I CAPÍTULO 19 RETA PASSANDO POR UM PONTO DADO

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1 Matemática Frente I CAPÍTULO 19 RETA PASSANDO POR UM PONTO DADO 1 - RECORDANDO Na última aula, nós vimos duas condições bem importantes: Logo, se uma reta passa por um ponto e tem um coeficiente angular, a sua equação é Condição para que duas retas r e s sejam paralelas; A seguir, vamos mostrar várias situações em que essa fórmula pode ser aplicada. Condição para que duas retas r e s sejam perpendiculares; Na aula de hoje, nós vamos aplicar essas duas condições para resolver diversos problemas de Geometria Analítica. 3 - RETAS PARALELAS Imagine o seguinte problema: dada uma reta e um ponto, queremos determinar a equação de uma reta paralela a e que passe por. 2 - FÓRMULA Até agora, sempre que nós queríamos saber a equação de uma reta, nos precisávamos de duas informações: as coordenadas de um ponto (primeira informação) e as coordenadas de outro ponto (segunda informação). Nesta aula, vamos mostrar uma abordagem diferente: em vez das coordenadas de dois pontos, as duas informações para determinar a equação de uma reta serão as coordenadas de um único ponto dado (primeira informação) e o coeficiente angular da reta (segunda informação). Seja a equação de uma reta que passa por um ponto dado. Seja um outro ponto qualquer da reta. Então, tem-se: Figura 2 reta paralela a e passando por um ponto dado Exercício Resolvido 1: Sejam e. Determine a equação de uma reta, onde passa por e é paralela à reta. Para determinar a equação da reta, precisamos de um ponto de e do seu coeficiente angular. Felizmente, já temos esse ponto, pois. Assim, só falta descobrir : Figura 1 reta r passando por um ponto dado Resposta: a equação da reta é 17 MAT I CASD Vestibulares

2 Exercício Resolvido 2: Como a altura relativa ao lado deve passar pelo ponto (que é oposto ao lado ), o Sejam e. ponto deve pertencer à reta. Agora só Determine a equação de uma reta, onde passa precisamos do seu coeficiente angular. por e é paralela à reta. Como um lado é perpendicular à sua respectiva altura, tem-se que e devem ser retas perpendiculares. Então: Novamente, para determinar a equação da reta s, precisamos de um ponto de e do seu coeficiente angular. Felizmente, já temos esse ponto, pois. Assim, só falta descobrir. Mas primeiro vamos descobrir, obtendo a equação reduzida da reta : Resposta: a equação da reta é Resposta: a equação da reta s é 4 - ALTURA DO TRIÂNGULO Agora, vamos mudar o nosso problema: Dados três pontos A, B e C de um triângulo, queremos descobrir a equação da reta que contém uma altura do triângulo. Exercício Resolvido 3: Sejam e. Qual é a equação da reta que contém a altura relativa ao lado? Exercício Resolvido 4: Sejam, e. Qual é o ponto em que a altura relativa ao lado corta o lado? Seja o ponto em que a altura relativa ao lado corta o lado. Sejam ainda a reta que contém a altura relativa ao lado e a reta que contém o lado. Essa situação está ilustrada na figura a seguir: Seja a reta que contém a altura relativa ao lado. Seja ainda a reta que contém o lado. Para determinar a equação de, precisamos de um ponto dessa reta e do seu coeficiente angular. Essa situação está ilustrada na figura a seguir: Figura 3 figura relativa ao exercício resolvido 3 Figura 4 figura relativa ao exercício resolvido 4 Para determinar o ponto, precisamos das equações das retas e. E para determinar as equações de e, precisamos de um ponto e do coeficiente angular de cada reta. Primeiro vamos determinar a equação de : já sabemos que é um ponto de, então só falta determinar CASD Vestibulares MAT I 18

3 5 - PÉ DA PERPENDICULAR Desta vez, vamos analisar o seguinte problema: dado um ponto e uma reta, queremos encontrar o pé da reta, que passa por e é perpendicular a. Mas o que seria esse pé da perpendicular? O pé é a interseção da perpendicular com a reta original, ou seja, é a interseção de com. Exercício Resolvido 5: Agora, vamos determinar a equação de. Como a altura relativa ao lado deve passar pelo ponto (que é oposto ao lado ), o ponto deve pertencer à reta. Agora só precisamos do seu coeficiente angular. Como um lado é perpendicular á sua respectiva altura, tem-se que e devem ser retas perpendiculares. Então: Sejam e. Qual é o pé da reta perpendicular a e que passa por? Seja a reta perpendicular a e que passa por. Seja ainda o pé de, ou seja, é a interseção das retas e. Para determinar o ponto, precisamos das equações das retas e. Essa situação está ilustrada na figura a seguir: Seja o ponto em que a altura relativa ao lado corta o lado. Então é o ponto em que e se cortam, ou seja, e. Então: Figura 5 figura relativa ao exercício resolvido 5 Para determinar a equação da reta, precisamos de um ponto de e do seu coeficiente angular. Felizmente, já temos esse ponto, pois. Assim, só falta descobrir. Da equação reduzida de, tem-se que Então: ( ) ( ) Resposta: o ponto em que a altura relativa ao lado corta o lado é ( ) 19 MAT I CASD Vestibulares

4 Como é a interseção das retas e, Para determinar a equação da reta, H e. Então: precisamos de um ponto de e do seu coeficiente angular. Infelizmente, desta vez nós não temos esse ponto diretamente. No entanto, sabemos que o ponto médio de pertence a. Logo, se é o ponto médio de, tem-se: Resposta: o pé da reta perpendicular a passa por é ( ) e que Agora que já temos um ponto de descobrir. Então:, só falta 6 - MEDIATRIZ Finalmente, chegamos ao último problema deste capítulo: sendo dados dois pontos e quaisquer, queremos determinar a mediatriz deles. A mediatriz do segmento é a reta cujos pontos são eqüidistantes de e de (se é um ponto da mediatriz, ). Ela apresenta algumas propriedades interessantes, como: a mediatriz passa pelo ponto médio do segmento. De fato, se é ponto médio de e de,, logo é ponto da mediatriz; a mediatriz é perpendicular ao segmento AB; Vamos usar essas propriedades para calcular a equação de m, como veremos no exemplo a seguir. Exercício Resolvido 6: Sejam e. Qual é a equação da mediatriz de? Seja a reta mediatriz do segmento. Seja ainda a reta que passa por e por. Essa situação está ilustrada na figura a seguir: Resposta: a equação da reta m é 7 - RESUMO Neste capítulo, nós vimos que para determinar a equação de uma reta, é suficiente saber duas informações: as coordenadas de um ponto da reta (primeira informação) e o seu coeficiente angular (segunda informação). Uma vez que essas duas informações são conhecidas, basta aplicar a seguinte fórmula: Essa fórmula é bastante útil nas mais diversas situações. Só neste capítulo, nós vimos como determinar a equação de uma reta paralela a outra reta por um ponto dado; como encontrar a reta suporte da altura de um triângulo dado; como encontrar o pé da perpendicular a uma reta por um ponto dado; e como determinar a equação da mediatriz de um segmento dado. Abaixo segue uma série de exercícios em que você pode aplicar a fórmula acima. Boa sorte! Figura 6 figura relativa ao exercício resolvido 6 CASD Vestibulares MAT I 20

5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 9. (UFMG - 97) O lado BC de um ângulo reto ABC está sobre a reta de equação x - 2y + 1 = 0, e o Nível I ponto de coordenadas (2,4) pertence à reta que contém o lado BA. A equação da reta que contém o lado BA é: 1. (UFMG - 01) A reta r passa pelo ponto (16, 11) e NÃO intercepta a reta de equação Considerando-se os seguintes pontos, o ÚNICO que pertence à reta r é a) (7, 6) b) (7, 13/2) c) (7, 7) d) (7, 15/2) a) 4x + 2y - 5 = 0 b) x - 2y + 6 = 0 c) x + 2y - 10 = 0 d) 2x + y - 8 = (UNESP - 90) A reta r é perpendicular à reta -3x + 4y - 5 = 0 e passa pelo ponto (1, 2). Determine os pontos de r que distam 5 unidades do ponto (1, 2). 2. (UNESP - 01) Dada a reta r de equação 4x + 2y + 5 = 0 e o ponto P = (2,-1), determine a) o coeficiente angular de r; b) a equação geral da reta s que é perpendicular a r e passa pelo ponto P. 3. Determine o pé da perpendicular baixada de P(2,3) sobre r: 2x-3y-8=0. 4. (FEI - 96) Se a reta r passa pelos pontos (3, 0) e (0, 1), a reta s é perpendicular a r e passa pela origem, então s contém o ponto: a) (5, 15) b) (5, 10) c) (5, 5) d) (5, 1) e) (5, 0) 5. (FUVEST - 97) As retas r e s são perpendiculares e interceptam-se no ponto (2, 4). A reta s passa pelo ponto (0, 5). Uma equação da reta r é a) 2y + x = 10 b) y = x +2 c) 2y - x = 6 d) 2x + y = 8 e) y = 2x 6. (UFMG - 95) A reta r é perpendicular à reta de equação 2x + y - 1 = 0 no ponto de abscissa -1. A equação da reta r é a) x - 2y + 7 = 0 b) 2x + y - 7 = 0 c) -x + 2y + 7 = 0 d) 2x + y + 7 = 0 e) x + 2y - 1 = 0 Nível II 7. O ponto simétrico da origem em relação à reta 2x+2y-1=0 é: (Dica: imagine que a reta dada é um espelho. O que se pergunta é onde está a imagem do ponto.) 11. (UFSCAR - 07) Considere P um ponto pertencente à reta (r) de equação 3x + 5y - 10 = 0 e eqüidistante dos eixos coordenados. A equação da reta que passa por P e é perpendicular a (r) é a) 10x - 6y - 5 = 0. b) 6x - 10y + 5 = 0. c) 15x - 9y - 16 = 0. d) 5x + 3y - 10 = 0. e) 15x - 3y - 4 = (UFSCAR - 06) Os pontos P e Q dividem o segmento de extremos (5, 8) e (1, 2) em três partes iguais. Se as retas perpendiculares a esse segmento pelos pontos P e Q interceptam o eixo y nos pontos (0, p) e (0, q), com p > q, então 6q - 3p é igual a a) 10. b) 8. c) 7. d) 5. e) (UFSCAR - 08) Admita os pontos A(2, 2) e B(- 3, 4) como sendo vértices opostos de um losango ACBD. a) Determine a equação geral de cada uma das retas suportes das diagonais do losango ACBD. b) Calcule o comprimento do lado do losango ACBD, admitindo-se que um de seus vértices esteja no eixo das abscissas. Dica 1: em um losango, as duas diagonais são perpendiculares. Dica 2: Em um losango, as suas diagonais se bisseccionam (a interseção delas é o ponto médio de cada diagonal). 8. (UNESP - 06) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o coeficiente angular e a equação geral da reta que passa pelos pontos P e Q, sendo P = (2, 1) e Q o simétrico, em relação ao eixo y, do ponto Q' = (1, 2) são, respectivamente: a) 1/3; x - 3y - 5 = 0. b) 2/3; 2x - 3y -1 = 0. c) - 1/3; x + 3y - 5 = 0. d) 1/3; x + 3y - 5 = 0. e) - 1/3; x + 3y + 5 = MAT I CASD Vestibulares

6 GABARITO 1. B 2. a) b) s: A 5. E 6. A 7. ( ) 8. C 9. D 10. e 11. A 12. B 13. a) e b) BIBLIOGRAFIA Não há referências bibliográficas CASD Vestibulares MAT I 22