Tópico 2. Funções elementares

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1 Tópico. Funções elementares.6 Funções trigonométricas A trigonometria (do grego trigonon triângulo + metron medida ) é um ramo da matemática que estuda os triângulos, particularmente triângulos em um plano onde um dos ângulos do triângulo mede 90º (triângulo retângulo). Também estuda especificamente as relações entre os lados e os ângulos dos triângulos; as funções trigonométricas e os cálculos baseados nelas..6. Trigonometria no Triângulo Retângulo Considere o triangulo retângulo abaixo: Definimos seno (sen) de um ângulo, cosseno (cos) de um ângulo, tangente (tg) de um ângulo, cotangente (cotg) de um ângulo, secante(sec) de um ângulo e cossecante (cossec) de um ângulo, como : CatetoOposto CO sen( ) Hipotenusa H CatetoAdjacente CA cos( ) Hipotenusa H tg( ) cot g( ) sec( ) cossec( ) CatetoOposto CatetoAdjacente CatetoAdjacente CatetoOposto Hipotenusa CatetoAdjacente Hipotenusa CatetoOposto CO CA H CA CA CO H CO Exemplos: Sabemos que figura: sen(6º)=0.8, cos(6º)=0.80 e tg(6º)=0.7, Calcular o valor de x em cada

2 Resolução: x x a) sen( 6 ) 0,8 0 0 x,8cm x x b) cos( 6 ) 0,80 x 4m x x c) tg( 6 ) 0,7 0 0 x 4, 4km Teorema de Pitágoras: Em todo triangulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa. Isto é: b c a Exemplo: Sabendo que é um ângulo agudo e que cos( ), calcular tg ( ) e cot g ( ). Resolução: Existe um triangulo retângulo com ângulo agudo tal que o cateto adjacente a mede e a hipotenusa mede.chamamos x o valor do cateto oposto ao ângulo agudo. Pelo teorema de Pitágoras temos : x

3 x x x Logo, CatetoOposto tg( ) e CatetoAdjacente cot g( ) CA CO Exercício: Sabendo que é um ângulo agudo e que sen( ), calcular tg ( ) e cot g ( ). Tabela dos Ângulos Notáveis 0º 4º 60º sen cos tg Por convenção: n sen ( ) (sen( )) n cos ( ) (cos( )) sen k sen( k ) n n Exercícios: Calcular o valor das expressões: ) E cos(60º ) cos (0º ) sen (0º ) tg (4º ) Resolução:

4 E (cos0º ) (sen 0º) ( tg4º ) sen x cos4x ) E para x=º cos x Resolução: E sen(.º ) cos(4.º ) sen(0º ) cos(60º ) (cos.º ) (cos0º ) Estudo da circunferência Unidades de Medidas de Arcos: Sendo A e B pontos de uma circunferência de centro O, tal que o arco AB é dessa 60º circunferência, define-se a medida do ângulo AÔB e a medida do arco AB como sendo um grau (º); logo, uma circunferência mede 60º Sendo A e B pontos de uma circunferência de centro O, tal que o arco AB tem o comprimento do raio dessa circunferência, define-se a medida do ângulo AÔB e a medida do arco AB como sendo um radiano ( rad); logo, uma circunferência mede rad, pois o comprimento de uma circunferência de raio r é r. Observação: Radiano é a medida do ângulo central da circunferência, cujos lados determinam sobre a circunferência um arco de comprimento igual ao raio. Transformação de Unidades de Medidas de Arcos Uma medida em radianos é equivalente a uma medida em graus se ambas são medidas de um mesmo arco. Por exemplo, rad é equivalente a 60º, pois ambas são medidas de um arco de uma volta completa. Consequentemente, temos que: rad é equivalente a 80 4

5 Disso segue que: é equivalente a ~ rad e rad é equivalente a Exemplo: a) Ache a medida equivalente em radianos de 6 b) Ache a medida equivalente em graus de rad Resolução: a) 6 ~6. 80 rad 9 6 ~ 0 rad b) rad 80 ~. rad ~ 7 A Circunferência Trigonométrica A Circunferência Trigonométrica também é chamada de ciclo trigonométrico, tem raio unitário () e centro na origem. Sobre a circunferência serão fixados arcos, com origem no ponto A(,0). Esses arcos serão percorridos no sentido anti-horário. Lembre-se de que a medida do ângulo central AÔP é igual a medida angular do arco AP.

6 Vejamos então, as definições de seno, cosseno e tangente de um arco de 0º a 60º ou de 0 rad a rad Definimos: Seno de é a ordenada (correspondente ao eixo y) do ponto P (indicação: sen ); 6

7 Cosseno de é a abcissa (correspondente ao eixo x) do ponto P (indicação: cos ). Observe na figura que permanecem validas as definições de seno e cosseno para ângulos agudos, num triangulo retângulo. Veja: sen cos QP raio OQ raio QP QP OQ OQ Simetrias Exemplos: 7

8 Assim: 8

9 Quadrante: 0 a 90 ou ( 0 rad a rad) Quadrante: 90 a 80 ou ( rad a ) Quadrante: 80 a 70 ou ( rad a rad) 4 Quadrante: 70 a 60 ou ( rad a ) Seno, Cosseno e Tangente de um Arco Trigonométrico 9

10 Exemplo: Sabendo que sen 0º 0, e cos0º 0, 87 aproximado de:, achar um valor a) sen 0º e cos 0º b) sen 0º e cos 0º Solução: a) AP 0 º Então: 0

11 sen0º sen 0º 0, cos0º cos0º 0,87 b) AP 0 º Então: sen 0º sen 0º 0, cos 0º cos0º 0,87 O exemplo anterior mostra que há uma relação entre o quadrante e o valor de seno e cosseno. Sendo a medida de um arco e P a sua extremidade, notamos que: P no primeiro quadrante: sen 0 e cos 0 ; P no º quadrante: sen 0 e cos 0; P no º quadrante: sen 0 e cos 0 P no 4º quadrante: sen 0 e cos 0 Sendo a medida de um arco com extremidade no º quadrante: sen (80º ) sen e sen( 80º ) sen e sen( 60º ) sen e cos(80º ) cos cos(80º ) cos cos(60º ) cos

12 .6. Funções trigonométricas Definição: Suponha que t seja um número real. Coloque na posição padrão um ângulo com t rad de medida e seja P a intersecção do lado final do ângulo com a circunferência do círculo unitário com centro na origem. Se P for o ponto (x,y), então a função seno será definida por: sen t y então a função cosseno será definida por: cos t x Vemos que sen t e cos t estão definidas para todos os valores de t. Assim o domínio das funções seno e cosseno é o conjuntos de todos os números reais. O maior valor da função é e o menor é. As funções seno e cosseno assumem todos os valores entre e ; segue, portanto, que imagem da função é [, ]. Para certos valores de t, o seno e o cosseno são facilmente obtidos de uma figura.

13 Vemos que : sen(0) = 0 e cos(0) = sen. cos. 4 4 sen cos 0 sen 0 cos sen cos 0 Propriedades: ) sen( t) sen( t) e cos( t) cos( t) Ou seja, a função seno é uma função ímpar e a função cosseno é uma função par. ) sen( t ) sen t e cos( t ) cost Esta propriedade é chamada de Periodicidade. Definição: Uma função f será periódica se existir um número real p 0 tal que quando x estiver no domínio de f, então x+p estará também no domínio de f e f(x+p)=f(x). O numero p é chamado de período de f. Exemplo: Use a periodicidade da seno e cosseno para determinar o valor exato da função

14 7 a) sen 4 7 b) cos c) cos Resolução: 7 a) sen = sen sen sen 4 sen. sen b) cos = cos cos cos c) cos = cos cos cos Relação Fundamental da Trigonometria sen cos Definição: sen tg cos sec cos cos cot g sen cossec sen Propriedades: ) tg( t ) tg( t) e cot g( t ) cot g( t) As funções tangente e cotangente são periódicas de período. ) sec( t ) sec t e cossec( t ) cossec t 4

15 As funções secante e cossecante são periódicas de período. Identidades Notáveis sec tg cos sec cot g (sen ).(cossec ) (cos ).(sec ) ( tg ).(cot g)

16 Formulário trigonometria 6

17 LISTA COMPLEMENTAR DE EXERCÍCIOS ) Calcule as medidas dos catetos do triângulo retângulo da figura, sabendo que AB = 0 e cos x = /. ) Uma circunferência tem 0 cm de raio. Qual o comprimento de um arco de 7º? ) Transforme em graus as seguintes medidas de arcos em radianos. 7 6 a) b) c) d) e) rad f) g) 7 4 4) Transforme em radianos as seguintes medidas de arcos em graus. a) 0º b) 00º c) 080º d) º e) 0º f) 0º g) 0º ) Complete, nas figuras, as medidas dos arcos trigonométricos correspondentes. 6) Calcule o valor de x na figura abaixo: 7

18 7) Indique no ciclo trigonométrico as extremidades que correspondem na circunferência aos seguintes arcos 6 a) b) c) d) 6 4 8) Seja a função f, de IR em IR definida por f(x) = + 4 sen x. O conjunto imagem dessa função é o intervalo: a)[-, ] b) [,] c) [-, 4] d) [, 4] e) [-, ] 9) O período da função dada por y = sen (x 4 ) é: a) b) c) 4 d) e) 8 0) A figura a seguir mostra parte do gráfico da função: a) cos x b) sen (x/) c) sen x d) sen x e) cos x ) Observe o gráfico a seguir. A função real de variável real que MELHOR corresponde a esse gráfico é a) y = cos x 8

19 b) y = sen x c) y = cos x d) y = sen x e) y = sen x ) A função trigonométrica equivalente a a) sen x b) cotg x c) sec x d) cossec x e) tg x ) A expressão a) b) c) sen x d) sec x e) cossesc x sen x +cos x + +cos x sen x é igual a: 4) A figura ao lado é parte do gráfico da função: a) f(x) = sen x b) f(x) = sen x c) f(x) = + sen x d) f(x) = cos x e) f(x) = cos x sec x+sen x cossec x+cos x é: ) Dos gráficos abaixo, assinale aquele que melhor representa o gráfico da função y = + sen (x 4 ): a) b) 9

20 c) d) 0