Matemática. A probabilidade pedida é p =

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1 a) Uma urna contém 5 bolinhas numeradas de a 5. Uma bolinha é sorteada, tem observado seu número, e é recolocada na urna. Em seguida, uma segunda bolinha é sorteada e tem observado seu número. Qual a probabilidade de que a soma dos números sorteados seja superior a? b) Uma urna contém n bolinhas numeradas de a n. Sorteando-se duas bolinhas sucessivamente com reposição, e observando-se os números do º e do 2º sorteio, quantos resultados são possíveis? Qual seria a resposta se não houvesse reposição? a) O espaço amostral do experimento é dado pela tabela abaixo: (,) (,2) (,) (,4) (,5) (2,) (2,2) (2,) (2,4) (2,5) (,) (,2) (,) (,4) (,5) (4,) (4,2) (4,) (4,4) (4,5) (5,) (5,2) (5,) (5,4) (5,5) Os primeiros valores dos pares ordenados (a;b) da tabela referem-se ao número da primeira bolinha sorteada e os segundos valores ao número da segunda bolinha. Dos 25 casos possíveis tem-se soma superior a em 6 deles, isto é, (,5), (4,4), (4,5), (5,), (5,4) e (5,5). 6 A probabilidade pedida é p = 25 b) Sorteando-se duas bolinhas sucessivamente com reposição, e observando-se os números do º e do 2º sorteio, são possíveis n. n = n 2 resultados. Se não houvesse reposição seriam possíveis n. (n ) resultados. 6 Respostas: a) p = 25 b) n 2 ; n(n ) 2 Matemática Numa pequena ilha, há 00 pessoas que trabalham na única empresa ali existente. Seus salários (em moeda local) têm a seguinte distribuição de freqüências: Salários $ 50,00 $ 00,00 $ 0,00 Freqüência a) Qual a média dos salários das 00 pessoas? b) Qual a variância dos salários? Qual o desvio padrão dos salários? a) A média dos salários das 00 pessoas que tra-

2 balham nesta empresa, em moeda local, é: x 50,00 x ,00 x ,00 x 0 = = 90, b) Os salários, as freqüências, os desvios e os quadrados dos desvios estão apresentados na tabela abaixo: Salários Freqüências Desvios Quadrados dos Desvios 50,00 00,00 0, ,00 0,00 60,00 600,00 00,00 600,00 A variância (média dos quadrados dos desvios) dos salários é: 600,00x0 + 00,00x ,00x0 = 900, O desvio padrão (raiz quadrada da variância) dos salários é, em moeda local, igual a 900,00 = 0,00 Respostas: a) 90,00 (moeda local) b) Variância: 900,00 (moeda local) 2 Desvio Padrão: 0,00 (moeda local) Um banco capta dinheiro de aplicadores, pagando a eles uma taxa anual de juros igual a i. O prazo das aplicações é de ano. O dinheiro captado é emprestado a empresas, por ano, à taxa de 20% ao ano. Sabe-se que o dinheiro captado é dado por C = i unidades monetárias. Desprezando-se outros custos: a) Qual o lucro do banco, se a taxa i for igual a 5% ao ano? b) Qual a taxa i que dá ao banco o máximo lucro? O lucro do banco, em função da taxa i e em unidades monetárias, é dado por L(i) = 5000i. 20% 5000i. i L(i) = 5000 i i a) Para uma taxa i = 5% o lucro do banco é L(5%) = (5%) % = =,5 unidades monetárias. b) O gráfico de L em função de i é do tipo O lucro é máximo para i = 0% Respostas: a),5 unidades monetárias

3 4 b) 0% a) Esboce o gráfico da função f(x) = x 2 x + 2. x b) Qual o domínio da função f(x) =. 2x 2 x + a) f(x) = x 2 x + 2 = x 2 x + 2 x (x ) b) f(x) = = = 2x 2 x + (x ) (2x ) = e x 2x f está definida para x, tal que 0 e x 2x O domínio de f é {x x > /2 e x } Respostas: a) Gráfico b) {x x > /2 e x } 5 a) Represente os pontos (x,y) do plano cartesiano que satisfazem a relação x 2y = 6 b) Qual a área da figura determinada pelos pontos (x,y) do plano cartesiano que satisfazem simultaneamente as relações: x 2 + y 2 9 { x + y a) x 2y = 6 x 2y = 6 ou x 2y = 6. Gráfico:

4 b) As representações gráficas das inequações são: ) x 2 + y 2 9 2) x + y x + y 0 A figura que apresenta simultaneamente as relações dadas, é obtida pelo gráfico abaixo:

5 Portanto a área da figura, é: π. A = 2. 9 =. (π 2) u. a Respostas: a) gráfico 9 b). (π 2) u. a. 4 6 a) Resolva a equação log(x 2) + log(x + 2) = 2 b) Quais as raízes da equação x log x = 00x? a) log (x 2) + log (x + 2) = 2 log (x 2) (x + 2) = 2 x 2 4 = 00 x = ± 04 ou x = ± 2 26 (I) A existência dos logaritmos exige: x > 2 (II) De (I) e (II), decorre: V = {2 26 } b) x log x = 00x (I) Sendo log x = a x = 0 a. De (I), obtém-se: (0 a ) a = a 0 a2 = 0 a+2 Vem: a 2 = a + 2 a = 2 ou a = Então, tem-se: log x = 2 x = 00 { log x = x = 0 Respostas: a) {2 26 } b) 00 e 0 a) No plano cartesiano, qual o gráfico dos pontos (x, y) que satisfazem a relação x 2 y 2 = 0? b) No plano cartesiano, qual a equação da circunferência de raio, com centro pertencente à reta x y = 0 e tangente à reta x + 4y = 0? a) x 2 y 2 = 0 (x + y). (x y) = 0 x + y = 0 ou

6 x y = 0, que representam, no plano cartesiano, as bissetrizes dos quadrantes. b) Se o centro da circunferência pertence à reta x y = 0, então C(a; a) Como a distância do centro, C(a; a) à reta tangente x + 4y = 0 é igual ao raio r =, temos: a + 4a = a = a = ou a =. O problema admite duas soluções: ª) C ( ; ) ( x e r =, com equação ) 2 + ( y ) 2 = 9 2ª) C ( ; ) ( x e r =, com equação + ) 2 + ( y + ) 2 = 9 8 Um investidor aplicou R$ 5 000,00 a juros simples, à taxa de 40% ao ano. a) Qual o montante, se o prazo da aplicação for de 5 meses? b) Qual o gráfico do montante em função do prazo n da aplicação, expresso em trimestres? a) Admitindo que a aplicação possa ser feita mês a mês,

7 40 a uma taxa de juros simples de % ao mês, concluímos que o montante, após 5 meses, será ( 2 ) M = = 58, 00 2 b) O montante M ao final de n trimestres, a uma taxa 40 de % = 0% ao trimestre será ( 4 ) n M(n) = = n. 00 Se os juros forem creditados apenas após cada trimestre, o gráfico será: Se os juros forem creditados continuamente o gráfico será: Respostas: a) R$ 5 8, b) gráfico 9 No conjunto dos números complexos: a) Resolva a equação z 4 = b) Obtenha o número z, tal que z.(+ i) = i, onde i é a unidade imaginária. a) z 4 = z 4 = 0 (z 2 ) 2 = 0

8 (z 2 )(z 2 + ) = 0 (z )(z + )(z 2 + ) = 0 z = 0 ou z + = 0 ou z 2 + = 0 z = ou z = ou z = i ou z = i. O conjunto-verdade da equação é V = {; ; i; i} i b) z. ( + i) = i z = = + i i i i i + i 2 =. = = + i i i 2 2 4i = = 2i 2 Respostas: a) V = {; ; i; i} b) z = 2i 0 a) Para que valores de m, a equação na incógnita x, 2sen x = m admite solução? b) Dois lados de um triângulo medem 0cm cada um. Qual a medida do ângulo formado por esses lados, de modo que resulte em um triângulo de área máxima? a) 2. sen x = m 2. sen x = m, tem solução quando: b) sen x 2 2. sen x 2 2. sen x Portanto: m. 2. sen x Sendo: A = sen θ 2 = 50. sen θ, a área do triângulo é máxima quando sen θ =, isto é, para θ = 90. Respostas: a) m b) 90