Unidade: Vetores e Forças. Unidade I:

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1 Unidade I: 0

2 Unidade: Vetores e Forças 2.VETORES 2.1 Introdução Os vetores são definidos como entes matemáticos que dão noção de intensidade, direção e sentido. De forma prática, o conceito de vetor pode ser bem assimilado com auxílio da representação matemática de grandezas físicas. Grandezas como temperatura, pressão, massa, potência e outras podem ser completamente definidas por um único valor numérico. Elas são denominadas escalares porque, na forma gráfica, podem visualizadas como um ponto em uma escala conforme (a) da Figura 1. Outras grandezas (como velocidade, força, aceleração, etc) precisam além de o valor escalar, de uma direção e graficamente são representadas por um segmento de reta com seta. Tais denominadas grandezas vetoriais. Portanto, um vetor define corretamente a grandeza através do seu comprimento e do ângulo que faz com uma referência, conforme (b) da figura. Figura 1 1

3 2.2 Operações com Vetores Igualdades Dois ou mais vetores são iguais se têm comprimentos e direções indênticas. Assim, eles estão em segmentos de reta paralelos, podendo ser coincidentes ou não. Na Figura 2 deste, a=b. Dois vetores são opostos se têm o mesmo comprimento e direções opostas. De forma similar, estarão em segmentos de retas paralelos, coincidentes ou não. A oposição é marcada por sinal negativo: c= d. Figura 2 É importante o leitor notar que esses conceitos de igualdade e oposição de vetores podem não ser suficientes para definir certos fenômenos físicos. Às vezes, é necessária a indicação dos pontos de origem. Exemplo: supõe-se que c e d da figura 2 são forças atuantes em um mesmo corpo. Se estiver no mesmo alinhamento, nenhum efeito é observado. Se estiverem deslocados conforme figura, há um esforço de rotação (momento) sobre o corpo, tanto maior quanto maior a distância entre eles. Na Figura 02, os vetores têm o mesmo comprimento, isto é, a = b = c = d. Onde se lê o módulo de a é igual ao módulo de b. O módulo de b é igual ao módulo de c. e assim por diante. É importante ressaltar que a diferença de direção é condição suficiente para a desigualdade, independente do comprimento. Tomemos como exemplo, b c apesar de b = c. Pois b tem o sentido oposto a c. 2

4 2.2.2 Multiplicação por um escalar A multiplicação ou divisão de vetor por um escalar resulta em um vetor em segmento de reta paralelo ao vetor original ou coincidente com este último. Que fique claro que não muda a direção do vetor e sim pode mudar seu sentido e intensidade. Observem a figura 3 onde são dados exemplos de multiplicação e divisão de vetores por um escalar. Figura 3 Vetor unitário é um vetor de módulo igual a uma unidade de referência no sistema em que se trabalha. O vetor unitário na mesma direção de um vetor genérico a é também denominado versor desse vetor e algumas vezes simbolizado por â. Portanto, â=a/ a Soma e subtração de vetores Para somar graficamente dois vetores a e b conforme Figura 4, move-se a origem de um até coincidir com o final do outro. A origem e o final restantes definem o vetor representativo da soma vetorial, de acordo com a mesma figura. 3

5 Figura 4 O módulo da soma não é necessariamente igual à soma dos módulos. Se a + b = a + b, então a e b têm a mesma direção. Para a subtração, consideram-se na Figura 05 os mesmos vetores a e b da figura anterior. Conforme parte esquerda, faz-se a coincidência das origens e as extremidades restantes formam o vetor da diferença. Figura 5 Alternativamente, pode ser obtida segundo parte direita da figura, isto é, a soma com o oposto: a b = a + ( b). De forma similar à adição, o módulo da diferença não é necessariamente igual à diferença dos módulos. 4

6 Se a b = a b, então a e b têm a mesma direção. Um outro método para a determinação gráfica da soma é a regra do paralelogramo, indicada na parte esquerda da Figura 6: Figura 6 Juntam-se as origens e a diagonal do paralelogramo formado, assim obtém a soma dos vetores. Para vetores no espaço, pode-se usar a similar regra do paralelepípedo, conforme parte direita da mesma figura 6. Algumas propriedades da soma e da multiplicação por escalar: a + b = b + a (m + n) a = ma + na m (na) = (mn)a a + (b + c ) = (a + b) + c m (a + b) = ma + mb Coordenadas de um vetor Considerando as regras da soma vetorial, se a origem de um sistema de coordenadas xy coincide com a origem do vetor, pode-se facilmente verificar que esse vetor é igual à soma dos vetores formados por suas projeções em cada eixo. Assim, na Figura 7, A = A x + A y 5

7 Ou seja, os vetores A x e A y são os componentes do vetor no sistema de coordenadas. u x = î u y = ĵ Figura 7 Sejam os vetores unitários nos eixos de coordenadas: Então, A = A x î + A y ĵ Os escalares A x e A y são as coordenadas do vetor no sistema. No caso de um vetor no espaço conforme Figura 8, acrescenta-se uma coordenada: Figura 8 A = A x i + A y j + A z k Onde u z = k 6

8 Para simplificar a notação, muitas vezes é usada a forma O módulo do vetor pode ser dado por suas coordenadas: A = (X a 2 + Y a 2 + Z a 2 ) 1/2 Condição de paralelismo: se os vetores a e b são paralelos, as suas coordenadas são proporcionais: X b / X a = Y b / Y a = Z b / Z a = c Se o coeficiente de proporcionalidade c é positivo, eles têm a mesma direção. Se negativo, eles são opostos (obs: se um dos coeficientes de a é nulo, fica subentendido que o correspondente de b também é nulo). Soma de vetores: se vetores são somados, o resultado tem as somas das coordenadas. Seja c = a + b. Então, X c = X a + X b Y c = Y a + Y b Z c = Z a + Z b Multiplicação ou divisão por um escalar: as coordenadas do resultado têm a analogia. Seja c = m a. Então, X c = m X a Y c = m Y a Z c = m Z a 7

9 2.2.5 As leis dos senos e dos cossenos Considerando o triângulo arbitrário ABC das figura 9, as leis dos senos e dos cossenos podem ser resumidas como segue: 1. Lei dos senos: 2. Lei dos cossenos: sen Aˆ sen Bˆ sen Cˆ = = a b c ˆ a =b +c -2bccosA 2.3 FORÇA RESULTANTE Figura Introdução Em um sistema de forças qualquer, a força resultante é obtida a partir da soma vetorial de todas as forças que integram o sistema. Como no momento, estamos tratando de sistemas onde todas as forças são aplicadas em um único ponto, obviamente o ponto de aplicação da força resultante para esses sistemas é o mesmo onde estão aplicadas as demais forças. O aluno deve estar atento ao seguinte: A força resultante na realidade não está aplicada em um ponto, ou corpo, ela é apenas uma simplificação que se faz para tornar a análise do sistema mais fácil. Conceitualmente a força resultante é uma força que ``substitui'' as demais forças do sistema, mantendo os mesmos efeitos oriundos das forças aplicadas em conjunto, ou seja, ela é o resultado, em termos de efeitos sobre os corpos, do conjunto de forças aplicados. 8

10 Utilizamos-nos do conceito de força resultante por que é muito mais fácil analisar os efeitos das forças sobre os corpos quando reduzimos todo um sitema de forças a uma única. A partir da análise da força resultante podemos dizer se o corpo vai para a esquerda, ou se vai para a direita, ou se não vai a lugar nenhum, e assim por diante. Vamos a um exemplo: O parafuso tipo gancho da figura abaixo, está sujeito a duas forças F 1 e F 2. Determine a intensidade (módulo) e a direção da força resultante (figura 1). Figura Decomposição de Forças Quando se pensa em decomposição de forças é usual utilizar as componentes cartesianas das forças. Analisando as forças decompostas no plano (bidimensional) podemos achar as componentes retangulares das forças. A partir da regra do paralelogramo, o vetor da F da figura 11 pode ser escrito: F = Fx + Fy Onde Fx e Fy são as componentes do vetor F. 9

11 Figura 11 Usando os vetores unitários i e j (base canônica) podemos escrever F da seguinte forma (figura 3): F = Fx î + Fy ĵ Onde Fx e Fy são os módulos da força decomposta em x e y. Figura 12 As componentes em x e y da força F da figura 12 estão relacionadas à intensidade e direção de F através de: Fx = F cos Fy = F sen F² = Fx² + Fy² = arctg [Fy / Fx] 10

12 11 Responsável pelo Conteúdo: Prof. Esp. Alexandre Aparecido Neves. Campus Liberdade Rua Galvão Bueno, São Paulo SP Brasil Tel: (55 11)