Vetores. Definição geométrica de vetores

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1 Vetores Várias grandezas físicas, tais como por exemplo comprimento, área, olume, tempo, massa e temperatura são completamente descritas uma ez que a magnitude (intensidade) é dada. Tais grandezas são chamadas escalares e são modeladas por números reais. Outras grandezas físicas não são completamente caracterizadas até que uma magnitude, uma direção e um sentido sejam especificados. Exemplos são deslocamento, elocidade e força. Tais grandezas são chamadas etoriais e são modeladas por etores. Primeiramente, introduziremos o conceito de etor do ponto de ista geométrico, o que permite uma isão intuitia dos etores e de suas relações entre si. Por isso, amos nos restringir ao plano (espaço bidimensional) e ao espaço (espaço tridimensional). Mais tarde, quando considerarmos etores do ponto de ista algébrico, o que nos permitirá estudar etores em espaços de mais de três dimensões, a isão geométrica que nós adquirimos estará sempre ao nosso lado para nos guiar. Definição geométrica de etores A. B. AB Dois pontos distintos A e B no espaço determinam uma reta. Esta reta é uma direção no espaço. Não precisamos da reta toda para determinar esta direção; o segmento da reta entre os pontos A e B, que é a parte da reta compreendida entre estes dois pontos, sere muito bem para determinar esta direção. Este segmento de reta pode ser facilmente orientado, proendo um sentido para o segmento, se considerarmos um dos pontos como ponto inicial e o outro como ponto final. Por exemplo, o segmento orientado com ponto inicial A e ponto final B será denotado por AB. Pontos serão considerados como segmentos orientados: um ponto é um segmento orientado nulo; por exemplo, o ponto A é identificado com o segmento orientado AA com ponto inicial A e ponto final também A. Além disso, podemos falar no comprimento de um segmento. O comprimento do segmento determinado por A e B é denotado por AB. 1

2 Segmentos orientados possuem portanto uma direção, um sentido e um comprimento. No entanto, eles também são caracterizados pelo seu ponto inicial. São modelos (representações) de etores localizados, onde o ponto de aplicação do etor é importante; não os consideraremos neste curso. Vetores são unicamente caracterizados por direção, sentido e magnitude. Eles serão representados por segmentos orientados desde que fizermos a seguinte conenção: segmentos orientados pertencentes a retas paralelas tais que, quando estas retas são moidas uma em direção à outra até coincidirem, ocorre que os pontos iniciais e finais destes segmentos também coincidem, representam o mesmo etor. Assim, um etor pode ser representado por ários segmentos orientados diferentes. A situação é análoga a dos números racionais, que podem ser representados por árias frações diferentes: as frações 1 2, 2 4, 5 10 e representam o mesmo número racional. Resumindo: Vetores são representados por segmentos orientados e são caracterizados por 1. direção, 2. sentido, 3. magnitude. Duas operações entre etores que podem ser definidas para quaisquer etores, mesmo etores em espaços de dimensões maiores são a soma de etores e a multiplicação de etores por escalares. Soma de Vetores Sejam e dois etores. Sua soma + é o etor definido da seguinte maneira: C A B Escolha um representante qualquer AB para o etor. Para o etor escolha o único representante BC com ponto inicial B, isto é, igual ao ponto final do representante de. O etor + é representado pelo segmento orientado AC, cujo ponto inicial é o ponto inicial A de e cujo ponto final é o ponto final C de. Esta definição é motiada pela interpretação de etores como deslocamento: nesta interpretação, a soma de dois etores corresponde à composição de deslocamentos ou o deslocamento total. Ela é a chamada regra do triângulo. 2

3 Uma definição equialente para a soma de dois etores é sugerida pela interpretação de etores como forças. É a chamada regra do paralelogramo: Desta ez escolhemos os representantes respectios AB e AC de e com o mesmo ponto inicial A. Eles determinam um paralelogramo ABDC e o etor + é o etor representado pela diagonal (segmento orientado) AD. C D A B Nesta interpretação, a soma de etores corresponde à resultante das forças. Propriedades da Soma de Vetores: (1) Comutatiidade: Para quaisquer etores, + = + Isso pode ser facilmente isto atraés do diagrama abaixo. + + (2) Associatiidade: Para quaisquer etores u,, u + ( + ) = (u + ) + Isso pode ser facilmente isto atraés do diagrama a seguir. 3

4 u+ (u+)+ u+(+) u + Como uma conseqüência destas duas propriedades, concluímos que etores podem ser somadas em qualquer ordem. (3) Existência do Elemento Neutro da Soma: Seja 0 o etor nulo, isto é, o etor representado por segmentos orientados nulos. Então, para qualquer etor, + 0 = 0 + = Isso é óbio da definição. (4) Existência do Elemento Inerso da Soma: Seja o etor que tem a mesma direção, mesmo comprimento e sentido inerso ao do etor. Então + ( ) = 0. Isso é óbio da definição. Portanto, definimos a diferença entre dois etores: := + ( ). Podemos usar o seguinte diagrama para calcular a diferença entre dois etores: - - 4

5 Isso permite inferir uma regra do triângulo para a diferença dos etores e : para encontrar um representante para, escolha representantes para e que têm a mesma origem; então será representando pelo segmento cujo ponto inicial é o ponto final de e cujo ponto final é o ponto final de. Multiplicação de um etor por um escalar Definição. Se é um etor não-nulo e α é um número real não-nulo, então a multiplicação do etor pelo escalar α é o etor denotado α definido por (i) α tem a direção de ; (ii) α tem o mesmo sentido de se α > 0 e α tem o sentido oposto ao de se α < 0; (iii) α tem comprimento α ezes o comprimento de. Definimos ainda 0 = 0 e α0 = 0. Se = α, dizemos que é um múltiplo escalar do etor. É fácil er que dois etores não-nulos são paralelos se e somente se um é múltiplo escalar do outro. Obsere que segue imediatamente da definição que ( 1) =. Propriedades da Multiplicação por Escalar: (1) Associatiidade: Para quaisquer escalares α, β e para qualquer etor α(β) = (αβ). (2) Distributiidade: Para quaisquer escalares α, β e para quaisquer etores, (3) Para qualquer etor α( + ) = α + β, (α + β) = α + β. 1 =. Estas propriedades serão facilmente proadas uma ez que introduzirmos um sistema de coordenadas retangulares para etores. Como um exemplo da utilidade de se trabalhar com etores, eremos que etores podem ser utilizados para proar fatos da geometria euclidiana. Exemplo 1. Seja ABC um triângulo e M, N os pontos médios dos lados AC e BC. Mostre que o segmento MN é paralelo ao lado AB e tem comprimento igual à metade do comprimento de AB. Resposta: Temos que proar que Temos MN = 1 2 AB. MN = MC + CN. 5

6 C M N A B Como M é o ponto médio de AC e N é o ponto médio de BC, segue que MC = 1 2 AC e CN = 1 2 CB. Portanto, MN = 1 2 AC CB = 1 2 (AC + CB) = 1 2 AB. Vetores em Coordenadas Introduza um sistema de coordenadas cartesianas no espaço ambiente em que ocê está trabalhando, seja ele o plano ou o espaço. Dado um etor, escolha um representante para cujo ponto inicial é a origem deste sistema de coordenadas. Então definimos as coordenadas do etor como sendo as coordenadas do ponto final deste representante de. y 2 1 x No plano: = ( 1, 2 ). 6

7 No espaço: = ( 1, 2, 3 ). Então as operações acima podem ser definidas equialentemente da seguinte maneira. No plano, se = ( 1, 2 ) e = ( 1, 2 ), + = ( 1 + 1, ), α = (α 1, α 2 ). No espaço, se = ( 1, 2, 3 ) e = ( 1, 2, 3 ), + = ( 1 + 1, 2 + 2, ), α = (α 1, α 2, α 3 ). Exemplo 2. Se = (2, 1, 4) e = ( 2, 3 2 2, 1), então 3 2 = 3(2, 1, 4) 2( 2, 3 2 2, 1) = (6, 3, 12) + (2, 3, 2) = (8, 0, 12 2). A norma de um etor pode então ser dada em coordenadas, aplicando-se o Teorema de Pitágoras. No plano, se = ( 1, 2 ), pelo Teorema de Pitágoras temos que = No espaço é necessário aplicar o Teorema de Pitágoras duas ezes para se obter a norma de um etor em termos de suas coordenadas. Seja = ( 1, 2, 3 ) e considere a figura abaixo: z l. y x Aplicando-se o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ertical indicado na figura, obtemos = l

8 Aplicando-se noamente o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo que se situa no plano xy, obtemos l 2 = Portanto, = Produto Escalar O produto escalar é uma operação entre dois etores cujo resultado é um escalar. Definição. O produto escalar (ou produto interno) de dois etores, é o escalar denotado definido por = se = ( 1, 2 ) e = ( 1, 2 ) são etores no plano, e por = se = ( 1, 2, 3 ) e = ( 1, 2, 3 ) são etores no espaço. Exemplo 3. ( 5, 2) (3, 7) = = 1; ( 1, 2, 3) (5, 1 2, 2 3) = = 0. Teorema. (Interpretação Geométrica do Produto Escalar) Se, são dois etores não-nulos, então = cos θ, onde θ é o ângulo entre estes etores. Proa: Sejam = ( 1, 2, 3 ) e = ( 1, 2, 3 ). Pela lei dos cossenos (eja o diagrama) Logo 2 = cos θ. ( 1 1 ) 2 + ( 2 2 ) 2 + ( 3 3 ) 2 = cos θ 8

9 donde, cancelando os termos comuns entre os lados desta equação, = 2 cos θ e portanto = cos θ. O ângulo entre dois etores é definido como o menor ângulo entre eles. Portanto, 0 θ 180. Podemos usar o produto interno para calcular o ângulo entre etores, pois cos θ =. Exemplo 4. Calcule o ângulo entre os etores = (2, 1, 1) e = (1, 1, 2). Portanto θ = 60. cos θ = Note que se e são etores não-nulos, então (2, 1, 1) (1, 1, 2) (2, 1, 1) (1, 1, 2) = = = 1 2. > 0 se e somente se 0 θ < 90. = 0 se e somente se e são perpendiculares. < 0 se e somente se 90 < θ 180. De fato, se e são etores não-nulos, então = cos θ = 0 se e somente se cos θ = 0, ou seja, se e somente se θ = 90. Propriedades do produto escalar: (1) Comutatiidade: Se e são dois etores quaisquer, então =. (2) Distributiidade: Se u, e são etores quaisquer, então u ( + ) = u + u. (3) Se e são dois etores quaisquer e α é um escalar qualquer, então Para todo etor e α( ) = (α) = (α) = 2 0 = 0se e somente se = 0. Obsere que a associatiidade, u ( ) = (u ) não faz sentido para o produto escalar, já que não faz sentido fazer o produto escalar entre um etor e um número. Também não pode existir um elemento neutro para o produto escalar, ou seja, um etor x tal que x = para todo etor, pois x é sempre um número. 9

10 D C A B Exemplo 5. Mostre que as diagonais de um losango são perpendiculares. Resposta: Seja ABCD um losango. Basta mostrar que AC BD = 0. Para mostrar isso, temos que usar os dados básicos que dispomos a respeito de losangos. O primeiro dado que temos sobre losangos é que, por definição, eles são polígonos com quatro lados iguais; uma conseqüência imediata deste fato é que lados opostos são paralelos. Estes são os fatos básicos sobre losangos. Portanto, temos que escreer as diagonais do losango em termos dos lados, para poder usar essas informações. Escreemos Então Note que AC = AB + BC, BD = BA + AD. AC BD = (AB + BC) (BA + AD) = AB BA + AB AD + BC BA + BC AD. BA = AB e, porque os lados de um losango tem o mesmo comprimento e são paralelos, BC = AD. Logo, como o produto escalar é comutatio, e usando também a Propriedade (3), segue que AC BD = AB ( AB) + AB AD + AD ( AB) + AD AD = AB 2 + AD 2. Mas, como os lados de um losango são iguais, temos AB = AD, donde exatamente como queríamos proar. AC BD = 0, 10

11 Vetores Unitários e Projeção Ortogonal Se = 1, então é chamado de etor unitário. Dado um etor não-nulo, um etor unitário direção de é o etor u = 1. De fato, Obsere que u também tem o mesmo sentido de. 1 = 1 = 1. Exemplo 6. Um etor unitário na direção do etor = (1, 2, 3) é o etor ( u = (1, 2, 3) =,, 3 ) Dada uma direção priilegiada definida por um etor, uma operação importante é decompor qualquer etor na soma de dois etores 1 e 2, sendo 1 na direção de e 2 perpendicular a. 2 1 = 1 + 2, 1 // e 2. O etor 1 é chamado a projeção ortogonal de sobre e é denotado por proj. Para obter 1, obsere que da figura é fácil er que seu comprimento é dado por 1 = cos θ =. Como é um etor unitário com a mesma direção e sentido de, segue que proj = 2. Outra maneira de obter 1 é assumir que podemos escreer = α + 2 com 2. e determinar o escalar α. Fazendo o produto escalar de ambos os lados desta expressão pelo etor, obtemos = α + 0 = α 2, 11

12 donde α = 2. Então 2 = proj, e podemos erificar que proj é de fato perpendicular a : ( proj ) = 2 = 2 2 = = 0. Exemplo 7. Seja = (1, 0, 2) e = (1, 2, 3). Encontre 1 e 2 tais que = 1 + 2, 1 // e 2. Resposta: 1 = proj = 2 = ( 6) (1, 0, 2) = 5 (1, 0, 2) = ( 1, 0, 2) = proj = (1, 2, 3) ( 1, 0, 2) = (2, 2, 1). 12

13 Produto Vetorial Para etores no espaço tridimensional, é possíel definir um produto entre etores cujo resultado é um etor. Definição. O produto etorial de dois etores não nulos e que não são paralelos é o etor denotado definido por (i) tem direção perpendicular ao plano determinado por e ; (ii) tem sentido determinado pela regra da mão direita: direcionando o polegar direito no sentido de e o restante dos dedos da mão direita no sentido de, então tem o sentido projetando da palma da mão. (iii) Se θ é o ângulo entre e, a norma de é dada por = senθ. Se e são paralelos, define-se = 0. Também definimos 0 = 0 e 0 = 0. Note que o comprimento do etor é exatamente a área do paralelogramo determinado por e (note que estas duas definições são consistentes com (iii)). seno O Propriedades do Produto Vetorial: (1) Anti-comutatiidade: Se e são dois etores quaisquer, então =. (2) Será que ale a associatiidade para o produto etorial? Em outras palaras, será que para todos os etores u,, temos u ( ) = (u )? (3) Distributiidade: Se u, e são etores quaisquer, então u ( + ) = u + u. A proa desta importante propriedade é mais difícil e será feita mais adiante, depois de erificarmos as outras propriedades do produto etorial. 13

14 (4) (5) (6) α( ) = (α) = (α) = 0 se e somente se um destes etores é múltiplo escalar do outro. ( ) = ( ) = 0 (7) Se u,, são etores coplanares (isto é, estão contidos em um mesmo plano), então (u ) = 0. Caso contrário, (u ) é igual ao olume do paralelepípedo determinado por u, e. Além disso, (u ) > 0 se e somente se u, e satisfazem a regra da mão direita. Dizer que os etores u, e, nesta ordem, satisfazem a regra da mão direita, significa o seguinte: Os etores u e determinam um plano no espaço tridimensional (o plano que os contém). Este plano subdiide o espaço em dois semiespaços. O etor u, sendo perpendicular ao plano que contém u e, está contido em um destes semiespaços. Se o etor estier no mesmo semiespaço que u, dizemos que u,, satisfazem a regra da mão direita; em caso contrário, dizemos que u,, não satisfazem a regra da mão direita. A explicação da terminologia u,, satisfazem a regra da mão direita se justifica porque, de maneira grosseira, podemos dizer que aponta mais ou menos na mesma direção que u, cuja direção é dada pela regra da mão direita (porque não é necessariamente perpendicular a u e, em geral não está exatamente na mesma direção que u ). 1 ux u 2 Proa de (7): Veja a figura na próxima página. A base do parelelepípedo tem área igual a u, enquanto que a altura do paralelepípedo é igual ao comprimento da projeção ortogonal do etor sobre o etor. Quanto ao sinal de (u ), se u,, satisfazem a regra da mão direita, então, por definição, u e estão no mesmo semiespaço em relação ao plano que contém u e, logo o ângulo entre u e é agudo, portanto seu produto escalar é positio. Se eles não satisfazem a regra da mão direita, então eles estão em semiespaços opostos, logo o ângulo entre eles é obtuso e portanto seu produto escalar é negatio. (8) As operações de produto escalar e produto etorial comutam: (u ) = u ( ) 14

15 u x altura u Proa de (8): Pela comutatiidade do produto interno, u ( ) = ( ) u. Agora, assumindo (5), segue que (u ) = ( ) u pois o paralelepípedo é o mesmo. E o sinal também é o mesmo, pois u,, satisfazem a regra da mão direita se e somente se,, u satisfazem, como pode-se erificar. Proa de (3): Assumindo a última identidade em (4), escrea a = u ( + ) u u. Temos que proar que a é o etor nulo. Para isso, basta mostrar que x a = 0 para todo etor x, pois se isso ale para todo x, em particular ale para x = a, de modo que segue que a a = 0, ou seja, a 2 = 0 e portanto a = 0. De fato, x a = x u ( + ) x u x u = (x u) ( + ) (x u) (x u) = (x u) [ + ] = (x u) 0 = 0. Destacamos os seguintes etores unitários no espaço: i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1). 15

16 Qualquer etor = ( 1, 2, 3 ) pode então ser escrito como combinação linear (isto é, soma de múltiplos escalares) destes etores, pois = ( 1, 2, 3 ) = ( 1, 0, 0) + (0, 2, 0) + (0, 0, 3 ) = 1 (1, 0, 0) + 2 (0, 1, 0) + 3 (0, 0, 1) = 1 i + 2 j + 3 k. Teorema 1. (Produto Vetorial em Coordenadas) Sejam = ( 1, 2, 3 ) e = ( 1, 2, 3 ). Então = det i j k isto é, = ( [ ] [ 2 det 3 1, det ] [ ]) 1, det Proa: = ( 1 i + 2 j + 3 k) ( 1 i + 2 j + 3 k) = 1 1 (i i) (i j) (i k) (j i) (j j) (j k) (k i) (k j) (k k) = k ( j) ( k) i j ( i) + 0 = ( )i ( )j + ( )k. Exemplo 8. Seja = (1, 0, 2) e = (1, 2, 3). Então = det i j k ( [ = det = (4, 5, 2). ] [ 1 2, det 1 3 ] [ 1 0, det 1 2 Teorema 2. (O Produto Misto) Sejam u = (u 1, u 2, u 3 ), = ( 1, 2, 3 ) e = ( 1, 2, 3 ). Então u ( ) = det u 1 u 2 u Proa: Usando o resultado obtido no Teorema 1: [ ] [ ] [ ] 2 u ( ) = u 1 det 3 1 u 2 2 det u det ]) Exemplo 10. Calcule o olume do paralelepípedo determinado por u = (2, 1, 4), = ( 1, 0, 2) e = (1, 2, 3). Calcule o olume do paralelepípedo determinado por a = (1, 2, 3), b = (4, 5, 6) e c = ( 5, 1, 3). 16

17 Resposta: Desenolendo em cofatores a partir da segunda linha, obtemos det = 5 6 = 11, logo V [u,, ] = 11. No segundo caso, obtemos V [a, b, c] = det = 0, logo concluímos que os etores a, b e c são coplanares, isto é, pertencem ao mesmo plano. 17