCD ] Pág 88 3 Pelas características do paralelogramo, sabemos que as diagonais se bissetam e, portanto, AO = OC e BO = OD Assim, obtém-se: 4 Utilizando material de desenho e medida, tracemos os lados consecutivos [ AB ] e [ BC ] com comprimento igual a cm e 3 cm, respetivamente, cujo ângulo formado é obtuso Em seguida, tracemos dois segmentos de reta [ CD ] e [ AD ] paralelos e geometricamente iguais aos lados [ AB ] e [ CD ], respetivamente Capítulo 5 Página 9

10 51 O primo do Afonso poderá responder losango ou quadrado 5 O Afonso deveria referir: Um paralelogramo cujas diagonais são perpendiculares e geometricamente iguais ou Um paralelogramo em que os quatro ângulos são retos e os quatro lados geometricamente iguais 61 Efetuando a reflexão do eixo AB, obtém-se um triângulo geometricamente igual ao triângulo [ ABO ] Cada segmento, com extremos distintos de pontos do eixo de reflexão, é transformado num segmento paralelo As diagonais do retângulo bissetam e são geometricamente iguais, pelo que AO = OB Portanto, os lados opostos do quadrilátero [ AEBO ] são paralelos e os quatro lados são geometricamente iguais 6 De forma análoga à questão anterior se constrói o losango [ COBF ] 7 As diagonais de um retângulo bissetam-se e são geometricamente iguais Os lados opostos são paralelos e geometricamente iguais Traçando as diagonais com 6 cm de comprimento e formando entre si um ângulo com amplitude 60, obtém-se: Capítulo 5 Página 10

11 F37 Pág O paralelogramo é equivalente a um quadrado, ou seja, têm a mesma área Determinemos a área do paralelogramo: A ( ) = 8 18 cm = 144 cm Como a área do paralelogramo é 144 cm, então pretende-se determinar o perímetro de um quadrado de área 144 cm Determinemos o comprimento do lado do quadrado: l = 144 cm = 1 cm Logo, o perímetro do quadrado é igual a 4 1 cm, ou seja, 48 cm 1 a) O quadrilátero [ EFCD ] é um retângulo, pois DE e CF são geometricamente iguais, dado que são perpendiculares às bases do paralelogramo b) Os triângulos [ AED ] e [ BCF ] são geometricamente iguais, (critério LAL) pois: AD = BC (é um paralelogramo) DE = CF ADE ˆ = BCF ˆ (ângulos de lados paralelos agudos) c) A [ ABCD] 8 16 = m = m A área do paralelogramo [ ABCD ] é igual a 16 9 m D d A área do losango é dada pela expressão: A =, de onde D é o comprimento da diagonal maior e d é o comprimento da diagonal menor D d 4 d 40 = 10 = 10 4 d = 10 d = d = 10 4 O comprimento da diagonal do losango é igual a 10 cm Pág A área da figura é dada por:,5,3 A = ( 4,5 ) + cm = ( 10 +,875 ) cm = 1,875 cm A área da figura é igual a 1,875 cm 3 A área do losango é dada por: 4 A = cm = 4 cm A área do losango é igual a 4 cm Capítulo 5 Página 11

12 33 A área do paralelogramo é dada por: ( ) A = 3,8 cm = 8, 4 cm A área do paralelogramo é igual a 8,4 cm 34 A área, em cm, da figura pode ser obtida da seguinte forma: 3 +,5 A = 3 = 9 ( 3 +,5 ) = 9 5,5 = 3,5 A área da figura é igual a 3,5 cm 4 A área, em cm, do quadrado maior é dada por: A = + = + = = A área, em cm, do quadrado colorido a verde á dada por: A = 1 cm = 1 cm A área, em cm, dos quatro trapézios é dada por: A = 1= = Assim, cada trapézio tem de área 55 : 4 9 Determinemos a altura, a, do trapézio: cm, ou seja, cm a = 3 a = a = a = : a = a = A altura do trapézio é igual a 5 6 cm Vejamos outro processo para resolver a questão, bem mais simples: Podemos observar a seguinte igualdade: a + 1= + 3 Determinemos o valor de a: 5 a 5 5 a + 1= + a = + 1 a = = : a = A medida da altura do trapézio é igual a 5 6 cm 5 Os triângulos [ ABE ] e [ AED ] são geometricamente iguais, pois [ AC ] bisseta a diagonal [ DB ] e é-lhe perpendicular Assim, a área do triângulo [ ABD ] é 10 cm Capítulo 5 Página 1

13 Determinemos DB, em cm: DB AE = 10 DB 3 = 0 DB = 0 3 Portanto, a área do papagaio [ ABCD ] é dada por: A [ ABCD] = 3 = = = 6 3 A área do papagaio [ ABCD ] é 50 3 cm 3 6 Ora, 6 = 6 + = Como a área do trapézio é dada por maior e menor, respetivamente e a é a altura Assim, 3 B + b a = 11 5 a = 11 a = 11 a = = A altura do trapézio é cm B + b a, onde B e b são os comprimentos das bases F38 Pág a) A figura Q b) As figuras M ou L c) As figuras E e G; as figuras N e P ou as figuras J e L d) A figura M e) A figura A f) Por exemplo, as figuras I e H ou F e G Pág 9 Ampliação; r = 1,5; Redução: r = 0,5 Capítulo 5 Página 13

14 3 41 Resposta: (C) 4 Resposta: (C) F39 Pág ,5 1 a) Ora, = 1,5 3,5 Logo, a razão de semelhança é 1,5 b) Estabelecemos as seguintes igualdades: 5,5 = 3,9 x = 3,5 3,9 x =,6 3,5 x 5,5 Por outro lado, 5,5 y 5,5 = y = y = 3 3,5 3,5 Portanto, x =,6 cm e y = 3 cm Capítulo 5 Página 14

15 Pág 94 1 A afirmação é verdadeira Quaisquer dois quadrados são semelhantes, pois os ângulos internos de cada um são todos retos, logo geometricamente iguais, e é sempre igual a y qualquer quociente entre x os comprimentos de dois lados A afirmação é falsa Os comprimentos dos lados correspondentes têm de ser diretamente proporcionais Por exemplo: os retângulos têm os ângulos geometricamente iguais, mas nem sempre são semelhantes 3 Falsa Dois polígonos regulares com o mesmo número de lados são semelhantes 31 Ora, o perímetro do retângulo [ ABCD ] é igual a 14 cm Se se pretende um retângulo [ A' B ' C ' D '] semelhante ao retângulo dado com perímetro 7 cm igual a 7 cm, conclui-se que a razão de semelhança r, é r = = 0,5 cm 14 cm Assim, pretende-se desenhar um retângulo com comprimento,5 cm e largura 1 cm A razão de semelhança é 0,5 1 cm 3 Analogamente, conclui-se que a razão de semelhança é r = = 1,5 cm 14 cm Assim, pretende-se desenhar um retângulo com comprimento 7,5 cm e largura 3 cm Capítulo 5 Página 15

16 A razão de semelhança é 1,5 33 Sabe-se que a razão entre os perímetros de dois polígonos A e B é igual à razão de semelhança que transforma o polígono B no polígono A Por outro lado, a razão entre as áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança 8 cm Ora, = = cm 14 cm r Como a área do retângulo [ ABCD ] é igual a ( ) 10 cm, então a área do retângulo pedido é igual a ( ) 5 cm, ou seja, 10 cm, ou seja, 40 cm 4 Vejamos se existe uma correspondência que preserve as condições de proporcionalidade entre os lados: 6 3,45 4,5 = = = 1,5 4,3 3 Portanto, os quadriláteros são semelhantes, pois têm o mesmo número de lados e existe uma correspondência entre eles tal que os comprimentos dos lados correspondentes são diretamente proporcionais e os ângulos formados por esses lados são geometricamente iguais A razão de semelhança é 1,5 F40 Pág a) a 1 ) OF = 3OB ; OE = 3OA ; EF = 3AB OF OE EF Assim, = 3; = 3 e = 3 OB OA AB OF OE EF Logo, = = OB OA AB OG 4OA 4 a ) OG = 4 OA e OE = 3OA Logo, = = OE 3OA 3 OH 4OA 4 Da mesma forma, OH = 4 OA e OF = 3OA Logo, = = OF 3OA 3 Analogamente, GH 4AB 4 GH = 4 AB e EF = 3AB Logo, = = EF 3AB 3 Conclui-se, assim, que = = OG OH GH OE OF EF Capítulo 5 Página 16

17 OI AJ IJ b) = = OC OD CD AC AB BC 1 a) = = CD DE CE AC AB b) Como = CD DE, então 6 = 9 DE Logo, 9 DE = cm = 3 cm 6 Pág 96 Por exemplo: 31 Pelo Teorema de Tales, tem-se AM MN 4 cm MN 1,5 cm 4 cm = = MN = = 3 cm AB BC cm 1,5 cm cm Portanto, MN = 3 cm 3 Pelo Teorema de Tales, tem-se: AM AN 4 cm AN 4 cm,5 cm = = AN = = 5 cm AB CN cm,5 cm cm Logo, CN = 5 cm,5 cm =,5 cm 41 Pelo Teorema de Tales, tem-se: OC OD 6 cm 9 cm 9 cm 4 cm = = OB = = 6 cm OA OB 4 cm OB 6 cm Logo, OB = 6 cm 4 Pelo Teorema de Tales, tem-se: OC CD 6 cm 4,5 cm 4,5 cm 4 cm = = AB = = 3 cm OA AB 4 cm AB 6 cm AB = 3 cm Capítulo 5 Página 17

18 5 Utilizando régua e compasso, obtém-se: AB = CD = DE = EF = FB = 1 AB 5 F41 Pág Os triângulos A e B são semelhantes atendendo ao critério AA 1 Os triângulos A e B são semelhantes atendendo ao critério AA 13 Os triângulos A e B são semelhantes atendendo ao critério AA 14 Vejamos se os comprimentos dos lados do triângulo B são diretamente proporcionais aos comprimentos dos lados correspondentes do triângulo A (critério LLL): 7,5 6 3 = = = 1,5 5 4 Logo os triângulos A e B são semelhantes 15 Os triângulos A e B são semelhantes atendendo ao critério LAL 16 Não se pode afirmar nada sobre a semelhança dos triângulos Em síntese, os pares de triângulos semelhantes são os de: 11; 1; 13; 14 e 15 Pág 98 1 Como a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180, então: MRA ˆ = 63 e SLO ˆ = 7 Os triângulos são semelhantes pelo critério AA AM AR MR = = OL SL SO 3 Os triângulos da figura são semelhantes pelo critério AA Assim, a altura, h, do ecrã, em centímetros é dada por: 40 = 50 h = = 960 h A altura do ecrã é igual a 9,6 m Capítulo 5 Página 18

19 4 Sabe-se que os triângulos são semelhantes Pelos dados da figura, tem-se: 15 x x 100 = 15x = 5x x 5x = x = 100 = x = 10 5 x Os triângulos da figura são semelhantes de acordo com o critério AA 15 h 5 15 = h = h = 1, A altura do castelo é igual a 1,5 m F4 Pág Homotetia direta de centro O e Homotetia inversa de centro O e razão r = 4 = = razão r = H O, 3 3 H O ', Capítulo 5 Página 19

20 Pág Consideremos o paralelogramo [ ABCD ], onde as diagonais são geometricamente iguais Pelo critério LLL, os triângulos [ ABD] e [ ACD ] são geometricamente iguais (nota que AD = BC ) Logo, os ângulos ADC e DAB são geometricamente iguais, pois opõem-se a lados geometricamente iguais em triângulos geometricamente iguais Como os ângulos são suplementares, então ADC ˆ = DAB ˆ = 90 Da mesma forma se conclui que DCB ˆ = CBA ˆ = 90 Logo, o paralelogramo [ ABCD ] é um retângulo Mostremos que as diagonais de um retângulo são geometricamente iguais Consideremos que o paralelogramo [ ABCD ] é um retângulo Pelo critério LAL, os triângulos [ ABD] e [ ACD ] são geometricamente iguais Logo, DB = AC, pois opõem-se a ângulos geometricamente iguais em triângulos geometricamente iguais DA' DC ' AC ' Pelo Teorema de Tales tem-se que: = = = = DA DC AC Logo, pelo critério LLL os triângulos são semelhantes 31 e 3 OA' = OA 5 Capítulo 5 Página 0

21 33 a) Consideremos, por exemplo, o ponto B b) 1 = 1+ = OA' OB ' A' B ' 3 = = = OA OB AB F43 Pág a) Área do círculo B: ( r ) π 3 = 9πr Área do círculo A: π 3 = 9 π Logo, a razão entre as áreas dos círculos B e A é 9πr 9π = r A razão entre as áreas dos círculos é igual ao quadrado da razão dos seus raios, ou seja, igual ao quadrado da razão de semelhança b) Área do quadrado C: 4 Área do quadrado D: ( r ) 4 = 4 r Logo, a razão entre as áreas dos quadrados D e C é 4 r 4 = r A razão entre as áreas dos quadrados D e C é igual ao quadrado da razão dos comprimentos dos seus lados, ou seja, igual ao quadrado da razão de semelhança Capítulo 5 Página 1

22 1 A = 6 8 cm = 4 cm ; P = ( ) cm = 4 cm A área do triângulo é 4 cm e o perímetro é 4 cm a) ( ) ( ) A' = A cm = 4 4 cm = 96 cm ; P ' = ( P ) cm = ( 4 ) cm = 48 cm b) A' = A cm = 4 cm = cm (ou 1,5 cm ) P ' = P cm = 4 cm = 6 cm 4 4 Pág Determinemos a razão de semelhança, r, que transforma o triângulo A no triângulo B: r 9 3 = = 6 Logo, 3 h = 4 cm = 6 cm 3 P ( ) A = cm = 16 cm O perímetro do triângulo A tem 16 cm de medida PB = P A = 16 cm = 4 cm O perímetro do triângulo B tem 4 cm de medida 34 Determinemos a área do triângulo A: A A 6 4 = cm = 1 cm Como a razão entre as áreas dos triângulos é igual ao quadrado da razão de semelhança, então: A B 3 9 = 1 cm = 1 cm = 7 cm 4 A área do triângulo B é igual a 7 cm GF 1 41 a) r = = = CB 4 KJ 6 3 b) r = = = CB a) r = = 4 b) r = = Capítulo 5 Página

23 43 a) P [ ] ( ) ABC = cm = 1 cm 1 1 = = 1 cm = 6 cm b) P[ ] P EFH [ ABC] = = 1 cm = cm = 18 cm c) P[ ] P IJL [ ABC] F44 Pág a) CF = 6DE ; AB = 4DE CF 6DE 3 Logo, = = AB 4DE b) CF = DF ; AB = 4DE 1 DF = 3DE DF = DE Portanto, AB = 4 DF = DF 3 3 CF DF 3 3 Logo, = = = AB 4 DF 4 3 c) CF = 6DE e CE = 4DE, pelo que DE = 1 CE Portanto, CF = 6 CE = CE 4 Como AB = CE, então 3 CE CF 3 = = AB CE 1 Os quocientes mantêm-se independentemente da unidade de comprimento considerada 13 a) AF = 1DE Portanto, AF = 1 unidades, tomando o comprimento de [ DE ] como unidade b) CE = 4DE Logo, AF 1 DE = = 3 CE 4 DE Portanto, AF = 3 unidades, tomando o comprimento de [ CE ] como unidade Capítulo 5 Página 3

24 c) BD = 5DE Logo, AF 1 DE 1 = = BD 5 DE 5 Portanto, AF = 1 unidades, tomando o comprimento de [ BD ] como unidade 5 Pág 104 CD m ' 1 = AB m v = u ; AB = m ; CD = m ' CD m ' m ' Logo, = = AB m m 3 EF = 3CD ; CD = m ', tendo u por unidade Logo, EF = 3 m ' 31 Ora, AB = 5AF Determinemos BC a partir da seguinte construção: AB 5AF Logo, BC = 5AF Portanto, = = 1 BC 5AF 3 Não, pois o cateto e a hipotenusa de um triângulo isósceles não são comensuráveis 3AF 4AF A = 5 AF = = 5 AF + 6 AF = 31 AF 33 [ ABCDE] ( ) A área da figura é igual a 31 AF A5 Pág A 1 ( 4, 0 ) ; B 1 (, 4 ) ; C 1 ( 4, 1 ) Capítulo 5 Página 4

25 1 Consideremos o referencial e os pontos A, B e C Portanto, D 1 ( ), 5 1 Os triângulos [ AMP] e [ ] igualdade de triângulos CNM são geometricamente iguais atendendo ao critério LAL de CM = MA, pois M é o ponto médio do lado [ AC ] NMC ˆ = PMA ˆ, pois são ângulos verticalmente opostos PM = MN, por hipótese Como os triângulos [ ] e [ ] Logo, os lados [ ] e [ ] AMP CNM são geometricamente iguais, então CNM ˆ = APM ˆ CA CB AP BN são paralelos Como, = =, então pelo recíproco do CM CN Teorema de Tales, os lados [ PN] e [ AB ] são paralelos Portanto, [ ABNP ] é um paralelogramo pois é um quadrilátero com os lados opostos paralelos 31 Consideremos a diagonal [ AC ] do quadrilátero [ ABCD ] Dado que os pontos O e P são ponto médio de [ ] e [ ] DA DC CD AD, respetivamente, então = = DP DO Capítulo 5 Página 5

26 Pelo recíproco do Teorema de Tales conclui-se que [ PO ] é paralelo a [ AC ] De forma, análoga, conclui-se que [ MN] // [ AC ] Pela relação de transitividade do paralelismo, conclui-se que os lados [ MN] e [ ] paralelos De forma semelhante, os lados [ PM] e [ ] ON também são paralelos PO são Portanto, o quadrilátero [ MNOP ] é um polígono com os lados opostos paralelos, pelo que é um paralelogramo 3 a) Como ON = OP = PM = MN, pois são diagonais de quadrados geometricamente iguais, [ MNOP ] é um losango Como as diagonais [ PN] e [ ] [ MNOP ] é um quadrado OM são perpendiculares e geometricamente iguais, então b) Como os triângulos em que foi decomposto o quadrado[ ABCD ] são geometricamente iguais, conclui-se que a área do quadrado [ ABCD ] é igual ao dobro da área do quadrado [ ] MNOP Ou seja, A[ ] = A ABCD [ MNOP] Pág Determinemos a razão de semelhança que transforma o triângulo [ MAR ] num triângulo cujo comprimento do lado maior mede 39 cm Ora, r = 39 Assim, o lado do triângulo 6 transformado, correspondente ao lado [ MA ] do triângulo [ MAR ] tem de comprimento 39 4 cm = 36 cm Por sua vez, o lado do triângulo transformado, corresponde ao lado 6 [ AR ] do triângulo [ ] MAR tem de comprimento cm = cm 6 6 Portanto, o triângulo transformado tem os lados com comprimento 38 cm, 36 cm e 65 6 cm Capítulo 5 Página 6

27 51 Os triângulos [ ABC] e [ ] CDE são semelhantes atendendo ao critério LAL AC CD BC = = 0 e DCE ˆ = ACB ˆ, pois são ângulos verticalmente opostos CE AC AB AB 5 Ora, como os triângulos são semelhantes, então = 8 = AB = 48 CD DE 6 A distância entre as lanchas é 48 m 4 6 Determinemos a razão da redução: r = = 10 5 Como a razão entra as áreas dos polígonos semelhantes A e B é igual ao quadrado da razão de semelhança que transforma o polígono B no polígono A, então a área, em cm, do triângulo novo é dada por: A área do novo triângulo é 8 cm 4 50 = 50 = Os triângulos dados são semelhantes atendendo ao critério LAL partilham o mesmo ângulo OM ' ON ' = = 1,5 OM ON 7 A razão de semelhança é igual ao valor absoluto da razão da homotetia Como a razão de semelhança de semelhança que transforma o triângulo [ ONM ] no triângulo [ O ' N ' M '] é 1,5, então a razão de semelhança que transforma o triângulo [ O ' N ' M '] no triângulo [ ONM ] é 73 N ' M ' = 3 NM = 3 cm = 3 cm 8 Se a razão entre as áreas do quadrado [ ABCD ] e o quadrado transformado é 9, então a razão 16 de semelhança associada é 9 3 = ,5 1, ou seja, = 3 3 Capítulo 5 Página 7