1. Progressão aritmética Resumo e lista

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1 Colégio Estadual Conselheiro Macedo Soares ª ano do Ensino Médio Atividade de Matemática do 1º bimestre de 019 Conteúdo: Progressão aritmética, Progressão geométrica Aluno(s):... N o(s) :... Aluno(s):... N o(s) :... Pontuação:... Professor: Fábio Vinícius Turma:... Data:.../.../... Valor obtido:... [X] Para o lar [X] Individual [X] Dupla [X] Trio [X] Quatro ou mais [X] Consulta caderno [X] Consulta folha [X] Consulta livro [X] Consulta internet [X] Calculadora [X] Grafite [X] Azul/Preta [X] Corretivo [X] Rasura [X] Rascunho Apresente suas soluções de forma clara, indicando, em cada caso, o raciocínio que conduziu à resposta. 1. Progressão aritmética Resumo e lista Termos de uma PA (a 1, a = a 1 + r, a 3 = a 1 + r, a 4 = a 1 + 3r, ); Razão: a diferença entre um termo e seu antecessor, ou seja, r = a a 1 = a 3 a = a 4 a 3 = Termo geral: a n = a k + ( n k ) r Soma dos n primeiros termos: (a 1+a n ) n = (a +a n 1 ) n = (a 3+a n ) n = Representação de cinco termos com razão igual a r: (x r; x r; x; x + r; x + r). Representação de quatro termos com razão igual a r: (x 3r; x r; x + r; x + 3r). Questão 1.1. Determine a soma dos 0 primeiros termos de uma progressão aritmética sabendo que o terceiro termo é 7 e o oitavo termo é 7. Uma solução: Como sabemos, S 0 = (a 1+a 0 ) 0 = (a +a 19 ) 0 = (a 3+a 18 ) 0 = (*) E nesse caso, como já temos a 3 = 7 e a 8 = 7 podemos calcular o valor da razão e, em seguida, o valor do 18 termo da progressão aritmética. Utilizando a fórmula do termo geral temos que a 8 = a r 7 = 7 + 5r onde temos que r = 13 e, portanto, vamos ter a 18 = a r = = = 0. Concluindo a questão utilizando (*) temos que S 0 = (7+0) 0 = = 090. Questão 1.. Os números 10, x, y, z, 70 estão em progressão aritmética. Quanto vale x + y + z? Uma solução: Utilizando a regra do termo central de uma progressão aritmética, concluímos que y = = 80 = 40, x = = 50 = 5 e que z = = 110 = 55 e portanto, x + y + z = = 10. Uma outra solução: Utilizando algumas das propriedades das progressões aritméticas concluímos que y = = 80 = 40 e que x + z = = 80 e portanto, y + x + z = = 10. Uma outra solução: Utilizando a fórmula do termo geral podemos dizer que 70 = r r = 15 e, portanto, temos que x = 5, y = 40 e z = 55 e sendo assim, concluímos que x + y + z = 10. fabiovinicius.mat.br 1 3 de março de 019

2 Questão 1.3. José Roberto decidiu comprar um carro novo em 48 parcelas iguais e não desembolsar dinheiro algum com a entrada. As parcelas, a partir da segunda, terão desconto de R$ 5,00 em relação ao valor pago na parcela anterior. Se José Roberto pretende pagar R$ 500,00 pela última parcela, o valor que ele deverá desembolsar na primeira parcela é: (a) R$ 735,00 (b) R$ 745,00 (c) R$ 780,00 (d) R$ 815,00 (e) R$ 880,00 Gabarito: (a) Questão 1.4. Um atleta nadou, hoje, 500 metros. Nos próximos dias, ele pretende aumentar gradativamente essa marca nadando, a cada dia, uma mesma distância a mais do que nadou no dia anterior. No 15 dia, ele quer nadar metros. Determine: a) a distância que deverá nadar a mais por dia; b) a distância que deverá nadar no 10º dia. Gabarito: a) r = 00 m; b) a 10 =.300 m Questão 1.5. O dono de uma fábrica pretende iniciar a produção com.000 unidades mensais e, a cada mês produz 175 unidades a mais. Mantidas essas condições, em um ano quantas unidades a fábrica terá produzindo no total? Gabarito: S 1 = Questão 1.6. Ache a soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 50 e 00. Gabarito: 65 Questão 1.7. Numa sequência aritmética de 13 termos, sabe-se que a 5 = 6 e a 13 = 58. Dê a soma de todos os termos. Gabarito: 44 Questão 1.8. Determine os cincos meios aritméticos entre e 50? Gabarito: ( ; 10; 18; 6; 34; 4; 50 ) Questão 1.9. Interpolar cincos meios aritméticos entre 4 e 50. Gabarito: ( 4; 45; 86; 17; 168; 09; 50 ) Questão Determinar o termo geral da sequência (8, 15,, 9, 36, ). Gabarito: a n = 1 + 7n Questão Camila estabeleceu como meta para seus treinos que cada semana nadaria 400 metros a mais que na semana anterior. Sabe-se que, na segunda semana, ela nadou m. Quantos metros nadará na décima semana? Gabarito: metros Questão 1.1. Determinar o valor de x para que a sequência (x 7, x 1, x + 8x + 16) seja uma PA e escrever todos os termos. Gabarito: para x = 11, obtemos (15, 10, 5) e para x = 1, obtemos ( 9, 0, 9). Questão Quantos múltiplos de 6 existem entre e 5.000? Uma solução: A sequência dos múltiplos de 6 é uma PA de razão 6. O primeiro múltiplo de 6 existente nesse intervalo é a 1 = 4.00 e o último é a n = Substituindo esses valores na fórmula do termo geral, obtemos: a n = a 1 + (n 1) r 4998 = (n 1) 6 e sendo assim, n 1 = portanto, n = 167. fabiovinicius.mat.br 3 de março de 019 = = 166 e,

3 Questão (Desafio) Determinar os cinco termos de uma PA sabendo que o produto dos extremos é igual a 48 e que a soma dos demais termos é igual a 1. Gabarito: ( 4; 0; 4; 8, 1) Questão Calcule o valor de um imóvel vendido a um cliente nas seguintes condições: 1ª parcela de R$ 600,00 e, daí em diante, parcelas que aumentam R$ 5,00 a cada mês, até completar o pagamento, em 1 anos. Gabarito: R$ ,00 Questão Uma academia de ginástica oferece o seguinte plano anual: em janeiro, o aluno paga R$ 140,00. A partir daí, o valor da mensalidade decresce R$ 8,00 a cada mês. a) Quanto o aluno pagará no oitavo mês do plano? b) Que valor total anual o aluno pagará? c) Em um ano, em média, quanto o aluno pagará por mês? Gabarito: a) R$ 84,00; b) R$ 1.15,00; c) R$ 96,00 Questão Quantos termos da PA (3; 19; 35; ) devem ser somado para que S n = 47? Gabarito: 8 termos Questão A soma dos 30 primeiros termos de uma PA é Sabendo que a razão que a razão é 7, determine o seu décio termo. Gabarito: 68 Questão Calcule a soma dos múltiplos de 6 compreendidos entre 30 e 650. Gabarito: Questão 1.0. Resolva a equação x + 7x x x 10 = 46. Uma solução: Reescrevendo a equação teríamos 5x+7x+9x+11x+13x+15x+17x 10 77x = 460 x = = 60 = 5x+7x 10 = 46 Questão 1.1. Um teatro tem 448 lugares, distribuídos da seguinte maneira: na primeira fila há 13 poltronas; na segunda, 15; na terceira, 17; e assim sucessivamente, até completar n filas. Determine o número total de filas desse teatro. Gabarito: 16 fabiovinicius.mat.br 3 3 de março de 019

4 . Progressão geométrica Resumo e lista Termos de uma PG (a 1, a = a 1 q, a 3 = a 1 q, a 4 = a 1 q 3, ); Razão: o quociente entre um termo e seu antecessor, ou seja, q = a : a 1 = a 3 : a = a 4 : a 3 = Termo geral: a n = a k q n k Soma dos n primeiros termos: a 1 (q n 1) = a (q n 1 1) = a 3 (q n 1 1) = Soma dos infinitos termos: a 1 1 q Representação de cinco termos com razão igual a q: (x q ; x q 1 ; x; x q; x q ). Representação de quatro termos com razão igual a q : (x q 3 ; x q 1 ; x q; x q 3 ). Questão.1. Classifique as progressões geométricas abaixo. a) ( 8, 4,, 1, ) b) ( 3, 6, 1, 4, ) c) ( 3, 9, 7, 81, ) d) ( 8, 4,, 1, ½, ) e) ( 7, 7, 7, 7, ) f) ( 0, 0, 0, 0, ) g) ( 3, 0, 0, 0, ) h) (, 10, 50, 50, ) i) ( 7, 14, 8, 56, ) Gabarito: a) Como 8 = a 1 < 0 e 0 < q = ½ < 1 temos que a sequência é crescente. b) Como 0 < a 1 = 3 e 1 < q = temos que a sequência é crescente. c) Como a 1 = 3 < 0 e 1 < q = 3 temos que a sequência é decrescente. d) Como 0 < a 1 = 8 e 0 < q = ½ < 1 temos que a sequência é decrescente. e) Como a 1 0 e q = 1 temos que a sequência é constante. f) Como a 1 = 0 e q R temos que a sequência é constante. g) Como a 1 0 e q = 0 temos que a sequência é estacionária. h) Como 0 < a 1 = e q = 5 < 0 temos que a sequência é oscilante. i) Como a 1 = 7 < 0 e q = < 0 temos que a sequência é oscilante. Questão.. Determinar o oitavo termo da progressão geométrica ( 3, 18, 108, ). Gabarito: Questão.3. Qual é a lei de formação da PG ( 5, 10, 0, ) em função do primeiro termo e da razão? Gabarito: a n = 5 ( ) n 1 Questão.4. Quais são os cinco primeiros termos da PG em que a 1 = 4 e q = 6? Gabarito: ( 4, 4, 144, 864, ) Questão.5. Uma dívida triplica a cada ano. Se hoje a dívida é de R$ 11,00, qual será seu valor após cinco anos? Gabarito: R$ 7.16,00 Questão.6. Um atleta corre, a cada dia, o dobro da distância que correu no dia anterior. Sabendo que esse atleta correu m no quanto dia de treinamento, qual é a distância que ele correrá no sexto dia? Gabarito: m Questão.7. Uma população de bactérias dobra seu número a cada 30 minutos. Considerando que o processo se inicia com uma única bactéria, quantas existirão após 4 horas e 30 minutos? Gabarito: 51 bactérias Questão.8. A sequência ( x, x, x ) forma uma PG crescente. Determine o valor de x. Gabarito: x = 4 fabiovinicius.mat.br 4 3 de março de 019

5 Questão.9. Interpole quatro meios geométricos entre 6 e 19. Gabarito: ( 6, 1, 4, 48, 96, 19 ) Questão.10. Três números, que estão em PG, têm soma 105 e produto Determine esse números. Gabarito: 15, 30 e 60 Questão.11. Calcular a soma dos sete primeiros termos da PG ( 6, 18, 54, ) Gabarito: Questão.1. Determinar o valor de x na sentença 4x + 16x = 10.90, sabendo que os termos do primeiro membro formam uma PG. Gabarito: Questão.13. A cada ano, o número de passageiro de uma empresa de ônibus cresce 4%. Se em 011 foram transportadas pessoas, calcule o total de passageiros transportados de 011 a 017. Gabarito: passageiros Questão.14. Em janeiro do ano passado, uma empresa produziu unidades de certo produto. A partir de fevereiro, a cada mês, a produção foi 15% maior que no mês anterior. Determine a quantidade total de unidades que essa empresa produziu nesse ano. Gabarito: aproximadamente unidades Questão.15. No sábado passado, Paula enviou uma mensagem por para três amigos. No dia seguinte, cada amigo de Paula que recebeu o enviou-o para três amigos e assim por diante. Se nenhuma pessoa recebeu a mensagem mais de uma vez, descubra quantas pessoas receberam a mensagem até o sábado seguinte. Gabarito: pessoas Questão.16. Determine o valor de Gabarito: 0 Questão.17. Determinar a fração geratriz de cada dízima periódica. a) 0,444 b) 0, c) 0, d) 7,64555 Gabarito: a) 4 45 ; b) = ; c) = 639 = ; d) = Questão.18. Imagine que um atleta corra 0 km no primeiro dia de treinamento, 10 km no segundo, 5 km no terceiro e assim sucessivamente, até parar de correr. Que distância total ele percorre? Gabarito: 40 km Questão.19. Uma bola é solta da altura de 100 m, atinge o solo e sobe a uma altura igual à metade da anterior. Esse movimento ocorre sucessivamente até ela parar. Qual é a distância total percorrida pela bola? Gabarito: 300 m Questão.0. Considere um quadrado de lado a. Unindo-se os pontos médios dos lados desse quadrado, obtém-se um novo quadrado. Unindo-se os pontos médios dos lados do novo quadrado, obtém-se um terceiro quadrado e assim por diante. Qual é o limite da soma das áreas determinadas por esses quadrados? Gabarito: a fabiovinicius.mat.br 5 3 de março de 019